重力

人類對天體的運行一直充滿著好奇與幻想，各式各樣的傳說與理論自古即流傳於各地。在這些論述中，不乏各式神鬼傳說與命運註解，也包含了許多爭論不休的學術觀點。雖然這些形而上的虛幻傳奇仍然流傳於坊間，但是科學上的爭執卻因牛頓重力理論(law of gravitation)的出現而大致底定。 http://www.nineplanets.org/luna.html

然而行星是如何的環繞太陽而運行，對其運動的描述所知仍十分有限。 早期希臘天文學家托勒密(Claudius Ptolemy)所構思以地球為中心的太陽系系統，歷經一千四百年未被推翻，直到1530年波蘭天文學家哥白尼(Nicolus Copernicus)提出太陽為太陽系之中心，而地球為環繞太陽運轉的行星之一的學說方正式挑戰地球為中心的迷思。 http://obs.nineplanets.org/psc/img/ptolemybig.gif 然而行星是如何的環繞太陽而運行，對其運動的描述所知仍十分有限。

在此紛爭不休的論戰中，丹麥天文學家Tycho Brahe採取了一個不同的思維，他認為解決這些爭執最好的方式為準確的量測這些行星的確切位置。他窮其一生，成功的建立一龐大且正確的天文資料庫，只可惜他未能在生前見到他的觀測結果所引起科學上的重大突破。值得一提的是，在當時望遠鏡尚未出現，故這些測量完全是依靠簡單的六分儀(sextant)與指南針(compass)。 http://galileo.rice.edu/sci/brahe.html

德國數學與天文學家Johannes Kepler於Brahe去世前擔任過其短暫的助理工作，承接了這項工作，又耗費了十六年的時間於資料的整理與數學模型推導，最後終於在火星繞行太陽的運轉運動中有所突破。Kepler將他的發現歸結為三個敘述，此即為後世所知的Kepler三大定律： http://kepler.nasa.gov/johannes/

Kepler三大定律： (一)All planets move in elliptical orbits with the Sun at one focal point. (二) The radius vector drawn from the sun to a planet sweeps out equal areas in equal time intervals. (三) The square of the orbit period of any planet is proportional to the cube of the semimajor axis of the elliptical orbit.

動力學的發展 Kepler發現這些定理之後，接踵而來的問題為，是什麼在推動行星運轉？當時的神學家曾湊熱鬧的提出，每顆星星後面皆有一位天使扮演著幕後的推手。這基本上符合當時的想法—力作用於行進的方向。 這觀念上的突破，來自於Galileo對自然運動的描述，亦即所導出的慣性定律。

只要砲彈於單位時間所自由掉落的距離與其水平運動的距離比，剛好等於地球弧度所引起的高度變化，則砲彈將永遠繞著地球走。這是另一個重要的觀念突破，根據牛頓的這項推測，促使行星繞著太陽運行背後的推力並非沿著運行的方向，而是當行星改變運動方向時，其所受的力為側向力。

由於對物體的運動有其獨特的認知，牛頓瞭解到天體運動中星體的環繞運動應為彼此之間存在著一剛好沿著連接物體方向上的吸引力。由Kepler第三定律的描述，此吸引力的大小會隨著物體間距離的變化而改變，Kepler描述 此結果顯示沿著連接物體方向上吸引力的大小與距離平方的倒數成正比。

問題:驗證牛頓的這項大膽的假設 利用由天文上所估算出月球軌道的半徑，除以月球運轉一週所需的時間，得到的是每秒掉落約 問題:驗證牛頓的這項大膽的假設 利用由天文上所估算出月球軌道的半徑，除以月球運轉一週所需的時間，得到的是每秒掉落約?距離。同時利用已知道地表物體每秒掉落的距離，推算出月球每秒應掉落的距離，依此驗證牛頓的假設是否正確。 天文上所估算出月球軌道的半徑，除以月球運轉一週所需的時間，得到的是每秒掉落約1/20 inch。牛頓知道地表物體每秒掉落約為16 feet的距離，若由月球軌道的半徑約為地球半徑的六十倍計算，月球每秒掉落應為16 feet的三千六百分之一，這剛好是1/20 inch。 http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

