第一章 运动的描述 §1-1 参照系 坐标系 质点 §1-2 运动的描述 §1-3 相对运动 首 页 上 页 下 页 退 出

§1-1 参照系 坐标系 质点 一、运动的绝对性和相对性 例如,观察表明： v地日＝30kms-1, v日银＝25０kms-1, §1-1 参照系 坐标系 质点 一、运动的绝对性和相对性 例如,观察表明： v地日＝30kms-1, v日银＝25０kms-1, v银银＝600kms-1 这说明，一切运动都是绝对的，因此只有讨论相对意义上的运动才有意义。 英国大主教贝克莱：“让我们设想有两个球，除此之外空无一物，说它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。但是，若天空上突然产生恒星，我们就能够从两球与天空不同部分的想对位置想象出它们的运动了”。

 参考系 描述物体运动时被选作参考（标准）的物体或物体群——称为参考系。 运动描述的相对性：即选不同的参考系，运动的描述是不同的。 V 例如，在匀速直线运动的火车上所作的自由落体运动， 火车上的观察者：物体作匀变速直线运动； 地面上的观察者：物体作平抛运动。

卫星 地球 地球 Z X Y 地心系 o 日心系 地面系

二、坐标系 为定量地描述物体位置而引入。 常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球面坐标系或柱面坐标系等。 z P r   y x 极轴 r   x y z P Y O X s < 0 s > 0

三、物理模型 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理想模型。 *关于物理模型的提出 （１）明确所提问题； （２）分析各种因素在所提问题中的主次； （３）突出主要因素，提出理想模型； （４）实验验证。 “理想模型”是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。

1、 理想质点模型 选用质点模型的前提条件是： 物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r相比可以忽略； 或者物体只作平动。 两个条件中，具一即可。 真实的物体不满足上述条件时，则可将其视为满足第一个条件的质点系。

2、理想刚体模型 当物体自身线度l与所研究的物体运动的空间范围r比不可以忽略；物体又不作平动时，即必须考虑物体的空间方位，我们可以引入刚体模型。 刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。

§1-2 运动的描述 o 一、描述质点运动的四个物理量 1、位置矢量 1)位置坐标 质点P在直角坐标系中的位置可由P所在点的三个坐标（x，y，z）来确定 r Y Z X o P(x,y,z) 参照系

2)位置矢量 r 由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢。 其在直角坐标系中为 r的方向余弦是 在极坐标系中 在自然坐标系中

3）运动方程和轨迹方程 a、质点在运动过程中，空间位置随时间变化的函数式称为运动方程。 表示为： 或 运动方程是时间t的显函数。 b、质点在空间所经过的路径称为轨道（轨迹）。 从上式中消去t即可得到轨道方程。 轨道方程不是时间t显函数。

例1－1、平抛运动的运动方程为 轨迹方程为 例１－２、一质点的运动方程为 消去t，得轨道方程

2、位移和路程 1）位移 a、定义 ：由起始位置指向终了位置的有向线段； △t 时间内位置矢量的增量 位移的模 与矢量模的增量 不是同一个量

b、位移在直角坐标系中的表示式 2）路程△S △t 时间内质点在空间实际运行的路径。 位移和路程的比较与联系 不同处： 是矢量，S是标量； 只与始末位置有关； △S与轨道形状和往返次数有关； 因此，一般情况下 联系： 在△t →0时， 但仍是

3、速 度 描述质点位置变化和方向变化快慢的物理量 1）平均速度与平均速率 读成t时刻附近△t时间内的平均速度（或速率）

在一般情况下 在直角坐标系中 2）瞬时速度与瞬时速率 可见速度是位矢对时间的变化率。 可见速率是路程对时间的变化率。 可见速率是速度的模。 是轨道切线方向上的单位矢。

在直角坐标系中的表示式 3）

o 4、加速度 描述质点速度大小和方向变化快慢的物理量 为描述机械运动的状态参量 称为机械运动状态的变化率 1）平均加速度与瞬时加速度 r B A o v r D

