第十章　图像的频域变换

问题的提出： 人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。 但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性。　　　

10.1 二维离散Fourier变换 正变换： 二维Fourier变换可以转化为两次一维Fourier变换。 注：这里给出的一维正变换的系数为1。 二维Fourier变换可以转化为两次一维Fourier变换。

10.1 二维离散Fourier变换 反变换： 注：逆变换的系数不为1。

10.1 二维离散Fourier变换 因为Fourier变换是一种正交变换，所以其正、反变换的系数可以有几种表示形式。 按照严格意义上的正交变换，正、反变换的系数相等，为： 按照计算方便的角度，正、反变换的系数可以按照前面的方式给出，并且正、反变换的系数可以互换。

10.1 二维离散Fourier变换 Fourier变换有两个好处： 1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。

10.2 快速Fourier变换（FFT） 快速Fourier变换的提出，是为了减少计算量。 律，按照其规律整理出适合计算机运算的逻辑 结构。

10.2.1 FFT的推导 （分成奇数项和偶数项之和）

10.2.1 FFT的推导 （又可分成奇数项和偶数项之和）

10.2.1 FFT的推导 = = = = = …… …… FFT的数据变换规律之一是： 1)可以不断分成奇数项与偶数项之加权和。 2)奇数项、偶数项可分层分类。

10.2.1 FFT的推导 至此，计算量可减少近一半。

10.2.2 FFT的设计思想 首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。 加（减）的简单运算的重复。

10.2.3 FFT算法 1. 先将数据进行奇、偶分组。 例： 下标为2x 下标为2x+1

10.2.3 FFT算法 偶数部分： 奇数部分： 下标用二进制数表示为： 下标用二进制数表示为： 0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110 奇数部分： 下标用二进制数表示为： 0001，0011，0101，0111，1001，1011，1101，1111

10.2.3 FFT算法 2.对偶数部分进行分层分组排序 第一层下标为： 0 2 4 6 8 10 12 14 第一层下标为： 0 2 4 6 8 10 12 14 二进制数为：0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110 /2 移位：000，001，010，011，100，101，110，111 偶数组：000，010，100，110 奇数组：001，011，101，111 0 2 4 6 1 3 5 7 *2 第一层下标分组为： 0， 4，8，12； 2，6，10，14

10.2.3 FFT算法 第二层下标为： 0 4 8 12 二进制数为： 0000， 0100， 1000， 1100 /4 0 2 1 3 第二层下标为： 0 4 8 12 二进制数为： 0000， 0100， 1000， 1100 /4 移位：00，01，10，11 偶数组：00，10 奇数组：01，11 0 2 1 3 *4 第二层下标分组为： 0， 8； 4，12；

10.2.3 FFT算法 3. 根据每层偶数组的排序方式，获得奇数组的排序方式。 因为偶数项的系数为f(2x)，奇数项的系数为f(2x+1) 所以由第二层偶数排序： 0， 8， 4，12； 可以得到第一层偶数排序为：0，8，4，12，2，10，6，14； 再根据第一层的偶数排序，获得原始数据的排序为： 0，8，4，12，2，10，6，14，1，9，5，13，3，11，7，15

10.2.3 FFT算法 4. 进行分层的奇、偶项相加。 对第二层偶数排序： 0， 8， 4，12； 对上面的结果再进行相加运算： ………

10.2.4 FFT算法图示

10.2.5 FFT计算例 设对一个函数进行快速Fourier变换，函数在采样点上的值设为：

偶数项部分： 奇数项部分： 下标值分别为：000，010，100，110 排序为： 000, 100, 010, 110 排序为： 000, 100, 010, 110 奇数项部分： 下标值分别为：001，011，101，111 排序为： 001, 101, 011, 111

分成偶数、奇数为（偶数在左，奇数在右）：

按照前面叙述的FFT方法,第1层(4组2个点的运算)： 同理：

第2层（2组4个点的运算）： 同理：

第3层（1组8个点的运算）：

对函数： 按照定义，可得其Fourier变换为： 下面，我们以F3为例验证结果是否正确：

10.3 二维Fourier变换的应用 前面已经提到了Fourier变换有两个好处，即：可以获得信号的频域特性；可以将卷积运算转换为乘积运算。 因此二维Fourier变换的应用也是根据这两个特点来进行的。

10.3.1 在图像滤波中的应用 首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。

10.3.2 在图像压缩中的应用 变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。 10.3.2 在图像压缩中的应用 变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。 考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。

10.3.3 在卷积运算中的应用 从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。 Fourier变换可以卷积运算转换为点乘运算，由此简化运算，提高计算速度。

10.4 离散余弦变换（DCT） 问题的提出： Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。

10.4 离散余弦变换（DCT） 正变换： 逆变换： 其中：

10.4 离散余弦变换（DCT） DCT变换的应用： 余弦变换实际上是利用了Fourier变换的实数部分构成的变换。 余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。 具体的做法与DFT相似。即高频部分压缩多一些，低频部分压缩少一些。

作 业（共1题） 1. 第230页 第1题。

Fourier 变换示意图

Fourier变换的频率特性

Fourier变换的低通滤波

Fourier变换的高通滤波

基于Fourier变换的压缩 压缩率为：3.3：1 压缩率为：2.24：1 压缩率为：1.7：1 另一幅图像效果

基于Fourier变换的压缩 压缩率为：16.1：1 压缩率为：8.1：1 压缩率为：10.77：1