初始条件和边界条件 三类定解问题与定解问题的适定性 线性方程的性质 数学物理方程的分类 常系数线性齐次偏微分方程的通解.

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1 初始条件和边界条件 三类定解问题与定解问题的适定性 线性方程的性质 数学物理方程的分类 常系数线性齐次偏微分方程的通解

2 行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效.
行波法 d’Alembert公式 行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效. 一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：

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4 d’Alembert公式

5 d’Alembert公式的应用 齐次偏微分方程的求解 （P172） 2.非齐次偏微分方程的求解
该体系在外力作用下开始振动，可以看作外界持续给体系 施加以冲量，体系的振动即为持续冲量效果的叠加。从这一思 路出发求解问题被称为冲量原理法。

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7 根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：

8 例 7.5 求解如下定解问题：

9 例 7.6 求解如下定解问题：

10 求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足
相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问 题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍 的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理， 直接求出定解问题的解。

11 数学物理方程的求解 1.行波法； 2.分离变量法； 3.幂级数解法； 4.格林函数法； 5.积分变换法； 6.保角变换法； 7.变分法；
8.计算机仿真解法； 9.数值计算法 数学物理方程的求解

12 分离变量理论 考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程： 试确定方程如下形式的解： 将该解代入方程可得：

13 对于常系数偏微分方程，我们有： 因为X、Y分别是关于x、y的函数，所以λ一定是 一个常数；这样原方程就化为如下两个常微分方程：

14 对于变系数偏微分方程，一般不能分离变量。

15 有界弦的自由振动 研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题： 两端固定的弦的自由振动会形成驻波，此时行波法将不再适
用（？）。考虑到驻波的波函数为：

16 类比驻波波函数，可设定解问题的具有一个可分离
变量的特解为： 其中 X 和 T 分别为 x 和 t 的函数。 将这一特解代入泛定方程可得： 易知λ为常数，故原泛定方程变为：

17 相应地，边界条件变为： 这样就得到如下常微分方程： 这个常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要讨论。

18 易知当λ= 0时，微分方程的解为： 但边界条件要求 类似地，当λ＞0时，微分方程的解为： 而边界条件要求 当λ< 0时，该方程有非零解，且其解为：

19 关于 T 的方程变为： 其解为： 这样就得到泛定方程满足边界条件的一个特解： 这样的特解有无穷多个，但是其中的每一个并不总 能满足初始条件的要求。

20 因为泛定方程和边界条件都是线性的，可以把这些
特解叠加起来，并让其满足初始条件：

21 这样我们就得到如下定解问题 存在如下形式的解：

22 本征值问题 在求解方程过程中，我们遇到如下问题： 通过讨论我们知道，仅当 λ ＞0，且为某些特定值
时该方程有非平庸解。这些值称为方程在相应边界条件 下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函 数。求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。

23 解的物理意义 驻波波函数 这样，该定解问题的解可以看作一系列（频率、振幅、位相 各异的）驻波波函数的叠加。所以分离变量法又称为驻波法。各
驻波的振幅、相位由初始条件决定；频率则和初始条件无关，称 为弦的本征频率。

24 分离变量法处理问题的程序 1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件 是非齐次的，还要对边界条件进行处理。 2、求解常微分方程的本征值问题
3、构造变量分离形式的特解 4、叠加特解，利用初始条件确定叠加系数

25 分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但
它的应用也有一定的限制： 1、常系数偏微分方程总能进行变量分离， 而变系数偏微分方程则不一定。 2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量 分离的解。

26 经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个
量子力学中的本征值问题 经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个 Hermitian operator。任意一个Hermitian operator的 本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。 而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这 个完备基展开，而且展开式是唯一的。每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次 测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个 概率由测量时体系的波函数决定。

27 分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的
某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开， 再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。 这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数 值方法求解薛定谔方程的时候。

28 第七章 作 业 P161 1. P