(Newton’s Law of Universal Gravitation) 牛頓萬有引力定律 (Newton’s Law of Universal Gravitation) 牛頓很聰明的體會到，這結果應該為一種”普遍”的現象，亦即萬物之間應存有一沿著連接物體方向上的吸引力，而其大小與距離平方的倒數成正比 。 此即為牛頓的萬有引力定律，其中G為萬有引力常數(universal gravitational constant)

線性疊加原理(The principle of superposition) F1=F12+F13+F14+…+F1n=F1j 若一質點受一連續質量分布物體影響，則所受引力可寫為 dm r dF m0

牛頓的殼理論（Newton's Shell Theorem） A uniform spherical shell of matter attracts a particle that is outside the shell as if all the shell's mass were concentrated at its center. (b) A uniform spherical shell of matter exerts no net gravitational force on a particle located inside it.

地球內外的重力 假設地球為一質量M半徑為R的均勻球，不考慮自轉，當r>R 當r<R，僅半徑為r的球內質量對重力有貢獻

例題:求地心軌道列車往返之時間 A. 50 S B.500 S C.5000S D.50000S E500000S <PowerClick><Answer>3</Answer><Option>5</Option><Point>1</Point></PowerClick>

請估算地球公轉軌道因月球之繞行地球而產生擾動運動之大小 例題:雙星系統(Binary Star) http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_star An eclipsing binary star is a binary star in which the orbit plane of the two stars lies so nearly in the line of sight of the observer that the components undergo mutual eclipses. 請估算地球公轉軌道因月球之繞行地球而產生擾動運動之大小

重力位能(Gravitational Potential Energy) 考慮兩質點質量m與M，假設M在原點不動，m之座標為r，m受到M的重力為 先考慮m沿固定方向（定為x方向）很慢地，即以準靜態(quasi-static process)過程(即v~0且維持不變，a=0)移動，外力做功抵抗重力，外力做功定義為兩點的位能差 方便起見，定義無限遠處之位能為零。

衛星運動 所以當考慮一質量為m的物體以速度v環繞另一質量為M的靜止物體運動，在M>>m的情況下，此系統的總能量為 將此結果代入總能中，我們可得到

例題:中華衛星一號的任務運轉軌道為600公里，求其運轉週期? <PowerClick><Answer>3</Answer><Option>5</Option><Point>1</Point></PowerClick> http://www.sciencela.org/repo9902.htm 中華衛星一號為一枚低軌道(Low Earth Orbit，簡稱LEO)小型 科學實驗衛星，於發射升空後，將進入與赤道傾斜(Inclination) 三十五度、距地球表面六百公里的上空飛行。大約每九十七分鐘繞行地 球一圈，每日約繞行十五圈 A. 60 S B. 600 S C. 6000S D. 60000S E 600000S

逃脫速度（Escape velocity） 由星球表面逃脫該星球引力範圍之最小速度。在星球表面時之總能最少要為零方有機會逃脫，即 這結果和m無關。用星球表面之重力加速度g表示

例題：In the figure, a space shuttle is initially in a circular orbit of radius r about Earth. At point P, the pilot briefly fires a forward-pointing thruster to decrease the shuttle’s kinetic energy K and mechanical energy E. (a) Which of the dashed elliptical orbits shown in the figure will the shuttle then take? same orbit orbit 2 orbit 1 <PowerClick><Answer>3</Answer><Option>3</Option><Point>1</Point></PowerClick>

例題：The space shuttle release a 470Kg communication satellite while in an orbit that is 280 km above the earth surface. A rocket engine boosts the satellite into a goesynchronous orbit. How much energy did the engine have to provide? A. 1013J B. 1012J C. 1011J D. 1010J E 109J 解答：Knowing that the period of geosynchronous orbit must be one day (86400 sec), we can then apply Kepler’s third law to find the radius So the total energy difference before it was launched from the shuttle and after it is put into the goesynchronous orbit would be the energy provided from the engine <PowerClick><Answer>4</Answer><Option>5</Option><Point>1</Point></PowerClick>