第6章 远期利率与利率期货 金融工程学

准备知识 利率的种类 国债利率 LIBOR 回购利率 什么是衍生金融市场的无风险利率？

准备知识

假定日期是 2005年4月12日，星期一。公司预期未来11月内将借款100万美元，时间为3个月。假定借款者能以LIBOR水平借到资金，现在的LIBOR是6%左右。借款者担心未来1个月内市场利率水平可能上升。为避免利率风险，购买远期利率协议。这在市场上被称为“1~4月”远期利率协议，或简称为1×4远期利率协议。一家银行可能对这样一份协议以6.25%的利率报价，从而使借款者以的利率将借款成本锁定。银行为此会向客户收取一定的手续费。

交易日是2005年4月12日 􀂾 即期日通常为交易日之后 2天，即4月14日，星期三。 􀂾 贷款期从 2005年5月14日星期五开始，2005年8月16日星期一到期(8月14日是星期六），协议期为94天 􀂾 利率在基准日确定，即 5月12日 􀂾 我们假定 5月12日基准日的参考利率为7.00％

6.1中长期国债期货 国债的报价 交割券与标准券的转换因子 交割最便宜的债券 中长期国债期货价格的确定

国债的报价 长期国债期货的报价与现货一样，以美元和1/32美元报出，90-05的报价意味着面值$100,000债券的表示价格是：$90,156.25。 应该注意的是，报价与购买者所支付的现金价格（Cash Price）是不同的。现金价格与报价的关系为： 现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息 其中：报价有时称为干净价格(clean price)，现金价格称为不纯价格（dirty price）

假设现在是2002年11月5日，2016年8月15日到期，息票利率为12%的长期国债的报价为94-28（即94.875）。 由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是2002年8月15日，下一次付息日是2003年2月15日。 由于2002年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年11月5日到2003年2月15日之间的天数为102天，因此累计利息等于： 该国债的现金价格为：94.875美元+2.674美元=97.549美元

交割券与标准券的转换因子 长期国债期货合约中有一条规定，空方可以选择交割任何期限长于15年且在15年内不可赎回的债券。 芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为8%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子（Conversion Factor ）。

在计算转换因子时，债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月之后，否则就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。 空方交割100美元面值的债券应收到的现金： 空方收到的现金=期货报价交割债券的转换因子+交割债券的累计利息

某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18年4个月。标准券期货的报价为90-00，求空方用该债券交割应收到的现金。 为了计算转换因子，假定债券期日还有18年3个月，此时债券的价值为： 由于3个月期的利率为(1+0.04)0.5 –1=l.9804％。因此从距今3个月后的时点贴现到现在，债券的价值为163.73／1.019804=160.55。

转换因子=(160.55-3.5)/100=1.5705 空方交割10万美元面值该债券应收到的现金为： 1000[（1.570590.00）+3.5]=144，845美元

交割最便宜的债券 在任意时刻，有许多种债券可以用来交割CBOT的长期国债期货合约。 虑息票利息和到期日，它们之间的区别是很大的。空头方可以选择交割最便宜的债券(cheapest-to-deliver bond)进行交割。

由于空头方收到的价款为： (期货报价×转换因子)+累计利息 而购买债券的成本为： 债券报价+累计利息 交割最便宜的债券是： Min{债券报价-(期货报价×转换因子)}的那个债券。 逐个计算每个可用来交割的债券，就可以找出交割最便宜债券。

中长期国债期货价格的确定 假定交割最合算的国债和交割日期是已知的，那么我们可以通过以下四个步骤来确定国债期货价格： 1.根据交割最合算的国债的报价，算出该交割券的现金价格。 2.根据交割券的现金价格算出交割券期货理论上的现金价格。 3.根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。 4.将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货理论的现金价格.

例题 假定我们已知某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为12%，转换因子为1.4000的国债，其现货报价为$120，该国债期货的交割日为270天后。该交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率10%（连续复利）。请根据上述条件求出国债期货的理论价格。

首先，求出交割券的现金价格为： 其次，我们要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。 6e-0.33420.1=5.803美元 (122天=0.3342年) 再次，交割券期货理论上的现金价格为： （121.978-5.803）e0.73970.1=121.178美元 (270天=0.7397年) 再其次，交割券期货的理论报价为： 最后，我们可以求出标准券的期货报价：

6.2 短期国债期货 短期国债也被称为贴现债券(discount instrument)。期间它不单独支付利息，在到期日投资者收到债券的面值。 在期货合约到期日之前，标的资产可看作是比期货合约期限长90天的短期国债 例如，如果期货合约在160天后到期，标的资产就是250天的短期国债。

为进行一般性的分析，我们假定现在是0时刻，期货合约的到期期限为T年，作为标的资产的短期国债的到期期限为T*年(T*和T之间相差90天)。 我们进一步假定到期日T和T*的无风险连续复利率分别为r和r*。假定期货合约标的短期国债的面值为$100，其现值V*为：

由于在此期间短期国债没有支付收益，因此，我们得出期货的价格F为： 又因为：

所以，