第八章 二次型 Quadratic Form 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

y x’ y’ x 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

二次型与相伴对称矩阵_1 定义 数域K上的n元二次齐次多项式 称为K上的n元二次型,简称二次型. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

§8.1 目的与要求 掌握二次型与相伴矩阵的一一对应关系 二次型的非退化线性替换与对称矩阵的合同关系 二次型与对称矩阵的标准型 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

二次型与相伴对称矩阵_2 定义 这里A’=A∈Kn×n,X∈Kn×1.A称为f 的相伴矩阵,f 称为对称阵A的相伴二次型. {数域K上n元二次型} {数域K上n阶对称矩阵}. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例1 判断下列多元多项式是否为二次型: 例2 求下列二次型的相伴矩阵: 例3 求下列矩阵的相伴二次型: 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

是否任何二次型都可”变成”只含平方项?(标准型) 问题 非退化 线性替换 是否任何二次型都可”变成”只含平方项?(标准型) 是否任何对称阵都可”变成”对角阵? 合同 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

二次型的非退化线性替换与矩阵的合同 设 f (x1,…,xn) = X’AX是K上n元二次型, 做非退化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆阵, 则 f ( x1,…,xn ) = Y’C’ACY = g( y1,…,yn ). 定义: A , B∈Kn×n , B与 A称为合同的,如果存在n阶可逆阵C, 使B = C’AC. 注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同且A’= A, 则B’=B. 注 3: 若A与B合同且A’= -A, 则B’= - B. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例4 讨论以下运算的含义 Pij’APij Pi(c)’A Pi(c) Tij(c)’A Tij(c) 注 Pij’APij不能调换对角线和非对角线元素, 即对角线元素只能调换到对角线上，非对角线元素只能调换到非对角线上。只有Tij(c)’A Tij(c)才可能将0对角元变成非0。 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

二次型的标准型 引理:设0≠A’=A∈Kn×n,则必存在可逆阵C,使C’AC的第(1,1)元素不等于0. 定理:设A’=A∈Kn×n,则存在可逆阵C∈Kn×n,使C’AC为对角阵. 定理’:设 f (x1…xn) 是K上n元二次型, 则存在非退化线性替换X=CY,使 注 以上定理可直接从线性替换证明(选做) 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例5: 复数域上任一n阶对称方阵A, 必存在n阶方阵矩阵T, 使得A=T’T且r (T) = r (A). 例6:设A是反对称阵, 即A’= -A∈Cn×n, 则A必合同于 且若r(A)=2r, 则有r个S. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例7: 若A是实反对称阵, 则A的行列式总是非负实数. 例8: 元素全是整数的反对称矩阵的行列式一定是某个整数的平方. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

以上定理可直接从线性替换证明(选做) 如何化二次型为标准型? 标准型唯一吗? 标准型的分类(与数域的关系)? 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

作业 作业: p272 1, 3, 4 思考: p272 2 选做: 补充1: 如果A是n阶对称阵, 且对任意一个n维向量X, 都有X’AX=0, 证明A=0. 补充2: 证明A是n阶反对称阵的充要条件是对任意一个n维向量X, 都有X’AX=0. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

§8.2 目的与要求 掌握二次型的化简方法 掌握对称矩阵合同于对角阵的计算, 并求出相应的可逆矩阵C 配方法 初等变换法 求相应的非退化线性替换 掌握对称矩阵合同于对角阵的计算, 并求出相应的可逆矩阵C 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

二次型的化简 二次型的化简方法: - 配方法 - 初等变换法 - 相应非退化线性替换 对A同时施行相同的列变换 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例1:化下列二次型为标准型,并写出所用的可逆变换矩阵. 1) 2) 3) 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 注 令 得 该结论是错误的! 因(*)是退化的线性替换. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

§8.3 目的与要求 掌握二次型与对称矩阵在C和R上的规范标准型 熟练掌握不同数域上两矩阵合同的充要条件及全系不变量 掌握不同数域上二次型的规范标准型及相应的非退化线性替换的计算 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

C上二次型的规范型_1 定理: A’=A∈Cn×n且r(A)=r, 则存在可逆阵C∈Cn×n, 使得 右端矩阵称为A的规范标准型. 定理’: f (x1,…,xn) 是C上n元二次型, 则必存在非退化线性替换X = CY, 使 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

C上二次型的规范型_2 注1 C上对称矩阵A合同Br(A)=r(B). 即 秩是复数域上对称矩阵合同的全系不变量. 注2 设A为C上对称阵, 则 当|A|≠0时, A*, A－1均与A合同; 当|A|＝0时, 则A*未必与A合同. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

R上二次型的规范型_1 定理: f (x1…xn) 是R上n元二次型, 则必存在非退化线性替换使 定理’: A’=A∈Rn×n,则存在可逆阵C∈Rn×n,使得 其中p + q = r( A ). 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

惯性定理_1 惯性定理:设f (x1…xn) 是R上n元二次型,在非退化线性替换X = CY, X = DZ下, 其中 则必有p = k. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

