研究随机变量是否一定要知道它的概率分布？ 比如：当你想买一个灯泡的时候，你最想知道的是什么？ 第4章 随机变量的数字特征 问题： 研究随机变量是否一定要知道它的概率分布？ 比如：当你想买一个灯泡的时候，你最想知道的是什么？ 随机变量的概率分布能够完整地描述随机变量的概率性质，但随机变量的概率分布有时很难得到!有时没有必要得到! 某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但却可以概括描述它在某些方面的特征． 这些能代表随机变量主要特征的数字，称为随机变量的数字特征．

第4章 随机变量的数字特征 【分赌本问题】 1654年法国有个职业赌徒 De Méré向数学家Pascal提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注50法郎进行赌博，约定谁先赢3局，就赢得全部的100法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局．如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌局，问如何分100法郎的赌注才算公平？

第4章 随机变量的数字特征 本章内容 §4.1 随机变量的数学期望 §4.2 方 差 §4.3 协方差及相关系数、矩

§4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4-1】(掷骰子游戏)规定掷出1点得1分；掷出2点或3 点得2分；掷出4点、或5点、或6点得4分，共掷n次．投 掷一次所得的分数X是一个随机变量，则X的分布律为 试问：预期平均投掷一次能得多少分？ 解：若在n次投掷中，得1分的共n1次，得2分的共n2次，得4分的共n3次， X 1 2 4 pi 1/6 2/6 3/6

4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4.1】(掷骰子游戏)投掷一次所得的分数X是一个随 机变量，则X的分布律为 §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4.1】(掷骰子游戏)投掷一次所得的分数X是一个随 机变量，则X的分布律为 解：则平均投掷一次得分为： 注意到ni/n是事件{X = xi}发生的频率， 当n充分大时，接近于事件{X = xi}的概率pi， X 1 2 4 pi 1/6 2/6 3/6

4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4.1】(掷骰子游戏)投掷一次所得的分数X是一个随 机变量，则X的分布律为 §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4.1】(掷骰子游戏)投掷一次所得的分数X是一个随 机变量，则X的分布律为 解：则平均投掷一次得分为： 即在投掷的次数n很大时，以频率为权重的加权平均值, 近似于以概率为权重的加权平均值。 X 1 2 4 pi 1/6 2/6 3/6

4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【定义4.1】 设离散型随机变量X的分布律为P{X = xi} = §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【定义4.1】 设离散型随机变量X的分布律为P{X = xi} = pi，i = 1, 2, …, 若级数 绝对收敛，则称 为随机变量X的数学期望或均值．记为E(X)或EX，即 (4.1) 若级数 发散,则称随机变量X的数学期望不存在. 说明：(1) 随机变量X的数学期望E(X)是一个常量，与一般的平均值不同，它是从概率的角度计算随机变量X所有可能取值的平均值，具有重要的统计意义．

4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【定义4.1】 设离散型随机变量X的分布律为P{X = xi} = §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【定义4.1】 设离散型随机变量X的分布律为P{X = xi} = pi，i = 1, 2, …, 若级数 绝对收敛，则称 为随机变量X的数学期望或均值．记为E(X)或EX，即 (4.1) 若级数 发散,则称随机变量X的数学期望不存在. 说明：(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变.

§4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4.2】某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元．设 头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元；三 等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各100元 ；五等奖1000个，奖金各10元．每张彩票的成本费为0.3 元，请计算彩票发行单位的创收利润． 解：设每张彩票中奖的数额为X，则其分布律为 X 10000 5000 1000 100 10 pi 1/105 2/105 10/105 100/105 1000/105 p0

§4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4.2】某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元．每 张彩票的成本费为0.3元，计算彩票发行单位的创收利润 解：设每张彩票中奖的数额为X，则其分布律为 其中，p0  0.98887 每张彩票平均能得到的奖金为 X 10000 5000 1000 100 10 pi 1/105 2/105 10/105 100/105 1000/105 p0

§4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4.2】某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元．每 张彩票的成本费为0.3元，计算彩票发行单位的创收利润 解：每张彩票平均能得到的奖金为 每张彩票平均可赚： 2 – 0.5 – 0.3 = 1.2(元)， 因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 100000  1.2 = 120000(元)

4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 思考：谁的技术比较好? 甲射手 乙射手 试问哪个射手技术较好? §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 思考：谁的技术比较好? 乙射手 甲射手 试问哪个射手技术较好?

4.1.1 数学期望的概念 解 1. 离散型随机变量的数学期望 思考：谁的技术比较好? 甲射手 乙射手 故乙射手的技术比较好. §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 思考：谁的技术比较好? 乙射手 甲射手 解 故乙射手的技术比较好.

4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4.4】设随机变量X~P()( > 0)的泊松分布，求E(X) §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 1. 离散型随机变量的数学期望 【例4.4】设随机变量X~P()( > 0)的泊松分布，求E(X) 解：由于 k = 0, 1, 2, …, 因而

4.1.1 数学期望的概念 2. 连续型随机变量的数学期望 【定义4.2】 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若 §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 2. 连续型随机变量的数学期望 【定义4.2】 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若 积分 绝对收敛，则称其为X的数学期望或均值 记为E(X)或EX，即 (4.2) 若积分 不收敛，则称X的数学期望不存在． 著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子(自学)。

4.1.1 数学期望的概念 2. 连续型随机变量的数学期望 【例4.5】某种化合物的pH值X是一个随机变量，它的概 率密度是 §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 2. 连续型随机变量的数学期望 【例4.5】某种化合物的pH值X是一个随机变量，它的概 率密度是 求pH值X的数学期望E(X). 解：

