第17讲 二次型的有关概念, 用配方法求二次型的标准型 主要内容： 1.二次型的有关概念 (1) 二次型的定义和矩阵 (2) 合同矩阵 (3) 二次型的标准形 2.用配方法求二次型的标准型
第5章 二次型 在18世纪中叶利用行列式对二次曲线和二次曲面进行分类时, 就在讨论一些特殊的二次型, 见本章第4节的主轴定理.(线性代数知识用于解析几何研究的例子.) 对于二次型, 主要讨论其标准化的问题, 这与方阵的对角化又是密切相关的. 二次型在几何曲线和曲面分类以及多元函数极值等问题中有具体的应用.
5.1 二次型的有关概念 5.1.1 二次型的定义和矩阵 式(5.1)和(5.2)的左边是一个二次齐次函数,它就是二次型的特例. 对于二次型,其标准形式问题在许多理论和实际问题中多会出现.
Def 5.1 含n个变量的二次齐次函数 称为关于的n元二次型(quadratic form with n variables),记为f. 实二次型.
在两个不同变量乘积xixj的系数前面出现2aij(i j),是因为可以方便地将2aij xixj写成aij xixj +aji xjxi形式,其中aij = aji,这时
采用求和“∑”符号，可将f记为 令
其中aij = aji, i, j = 1, 2, …, n. 矩阵A称为二次型f的矩阵,矩阵A的秩称为是二次型f的秩. 显然,一个二次型f是由其对应的实对称矩阵A唯一确定的.
之所以说f = xTAx是双线性函数,是因为对于任意的n维向量和, f = TAx和f = xTA均是向量空间Rn到向量空间R的线性函数. 当给定了二次型f时, 要求能准确写出其对应的实对称矩阵A：A中对角线上的元素a11, a22, …, ann依次为 的系数；对于i j, aij = aji为xixj的系数的一半, i, j = 1, 2, …, n.
例5.1 设二次型 写出其矩阵形式. Solution 令
Remark 我们定义的实二次型的矩阵必须是实对称矩阵. 这样做的目的是为了借助于实对称矩阵更方便地讨论二次型.
5.1.2 合同矩阵
Def 5.2 设A和B是n阶方阵, 若存在可逆矩阵P, 使得B = PTAP, 则称A与B合同(contractible), 可记为AB. 根据定义知, 一个二次型的矩阵与在可逆线性变换下得到的二次型的矩阵是合同的. 注意 A与B合同和A与B相似是两个不同的概念.
5.1.3 二次型的标准形 称只含有平方项(即不含交叉项)的二次型为标准二次型(standard quadratic form). 系数为0, 1或-1的标准二次型称为规范二次型(normal quadratic form).
对于任意的二次型f = xTAx, 主要关心的是二次型的标准化问题：找出一个可逆的线性变换x = Py，将其化成只含有平方项的标准二次型
二次型f = xTAx的规范形. 很容易将二次型的标准形进一步化成规范形: 因此, 我们主要考虑如何将二次型的标准化的问题.
5.2 用配方法求二次型的标准型 配方法就是将二次多项式配成完全平方的方法,这种方法在中学数学大量使用过,需要记住
下面通过例子说明, 如何用配方法得出二次型的标准形.
例5.2 用配方法求二次型 的标准形,并写出相应的可逆线性变换. Solution 首先将含有x1的项归并后配方,得
再对x2进行配方,得 令
即 所采用的可逆线性变换写成矩阵形式为 则f的标准形为
例5.3 用配方法求二次型 的标准形, 并写出相应的可逆线性变换. Solution 由于f不含平方项, 不能直接配方. 观察项x1 x2, 为了出现平方项,令
再配方,得
则f的标准形为 所采用的可逆线性变换为