惯性定理_2 定义: f (x1…xn) 是R上n元二次型,若能经过非退化线性替换化为 则称 r是f (x1…xn)的秩, p为f (x1…xn)的正惯性指数, q = r－p称为f (x1…xn)的负惯性指数, s = p－q称为f (x1…xn)的符号差. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

惯性定理_3 定义:设A’=A∈Rn×n,存在可逆阵C ∈Rn×n,使 则称 p 为A的正惯性指数, q 为A的负惯性指数, s = p－q 为A的符号差. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

作业 作业: p278 1(3), 2(3) p281 1, 3 p288 6 (提示先将二次型表示成矩阵形式) 补充: 求下列二次型为标准型 选做: p289 11, 3 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

R上二次型的规范型_2 定理: A’=A, B’=B∈Rn×n ，则: A合同于B  A与B有相同的秩与符号差 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例1:设A是对角阵, 试分别在复数和实数域上讨论A合同于单位矩阵的充要条件. 例2:设 f 是实二次型, 其相伴矩阵为A, 若|A|<0, 证明: 必存在一组实数 , 使 例3:设实二次型 其中 证明 f 的正惯性指数p≤k. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

等价关系与分类_1 定义: 设{ si | i∈I }是集合S的子集族，满足 (1) S =∪i∈I Si (2) Si∩Sj =φ（i≠j∈I ) 则称{ si | i∈I }是S的一个分类. Si 称为S的一个类. 注 1) 即S中每个元必属某类中; 2) 即S中每个元至多只能属于一类中. 例4 整数: 正整数, 负整数×;正整数, 负整数, 0√ 学校成员: 学生, 教师, 行政, 后勤 × Kn×n: Ki={A|r(A)=i, A∈Kn×n} √ 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

等价关系与分类_2 定义: 对任意x, y∈S, 定义x, y或者有关系, 或者没关系. 定义: 集合S的一个二元关系～称为S的一个等价关系, 如果满足: (1) 反身性: x ～ x; (2) 对称性: x ～ y, 则 y ～ x; (3) 传递性: x ～ y, y ～ z, 则 x ～ z. 定理: (1) 集合S的一个分类决定S的一个等价关系; (2) 集合S的一个等价关系决定S的一个分类. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

等价关系与分类_3 意义: 只要对每个类的代表元分析清楚, 整个类就清楚; 每个类分析清楚，S也就清楚了. 注1 不同的等价关系确定不同的分类. 注2 合同关系是K上n阶对称矩阵的等价关系. 注3 : C上n阶对称阵，按合同关系分类共有n+1类. 注4 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有 (n+1)(n+2)/2类. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例5:设A是复数域上对称矩阵, 其秩为r, 证明A必可分解为r个秩为1的对称矩阵之和. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

作业 作业: p281 2, 5(q≤s) p289 11 补充: 化 为规范标准型 选做: 1. 任意复对称可逆矩阵必合同于 或 补充: 化 为规范标准型 选做: 1. 任意复对称可逆矩阵必合同于 或 2.任意实对称可逆矩阵必合同于 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

§8.4 目的与要求 掌握正定、半正定、负定、半负定、不定二次型(矩阵)的定义 熟练掌握正定二次型(矩阵)的充要条件 掌握正定二次型(矩阵)的性质 掌握半正定二次型(矩阵)的充要条件 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_1 定义: 设f (x1 ,…, xn)是R上n元二次型, 如果对任意(a1,a2,…,an)≠0, 恒有： (1) f (a1 ,…, an) > 0, 则称 f (x1 ,…, xn)是正定二次型. (2) f (a1 ,…, an)≥0,则称 f (x1 ,…, xn)是半正定二次型. (3) f (a1 ,…, an) < 0,则称 f (x1 ,…, xn)是负定二次型. (4) f (a1 ,…, an)≤0, 则称 f (x1 ,…, xn)是半负定二次型. 若存在(a1,a2,…,an)≠0, 使f (a1,a2,…,an) >0, 且存在(b1,…,bn)≠0, 使f (b1,…,bn)<0, 则称 f (x1 , …, xn)为不定型. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例1:判断下列二次型是什么型: 1. 2. 3. 4. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_2 定理: 设 f (x1 … xn)是R上二次型,则: f (x1 … xn)是正定型  f (x1 … xn)的正惯性指数p=n. f (x1 … xn)是半正定型  f (x1 … xn)的正惯性指数p=r ≤ n. f (x1 … xn)是负定型  f (x1 … xn)的负惯性指数q=n. f (x1 … xn)是半负定型  f (x1 … xn)的负惯性指数q=r ≤ n. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_3 定义’: 实对称矩阵A称为正(负)定阵, 若相应的实二次型f (x1 … xn)是正(负)定二次型. 性质: A正定A合同于I A负定A合同于－I A半正定A合同于 A半负定A合同于 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_4 注1: A, B是n阶实对称正定矩阵, 则A, B必合同. 注2: n阶对称阵A正定 对任意非零列向量x, x’Ax>0. 注3: n阶对角阵A正定 A的对角元全为正数. 注4: 块对角阵A正定  A的每个对角块正定. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_5 定义: A是 n 阶矩阵, 称 是 A的 k 阶子式; 若 , 则称其为A的k阶主子式; 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_6 注: 2阶方阵A有2个顺序主子式和3个主子式; 其中2个1阶主子式, 1个2阶主子式. 其中3个1阶主子式, 3个2阶主子式, 1个3阶主子式. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_7 引理: 若A正定, 则| A| > 0. 定理: n 阶实对称矩阵 A正定 A的所有顺序主子式全大于0. 注: 此定理不能推广到半正定矩阵. 反例 引理: 设A, B是实矩阵, 若A, B合同, 则|A|与|B|同号. 引理: 设实矩阵A, B合同, 又若A正定, 则B必正定. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_8 定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1) A是正定阵. (2) 对任意0≠X∈Rn×1 , 有X’AX > 0. (3) 存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4) 存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5) A的正惯性指数p = n. (6) A的所有主子式 > 0. (7) A的所有顺序主子式 > 0. (8) A的所有特征值 > 0. (下章证明) 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

