浙江大学CAD&CG国家重点实验室，教I 三楼 Chapter 3. Transforms 变换 金小刚 Email: jin@cad.zju.edu.cn 浙江大学CAD&CG国家重点实验室，教I 三楼

变换可以用来改变物体的位置、形状；对物体、光源和摄像机设置动画等 用齐次坐标，4X4矩阵来表示 大部分图形API (Application Programming Interface)包含矩阵操作

基本变换 Translation transform Rotation transform Scaling transform Shearing transform Transform concatenation Rigid body transform Normal transform Affine transform: 平行线变换到平行线，但不保持长度和角度

平移变换 y y x x

旋转变换

性质1：迹与旋转轴无关，都为 性质2：所有旋转矩阵为正交阵，多个旋转矩阵相乘仍为正交阵。

比例缩放变换 Example: Scaling in a certain direction 假设沿正交、右手系的矢量fx , fy , fz进行比例变换,则首先构造矩阵 最后的变换为

错切变换 六个基本错切矩阵：Hxy(s), Hxz(s), Hyx(s), Hyz(s), Hzx(s), Hzy(s)。 第一个下标表示改变的坐标 第二个下标表示实施错切的坐标

由于|H|=1, 故错切变换是一个保体积的变换 z z s 1 Hxz(s) 1 x x 1 1 由于|H|=1, 故错切变换是一个保体积的变换

Concatenation of Transforms 因矩阵相乘是不可交换的，所以矩阵的串连是与次序有关的 矩阵串连的好处：节约计算量，提高效率 复合矩阵为：C=TRS (对于column-major) 注：对于row-major，复合矩阵为C=SRT

刚体变换 只有物体的位置（平移变换）和朝向（旋转变换）发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚体变换 特点：保持长度和角度

Normal Transform(法向变换) 几何变换矩阵不能直接用于变换法向！ 假设变换几何的矩阵为M，则用于变换法向的矩阵为N＝(M-1)T y y y incorrect correct polygon normal x x x 沿x方向比例缩放0.5

如果已知矩阵是正交的（只有旋转），则不需要计算机矩阵的逆：N＝(M-1)T＝M 平移不影响法向 若是刚体变换（保长的），采用法向变换的优点是可以避免法向的重新单位化 什么时候应用？ > 如果三角形的顶点包含法向信息，则必须应用法向变换。 > 若法向是通过计算三角形边的叉积得到，则不需要。

逆矩阵的计算 如果矩阵由一个或多个简单变换复合而成，而且已知参数，则逆矩阵可通过“逆参数”和矩阵相乘次序来得到。 例子：M=T(t)R(Ø)，则M-1= R(-Ø)T(-t) 如果矩阵已知是正交的，则M-1 ＝MT 如果未知任何信息：伴随矩阵法、Cramer法、LU分解法、Gauss消去法 Cramer法和伴随矩阵法具有较少的“if”分叉，应优先选用。 在现代的体系结构中， “if”测试最好避免

特殊矩阵变换和操作 实时图形中非常重要的矩阵变换和操作 1。Euler变换 2。从一矩阵中抽取基本变换 3。绕任意轴的旋转

Euler变换 Euler变换是一种直观的使一个物体（或摄像机）朝向一指定方向的有效方法。 其来源：瑞士大数学家Leonard Euler 缺省视域方向：视线为－z轴，头朝＋y轴 Euler变换是三个矩阵的相乘 E为一正交阵，其逆矩阵

Euler变换：Head，Pitch and Roll 摇头 “No” y head 左右摇晃身体 点头 roll pitch -z x Euler变换：Head，Pitch and Roll 其它命名方式：x-roll, y-roll, z-roll。在飞行仿真中，采用yaw而非head

Gimbal lock现象：当一个自由度丧失时。 当 时，矩阵只依赖一个角（r+h）

从Euler变换获取参数 从一正交矩阵反求Euler参数 把上式展开，得到

由于sin p= f21 , f01/ f11= - tan r, f20/f22= -tan h 故三个欧拉参数的值为 h = atan2 (-f20, f22) p = arsin(f21) r = atan2(-f01,f11)

特殊情况处理 当cos p = 0时，f01=f11=0，此时r = atan2(-f01,f11)无解。因cos p = 0时，故sin p = ±1, 可任意设定 h=0, 再得到 r = atan2(f10, f00) 由于p的值域为[-900,900]，如果p的值不在这个范围，原始参数无法求得。故求得的h、p、r不是唯一的。

矩阵分解 应用需求： 获取比例缩放因子 对于特殊系统，获取基本变换（如VRML采用Transform节点，不支持任意4X4矩阵） 决定一个变换是否刚体变换 当只有矩阵信息时，动画中关键帧插值问题 从一矩阵中剔除错切部分 平移获取很容易，rotation, scaling, shears获取较复杂