2）加速度　在直角坐标系中

例1－3 一人用绳子拉着车前进，小车位于高出绳端h的平台上，人的速率为 v0 不变，求小车的速度和加速度（绳子不可伸长） 解：人在地面沿X轴方向前进，以滑轮为原点，则人在t 时刻的坐标为x，人的速度为 由于绳子不会伸长，故水平绳长S与斜向绳长l的变化率相同，绳长的变化率即为车前进的速率。

二、曲线运动的描述 1、平面曲线运动的直角坐标系描述—以抛体运动为例 1）物体作抛体运动的运动学条件： 2）重力场中抛体运动的描述 X Y (1)速度公式  (2)坐标公式

(3) 几个重要问题 (i)射高 : 将tH代入坐标公式y中 得 （或看成 竖直上抛） 飞行总时间 (ii)射程： 代入坐标公式x中 得 当 时， 射程最大 讨论：   当 时， 有最大射高

2、曲线运动的自然坐标系描述 １）自然坐标系 质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的轴线——自然坐标。 (1)坐标架单位矢： 方向通常指向前进方向， 方向指向曲线凹侧 (2)位置表示法 从O/点起，p点的弧长为S ——弧坐标

(3)元位移 2）切向加速度和法向加速度 P1 P2 A B C △

a、切向加速度 b、法向加速度

引入曲率、曲率半径 注意 的区别 ※ 将a向不同的坐标轴中投影

例1－4 以速度v0平抛一球，不计空气阻力，t时刻小球的切向加速度量值 a ；法向加速度量值an 。 解：由图可知

3、圆周运动的描述 1）圆周运动的线量描述 位矢 元位移 速度 加速度 匀速率圆周运动：

2）圆周运动的角量描述 （1）基本知识 角位置 角位移 角速度 角加速度

（2）匀角加速圆周运动 请与匀速率圆周运动区别。 　当我们用平面极坐标描述圆周运动时，只有一个变量θ，故其可与匀变速直线运动类比。 匀角加速圆周运动 匀变速直线运动

 3）线量与角量的关系 同一种运动的两种描述方法，二者必有联系。 角速度矢量与线速度的关系。 角速度矢量的方向： 由右手螺旋法规确定。 v v r

例1－5 一质点作匀变速圆周运动（即角加速度 =常量）t = 0时，＝0, ＝0, 求运动规律。 解 从①②两式中消去 t 可得

例1－6　一运动质点在某瞬时位于矢径r（x、y）的端点处，其速度大小为 （A ）dr /dt (B） （C） （D） 答：（D） （A）为速度的径向分量 （B）是速度 （C）与（A）同 (D)因为

例1－7　试说明质点作何种运动时，将出现下列各种情况(v 0）（1）at  0，an 0；-------------------------

四、运动学中的两类问题 1、已知运动方程，求速度、加速度(用求导法 ) 二、已知加速度(速度)，初始条件，求速度(运动程)(用积分的方法) 设初始条件为 ：t = 0 时，x=x0，v = v0

例1－9 一质点的运动方程为 x =4t2, y = 2t + 3,其中x和y的单位是米（m），t的单位是秒（s）。试求：（1）运动轨迹；（2）第一秒内的位移；（3）t = 0 和 t = 1s 两时刻质点的速度和加速度。 解（1）由运动方程 x = 4t2 ，y = 2t + 3 消去参数 t 得 　x =(y－ 3)2 此为抛物线方程，即质点的运动轨迹为抛物线。 （2）先将运动方程写成位置矢量形式 所以第一秒内的位移为

（3）由速度及加速度定义 速度 v dt d i a 8 = 加速度 所以

例1－10 列车自O进入圆弧轨道，其半径为 R＝500m。t = 0时，列车在O点，之后其运动规律为S＝30t  t3（长度以m为单位，时间以s 为单位）。试求 t = 1s时列车的速度和加速度。 由速度公式 t = 1 s 时 v1=30－3×12＝27m·s-1

t = 1 s 时 故加速度大小

例1-11 一质点沿半径R=0.10m的园周运动，其运动方程=2+4t3,则t=2s时其切向加速度a=------，法向加速度an=------，当a=a／2时，=------。 解：