4.1.1 数学期望的概念 2. 连续型随机变量的数学期望 【例4.6】设随机变量X~U(a，b) ，求E(X) §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 2. 连续型随机变量的数学期望 【例4.6】设随机变量X~U(a，b) ，求E(X) 解：由于均匀分布的概率密度为 因而

4.1.1 数学期望的概念 2. 连续型随机变量的数学期望 【例4.7】设随机变量X~Exp(),  > 0, 求E(X)． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.1 数学期望的概念 2. 连续型随机变量的数学期望 【例4.7】设随机变量X~Exp(),  > 0, 求E(X)． 解：由于指数分布的概率密度为 因而

4.1.2 随机变量函数的数学期望 在实际中，我们常需求随机变量函数的数学期望． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.2 随机变量函数的数学期望 在实际中，我们常需求随机变量函数的数学期望． 已知随机变量X的概率分布，如何计算X的某个函数g(X)的数学期望？ 能根据X的概率分布直接求得g(X)的数学期望吗？ 答案是肯定的，我们不加证明地给出以下定理：

4.1.2 随机变量函数的数学期望 【定理4.1】 设Y为随机变量X的函数：Y = g(X) (g是连续函数)， §4.1 随机变量的数学期望 4.1.2 随机变量函数的数学期望 【定理4.1】 设Y为随机变量X的函数：Y = g(X) (g是连续函数)， (1) 设X是离散型随机变量,其分布律为 k=1, 2,…，若级数 绝对收敛，则有 (4.3) (2) 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛，则有 (4.4)

4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.8】设随机变量X的分布律为 求E(2X – 1)，E(X 2) §4.1 随机变量的数学期望 4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.8】设随机变量X的分布律为 求E(2X – 1)，E(X 2) 解：E(2X – 1) = [2(–1) –1]  0.1 + [2  0 – 1] 0.2 + [21 – 1]  0.4 + [2 2 – 1]  0.3 = 0.8， E(X2) = (–1)2  0.1 + 02  0.2 + 12  0.4 +22  0.3 = 1.7． X –1 1 2 pi 0.1 0.2 0.4 0.3

4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.9】某矿物的一个样品中含有杂质的比例为X，其 概率密度为 §4.1 随机变量的数学期望 4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.9】某矿物的一个样品中含有杂质的比例为X，其 概率密度为 一个样品的价值（以元计）为Y = 5 – 0.5X，求E(Y). 解：

4.1.2 随机变量函数的数学期望 【定理4.2】 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.2 随机变量函数的数学期望 【定理4.2】 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数． (1) 若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 则有 （设该级数绝对收敛） (4.5)

4.1.2 随机变量函数的数学期望 【定理4.2】 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.2 随机变量函数的数学期望 【定理4.2】 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数． (2) 若(X，Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y) 则有 （设该积分绝对收敛） (4.6)

§4.1 随机变量的数学期望 4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.10】一餐馆有三种不同价格的快餐出售，价格分 别为7元，9元，10元．随机选取一对前来进餐的夫妇， 以X表示丈夫所选的快餐的价格，以Y表示妻子所选的快 餐的价格，又已知X和Y的联合分布律为 (1) 求min(X, Y )的数学期望；(2) 求X +Y的数学期望． 　Y X 7 9 10 0.05 0.10 0.35 0.20

4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.10】 (1) 求min(X, Y )的数学期望； (2) 求X +Y的数学期望． §4.1 随机变量的数学期望 　Y X 7 9 10 0.05 0.10 0.35 0.20 4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.10】 (1) 求min(X, Y )的数学期望； (2) 求X +Y的数学期望． 解：(1) E[min(X, Y )] (2) E(X +Y)

4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.11】设(X，Y)的概率密度为 求E(X)，E(Y)，E(X + Y)，E(X2 + Y2)． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.11】设(X，Y)的概率密度为 求E(X)，E(Y)，E(X + Y)，E(X2 + Y2)． 解：由于f(x，y)的非零区域为D：0  x  2，0  y  1

4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.11】设(X，Y)的概率密度为 求E(X)，E(Y)，E(X + Y)，E(X2 + Y2)． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.2 随机变量函数的数学期望 【例4.11】设(X，Y)的概率密度为 求E(X)，E(Y)，E(X + Y)，E(X2 + Y2)． 解：由于f(x，y)的非零区域为D：0  x  2，0  y  1

E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c． §4.1 随机变量的数学期望 4.1.3 数学期望的性质 (1) 设c是常数，则有E(c) = c． (2) 设X是随机变量，设c是常数，则有 E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c． (3)设X，Y是随机变量，则有 E(X + Y) = E(X) + E(Y)． (4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X)E(Y)． 该性质(3), (4)可推广到有限个随机变量的情形

4.1.3 数学期望的性质 【例4.12】设随机变量X服从正态分布，求E(X)． 解：由于X~N(, 2 )，则由定理2.3知 §4.1 随机变量的数学期望 4.1.3 数学期望的性质 【例4.12】设随机变量X服从正态分布，求E(X)． 解：由于X~N(, 2 )，则由定理2.3知 其概率密度为， 因而 所以E(X) = E(Z + ) = E(Z) +  = ．

1 . 随机变量的数学期望 ２.常用分布的数学期望 l = ) ( ~ X E P q = ) ( ~ X E Exp 分布类型 数学期望 小结 1 . 随机变量的数学期望 ２.常用分布的数学期望 分布类型 数学期望 l = ) ( ~ X E P q = ) ( ~ X E Exp 2 ) ( , ~ b a X E U + =

小结 3. 随机变量函数的数学期望

小结 3.数学期望的性质

习题三 (A) (P106) 三、解答题　1, 7,12,14