绕任意轴旋转 绕任意单位轴r旋转角度α是一个很有用的操作 思想: (1).由r构造一正交坐标系 (2).变换坐标系，使得r与x轴重合 (3).绕x轴旋转 (4).变换回去 y y y r s r M MT s s r x x x t Rx(α) z t z z t

正交坐标系的构造 数值稳定的方法：先找到r中绝对值最小的坐标分量，然后把其设置为0，然后设置

由（r, s, t)构造矩阵M，该矩阵M把r变换为x轴， s变换为y轴， t变换为z轴。 故最后的变换为 含义：先把r变换为x轴，然后绕x轴旋转，最后用M的逆矩阵变换回去。注：这里M-1=MT

Goldman提出的方法 参考：Goldman, Ronald, “Matrices and Transformations ”, in Graphics Gems, 1990, pp.472-475

四元数（Quaternion） 最早由Sir William Rowan Hamilton于1843年提出，从复数推广到四维空间 1985年，Shoemake把四元数引入计算机图形学 在表示旋转和朝向方面，优于Euler角。具有表示紧凑，朝向插值稳定的优点

数学背景 定义： q=(qv, qw)=(iqx+jqy+kqz+qw)= qv+qw , qv= (iqx+jqy+kqz)=(qx, qy, qz) , i2 = j2 = k2 =-1, jk=-kj=i, ki=-ik=j, ij=-ji=k qw为实部， qv称为虚部，i, j, k 称为虚轴

四元数乘： qr = (iqx+jqy+kqz+qw) (irx+jry+krz+rw) = i (qyrz-qzry+rwqx+qwrx) + j (qzrx-qxrz+rwqy+qwry) + k (qxry-qyrx+rwqz+qwrz) + qwrw-qxrx-qyry-qzrz =(qv× rv+rw qv+ qw rv, qw rw- qv. rv) 四元数加： q + r = (qv, qw) + (rv, rw) = (qv+rv , qw+rw)

四元数共轭： q*= (qv, qw)*= (-qv, qw) 四元数范数： n(q)= ||q2|| =q q*=q* q = qv .qv+q2w=q2x+q2y+q2z+q2w 四元数的逆：q－1= q* / ||q2|| 共轭法则: (q*)*= q; (q+r)*= q*+ r* ; (qr)*= r*q* 范数法则: n(q) = n(q*); n(qr) = n(q) n(r)

线性性： p(sq+tr) = s pq+ tpr (sp+tq)r = s pr+ tqr 交换率：p(qr)=(pq)r 单位四元数： n(q) =1, 可写成 q= (sinø uq, cosø)=sinø uq+cosø; 其中||uq||=1 对于单位复数，有 cosø+ i sinø = eiø 对于单位四元数有：q= sinøuq+ cosø= eøuq 对数运算：log(q)=log(eøuq)=øuq 指数运算：qt=(sinøuq, cosø)t=eøtuq =sin(øt)uq+ cos(øt)

四元数变换 单位四元数的最重要性质：能表示任意旋转，而且表示简单、紧凑 给定矢量p=(px, py , pz , pw)T和单位四元数 q= (sinø uq, cosø)，qpq-1把p绕单位轴uq旋转2ø角度 q和-q表示相同的旋转 q和r的复合旋转为rq uq ø ø

矩阵转换 把q转化为旋转矩阵，可得到( 设s=2/n(q) )： 对于单位四元数，上式简化为

旋转矩阵到四元数的转换 由Mq可得到 故若得到qw，则qx、 qy、 qz便可得。因为

故单位四元数为

单位四元数的球面线性插值 给定两个单位四元数q和r，计算其插值四元数 代数形式 更有用的形式Spherical Linear intERPolation (Slerp)

多个单位四元数的插值 目标：给定单位四元数q0, q1, … qn-1,计算其插值四元数 用Slerp直接推广，会导致关键帧处朝向的变化不连续 三次样条法: (1) 首先计算辅助四元数 (2) 然后用三次样条进行插值

从一个矢量旋转到另一矢量 给定两个单位矢量s和t，要把s变换到t 该问题可很容易采用四元数来解决。 (1) 首先计算单位旋转轴u=(s×t)/|| s×t || (2) e=s.t=cos(2Ø), ||s×t||=sin(2Ø), 2Ø为s和t之间的夹角，则所对应的旋转四元数为q=(sinØu,cosØ),简化后可得

通过巧妙的技巧，对应的旋转矩阵简化为 由于没有开方和三角运算，计算效率高

顶点混合（Vertex Blending） 假设一个数字角色的手臂用前臂和后臂来模拟，我们要对手臂设置动画。 若采用刚体变换设置动画，则关节处（肘）不像真实手臂。因为我们采用了两个分离的物体来模拟手臂，在关节处有重叠部分。 解决方法：Vertex Blending (其它称呼：Skinning, Enveloping, Skeleton-subspace Deformation) 采用一个物体模拟，关节处应是柔性的。