作业 作业: p285 1(1), 2(2), 3, 5, 9 选做: p289 10. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例2: 求a的取值范围, 使二次型为正定二次型. 例3: 试分别在R上和C上判断下列矩阵是否合同? 相似? 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例4: 设n≥2, A是n阶实对称正定矩阵, 问在C上A和－A是否合同? 在R上呢? 例5: 证明对任意m×n阶实矩阵A, 必存在 a 使得 为正定阵. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_9 定理: A’=A∈Rn×n,则下列条件等价: (1) A是正定阵. (2) A是可逆的半正定阵. (4) 存在主对角元素为1的上三角阵P,使 得A=P’DP,其中D是正定对角阵. (5) 存在主对角元素为正的上三角阵B,使 得A=B’B. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

正定二次型与正定矩阵_10 命题: (1) 设A,B是正定阵,则A+B为正定阵. (2) 设A是正定阵,k>0, 则kA是正定阵. (3) 设A,B是正定阵,且AB = BA,则AB为 正定阵(下章证). (4) 设A是正定阵,则A－1,A*为正定阵. (5) 设A是正定阵,则A中绝对值最大的元 素必在主对角线上. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例6:请直接判断下列矩阵是否正定: 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

半正定二次型 引理: 若A半正定，则|A|≥0. 定理: 设A’=A∈Rn×n,则下列条件等价 (1) A为半正定二次型. (3) 对 有 是正定. (4) A=B’B,其中B∈Rn×n,且r(B) = r. (5) A的所有主子式≥ 0 . (6) A的所有特征值≥0. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

例子 例7: 设A是n阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+A为正定阵. 例8: 设A, B是实对称阵, 且B正定, BA的特征值全大于0, 证明: A必正定. 例9: 设n阶矩阵A正定, 证明 是负定的. 其中y是n维列向量. 例10: 设A=(aij)n×n, B=(bij) n×n正定, 证明矩阵C=(aij bij) n×n是正定的. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

Hermite型矩阵_1 定义:复数域C上的n元二次齐次函数 其中 ,称为C上n元Hermite型. 注: Hermite型是二次型的推广. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

Hermite型矩阵_2 n元Hermite型 A称为 f 的相伴矩阵, f 称为Hermite矩阵A的相伴二次型. 这里 . A称为 f 的相伴矩阵, f 称为Hermite矩阵A的相伴二次型. {C上n元Hermite型} {C上n阶Hermite阵} 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

Hermite型矩阵_3 设 是C上n元Hermite型, 做非退化线性替换X=CY, 其中C是C上的n阶可逆阵, 则 定义: A, B是两个Hermite阵, A与B称为复相合的, 如果存在n阶可逆复矩阵C, 使 . 注: C上n阶方阵的复相合关系是等价关系. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

Hermite型矩阵_4 定理:设A是一个Hermite阵, 则必存在一个可逆阵C∈Cn×n, 使 为对角阵且主对角线元素是实数. 定理:设 f (x1, …, xn) 是Hermite型, 则存在非退化线性替换X=CY, 使 其中　 是实数. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

Hermite型矩阵_5 惯性定理:设f (x1…xn) 是Hermite型,在非退化线性替换X = CY, X = DZ下, 则必有p = k. 定理中称r为f (x1…xn)的秩, p为f (x1…xn)的正惯性指数, q = r－p称为f (x1…xn)的负惯性指数, s = p－q称为f (x1…xn)的符号差. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116

Hermite型矩阵_6 定义:称Hermite型f (x1…xn)为正定的，若对任一组不全为0的复数c1, c2, …, cn均有 　　 f (c1, c2, …, cn)＞0. 正定Hermite型的相伴矩阵称为正定Hermite矩阵. 定理:一个n阶Hermite矩阵正定的充分必要条件是它的n个顺序主子式全大于0. 厦门大学数学科学学院 网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn IP: http://59.77.1.116