例1－12　 设质点在 X 轴上作直线运动，其加速度随时间 t 的变化关系为：a = 1-2t +3t2, t= 0时，x =x0, v=v0, 求运动方程。 解： 根据加速度公式 上式可写成 adt = dv 两边积分

求运动方程 运动方程

例1－13 质点沿x轴运动，其中加速度与位置的关系式为 a＝2＋6x2 ，设质点在x=0处 ，v＝10m·s－1，试求质点在任何坐标处的速度值。 解：

例1－14 一质点沿x轴运动，其加速度 a=－ kv2，式中k为正常数，设t=0时，x=0，v=v0； ①  求v，x作为 t 函数的表示式； ② 求v作为x的函数的表示式。 解 ① 由题知 分离变量得

§1-3 相对运动 引出：运动是绝对的，运动的描述具有相对性。 以车站为参照系 车站 以汽车为参照系 车站

一、运动参照系，静止参照系 １、“静止参照系”、“运动参照系”都是相对的。 X’ 相对于观察者为静止的参照系,称为静止参照系。 相对于观察者为运动的参照系,称为运动参照系。 对于一个处于运动参照系中的物体，相对于静止参照系的运动称为绝对运动; 运动参照系相对于静止参照系的运动称为牵连运动; 物体相对于运动参照系的运动称为相对运动。

二、参照系彼此之间有相对运动 （非相对论效应） 设Ｓ／系相对Ｓ系以速度v０运动，P为S/系中的一个质点， X Y O S X/ Y/ O/ S/ v0 • P P对于O点的位矢为绝对位矢　r O/对于O点的位矢为牵连位矢　r0 P对于O/点的位矢为相对位矢　r' 在牛顿的时、空观中 即绝对位矢=牵连位矢+相对位矢

将 两边对t求导， 即得 绝对速度v绝，牵连速度v牵，相对速度v相 ，且有 将上式再对t求导，即可得绝对加速度，牵连加速度，相加对速度 之间的关系 两点说明： 上述各式均只在v<<c时成立； 上述结论只适用于两参考系间不存在转动的情况。

 三、同一参照系内，质点系各质点之间的相对运动 若一质点系同在某一基本参考系内运动，如果我们讨论的是质点系内各质点间的相对运动，则有时运用下面的方法要方便些。 设A、B为质点系内的两个质点，它们同在OXYZ系内运动，rA、rB为对O点的位矢，则 两质点间的相对位矢，即B对A的位矢为 B对A的相对速度 B对A的相对加速度

后一种描述相对运动的方法可以统一到前一种方法中。例如，将A质点看成S/系，则rA为牵连位矢，rBA为相对位矢，则rB为绝对位矢，于是有

例１－１6 一辆汽车以速率10ms-1向东行驶，若相对于地面竖直下落的雨滴在车窗上形成的轨迹偏离竖直方向300角，则雨滴相对于地面和相对于汽车的速率分别为多少？ 以地为参照系 以汽车为参照系

解： 由加法法则 故由题意画出左图， 由图可知

例1-17 在一光滑平面上，A物体沿钭面下滑，当物体A到达某位置时，其相对B物体的速度为 B物体相对地面的速度为 ,求A对地面的速度。 X Y O O’ X’ Y’ A 根据上式作出矢量图，  B 由平行四边形法则,有

小 结 加速度 位矢 位移 速度 矢量性： 四个量都是矢量，有大小和方向， 加减运算遵循平行四边形法则。 瞬时性： 小　　　结 加速度 位矢 位移 速度 矢量性： 四个量都是矢量，有大小和方向， 加减运算遵循平行四边形法则。 瞬时性： 某一时刻的瞬时量，不同时刻不同。 过程量 相对性： 不同参照系中，同一质点运动描述不同； 不同坐标系中，具体表达形式不同。