刚 体 simple skin 顶点混合 前臂2/3, 后臂1/3 folding (2/3,1/3) bones ＋ ＋ ＋ ＋ (1/3,2/3) 刚 体 simple skin 顶点混合

最简单方法：前臂和后臂仍单独设置动画，但关节处用一柔性的“skin”来连接。 柔性部分的一部分顶点由前臂的矩阵来变换，另一部分由后臂的矩阵来变换。即：一个三角形的顶点可以由不同的矩阵来变换，而不是一个矩阵。这种基本技术有时也称为“Stitching”。 进一步推广：一个顶点可以由几个不同的矩阵进行加权变换 实施方法：在物体上放置关节骨架，每个骨架按用户给定的权因子影响顶点。

整只手臂可以是 “柔性”的。所有的顶点可以由多个矩阵影响。整个多边形网格常称为骨架上的“skin”(外皮) vertex blending 例子

顶点混合的数学表示 p为原始顶点，u(t)为变换后的顶点，n为影响p的关节数目 Mi：把第i个关节骨架的初始坐标系变换到世界坐标系 Bi(t)：第i个关节随时间变化的世界变换，通常是一系列矩阵的连乘 wi:第i个关节骨架作用于p的权因子 vertex blending 例子

顶点混合可在CPU上实现。如果是瓶颈，则该操作应在图形硬件上实现， 有些图形硬件支持顶点混合。也可以用可编程图形硬件（Vertex Shader）实现。 DirectX 8 允许两种流水线来实现Skinning: (1) Fixed function path (2) Vertex shader

Fixed function path: 最多允许256个矩阵，每个顶点可最多用其中4个矩阵（在实用中已足够）。该系统称为“indexed vertex blending”。 缺点：Fixed function path 不能与Vertex shader联合使用，因为 Vertex shader 是另一个流水线的一部分。 采用Vertex shader实现vertex blending 的好处： (1). 硬件加速 (2). 可与per-pixel lighting 结合

Vertex Blending的一些其它问题 如果需要对皮肤模型进行精确的碰撞检测，则为了获取变换后的顶点，顶点混合不得不在CPU内进行（否则需要在GPU和CPU之间进行顶点传输）。 顶点混合可能出现的问题：不应该的折叠、扭曲，自交

投影（Projections） 到目前为止，齐次变换中的w分量还没有用到 透视投影矩阵（Perspective projection matrices）将用到该分量 我们采用右手坐标系，视线方向为-z 注：DirectX 采用的是左手系

正交投影(Orthographic Projection) 特征：平行线投影后仍为平行线 正投影到平面z＝0的投影矩阵为

该矩阵把由这些平面构成的Axis-Aligned Bounding Box (AABB)变换为与轴对齐的立方体 实现正交投影更常用的矩阵：通过六元组来表达。(l, r, b, t, n, f)：Left, Right, Bottom, Top, Near, Far planes. 该矩阵把由这些平面构成的Axis-Aligned Bounding Box (AABB)变换为与轴对齐的立方体 t y y y l r n T(t) S(s) b x x x z z z

对应的矩阵

Direct X中的正交投影 在DirectX中，z的值域为[0,1],而不是[-1,1],此时正交矩阵为

透视投影 特征：平行线投影后不再平行。 透视投影是图形学应用中用得最多的投影变换，因为它符合人观察世界的习惯。 假设投影平面为z=-d, d>0, 摄像机（视点）在原点，待投影的点为p，投影得到的点为q(qx, qy, -d)

投影平面z = -d p y pz p + q z = -d q q x x qx px z z 根据相似三角形法则：

得到透视变换矩阵 显然，容易验证

透视变换把视域四棱锥变换为正则视域体 视域四棱锥由(l, r, b, t, n, f)决定 (r, t, n ) (l, b, n ) y Pp (r, t, n ) (l, b, n ) x x z z

视域FOV（Field of View） Horizontal field of view: 由左右平面的夹角决定(l和r) Vertical field of view:由上下平面的夹角决定(t和b) FOV越大，则摄像机看到越多 若l≠r或者t≠b，则视域四棱锥为不对称的。在CAVE等立体视域中，需要不对称视域四棱锥

透视变换矩阵 把该变换应用于一个点，我们可以得到点q=(qx, qy,qz,qw)T, 通常其w分量不为零且不等于1。为了得到投影点，需要除qw分量。 该矩阵把z=f变换为＋1，把z=n变换为－1

OpenGL的透视变换矩阵 首先乘以变换S（1，1，-1），使得远平面和近平面的值为正，0<n’<f‘

DirectX的透视变换矩阵 把近平面变换为z=0, 远平面变换为z=1；而且DirectX采用左右系来定义投影矩阵

透视变换引起的深度值的非线性变化 采用透视变换的一个结果是计算得到的深度值不再随输入的pz值线性变化 远平面和近平面的值影响z-buffer的精度 近平面越靠近原点，接近远平面的点使用的规范化设备坐标深度空间越小，这使得Zbuffer在远距离的地方不精确