哲學概論報告 希臘數學 指導老師 : 李開濟 教授 M111 林子翔、楊子賢

起源 古代希臘的數學，自西元前600年左右 開始，到西元641年為止共持續了近 1300年。 最早的希臘數學記載是拜占庭的希臘文 的手抄本（可能做了若干修改），是在 希臘原著寫成後500年到1500年之間錄 寫的。其原因是希臘的原文手稿沒有保 存下來。而成書最早的是帕普斯西元三 世紀撰寫的《數學彙編》和普羅克拉斯 （西元5世紀）的《歐德姆斯概要》。

古典期的數學 歷經漫長的麥西奈（Mycenae）時期和 黑暗時期（Dark Age,約西元前1,500～ 800年），希臘的城邦在西元前800～ 500年之間逐漸形成。他們與埃及、巴 比倫來往做生意，也學到知識，其中當 然包括科學和數學。希臘人在這些基礎 上經營發展，創造出輝煌的成就。在古 典期（西元前600～300年）的成就，是 分別由一些學術中心前後接續完成的， 我們稱之為學派。

愛奧尼亞學派（lonian School ) 愛奧尼亞是希臘的屬地，位在小亞細亞愛 琴海沿岸，埃及化和巴比倫化最深，是最 先成為學術中心，其主要的代表人泰利斯 （Thales,西元前640～546年）。他們在科 學方面主要的論點是宇宙乃由原質 （Primary substance）形成；數學方面， 台利斯以能測知金字塔的高度而名噪一時。 據說他也能測知船隻與海岸的距離，他曾 將數學抽象化和給某些定理做演繹式的證 明；至於傳說他能預知日蝕並發現電磁引 力，則可信度不高。

畢達哥拉斯學派（Pythagoreans） 畢達哥拉斯（Pythagoras,西元前585～ 500年）所創於義大利南部克洛頓 （Croton）的學派。這個學派的活動方 式帶有宗教色彩，他們認為萬物的本體 並不是有形的質體，而是抽象的數，研 究抽象的數可以代替研究實體物。 思想 : 萬物皆數 成就 : 畢氏定理，黃金比例

伊利亞學派（Eleatic School） 對於時間和空間，當時有兩派不同的見 解；一派認為時間和空間可以無限制地 分割，另一派則認為時空有不可分割的 基本單位。伊利亞這個學派的代表人芝 諾（Zeno，約生於西元前495～480年） 提出四個與此有關的詭辯，反駁這兩派 的觀點。原子說的始祖狄摩克瑞塔斯 （Democritus，約西元前460～370年） 也歸屬這個門派。在宇宙論方面，他們 是傾向唯物的。

芝諾悖論 二分說、追龜說、飛箭靜止說、運動場 問題 2 1+1/2+1/4+1/8+…….

詭辯學派（Sophist School） 他們著力於三個著名的作圖題：方圓問題 （作一正方形與已知圓等面積）；倍立方 問題（作正方體其體積是已知正方體的二 倍）；三分角問題（三等分任意角） 。 正因為三大問題不能用尺規解出，往往使 研究者闖入未知的領域中，作出新的發現： 圓錐曲線就是最典型的例子；「化圓為方」 問題亦導致了圓周率和窮竭法的探討。

柏拉圖學派（Platonic School）：

尤德賽斯學派（Eudoxus School） （1）介紹量的觀念以處理無理數；但 是其結果卻是幾何和數的分家。（2） 提供給無理數公設體系和演繹結構，建 立無理數的理論基礎。（3）發明逼近 法以計算曲線形的面積和曲面形的體積。 蘭心學派（Lyceum School）

亞歷山大時期的數學 亞歷山卓的歐幾里得（希臘文： Ευκλειδης ，約公元前325年—公元前265 年），古希臘數學家，被稱為「幾何之 父」。他活躍於托勒密一世（公元前323 年－公元前283年）時期的亞歷山卓，他 最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的 基礎，提出五大公設，歐幾里得幾何，被 廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。 [1][2][3]歐幾里得也寫了一些關於透視、圓 錐曲線、球面幾何學及數論的作品。

幾何原本對後世的影響 1. 建立了公理體系，明確提出所用的公理 、公設和定義。由淺入深地揭示一系列定 理，使得用一小批公理證出幾百個定理。 2. 把邏輯證明系統地引入數學中，強調邏 輯證明是確立數學命題真實性的一個基本 方法。 3. 示範地規定了幾何證明的方法：分析法 、綜合法及歸謬法。

阿基米德 阿基米德是古代最偉大的數學家、力學 家和機械師。他將實驗的經驗研究方法 和幾何學的演繹推理方 法有機地結合 起來，使力學科學化，既有定性分析， 又有定量計算。阿基米德在純數學領域 涉及的範圍也 很廣，其中一項重大貢 獻是建立多種平面圖形面積和旋轉體體 積的精密求積法，蘊含著微積分的思想。

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沒落的希臘數學 阿波洛尼烏斯的《圓錐 曲線論》（Conic Sections） 把前輩所得到的圓錐曲線知識，予以嚴格的系統 化，並做出新的貢獻，對17 世紀數學的發展有著 巨大的影響。 　　亞歷山大後期是在羅馬人統治下的時期，幸 好希臘的文化傳統未被破壞，學者還可繼續研究， 然而已 沒有前期那種磅礡的氣勢。這時期出色的 數學家有海倫、托勒密、丟番圖和帕波斯。丟番 圖的代數學在希臘數學中獨樹一幟；帕波斯的工 作是前期學者研究成果的總 結和補充。之後，希 臘數學處於停滯狀態。 公元641年，阿拉伯人攻佔亞歷山大里亞城，圖 書 館再度被焚（第一次是在公元前46年），希臘數 學悠久燦爛的歷史，至此終結。

古希臘數學的特點 1．希臘人將數學抽象化，使之成為一種科學，具有不可 估量的意義和價值。希臘人堅持使用演繹證明，認識到 只有用勿容置疑的演繹推理法才能獲得真理。要獲得真 理就必須從真理出發，不能把靠不住的事實當作已知。 從《幾何原本》中的10個公理出發，可以得到相當多的 定理和命題。 2．希臘人在數學內容方面的貢獻主要是創立平面幾何、 立體幾何、平面與球面三角、數論，推廣了算術和代數 ，但只是初步的，尚有不足乃至錯誤； 3．希臘人重視數學在美學上的意義，認為數學是一種美 ，是和諧、簡單、明確以及有秩序的藝術； 4．希臘人認為在數學中可以看到關於宇宙結構和設計的 最終真理，使數學與自然界緊密聯繫起來，並認為宇宙 是按數學規律設計的，並且能被人們所認識的。