14 波动光学

大学物理（下） 14　波动光学 14.8 衍射光栅

明纹 暗纹

干涉相消（暗纹） 中央明纹中心 干涉加强（明纹中心）

同时考虑干涉和衍射

Figs on 2~7 are from http://hyperphysics. phy-astr. gsu

一 光栅——平面衍射光栅 衍射光栅：由大量等间距、等宽度的平行狭缝 所组成的光学元件。 用于透射光衍射的叫透射光栅。 一 光栅——平面衍射光栅 衍射光栅：由大量等间距、等宽度的平行狭缝 所组成的光学元件。 用于透射光衍射的叫透射光栅。 用于反射光衍射的叫反射光栅。 a b d 刻痕，遮光 未刻，缝透光 光栅常数 d N l 数量级为10-5~10-6m （一厘米内刻有1000---10000条刻痕，亦称为光栅规格）

二 光栅衍射条纹的形成 Y I 屏 幕 衍射和干涉 的 总效果 光 透 栅 镜 条纹特点：亮、细、疏 各单缝分别同时产生单缝衍射。 二 光栅衍射条纹的形成 Y 各单缝分别同时产生单缝衍射。 各单缝衍射的平行光产生多光束干涉。 衍射和干涉 的 总效果 I 光 栅 透 镜 屏 幕 条纹特点：亮、细、疏

a b d B C a b d B C a b d B C a b d B C I 各单缝衍射的平行光产生什么样的 多光束干涉？ 从相邻单缝射出的平行光依次相差 相同的光程BC或相同的相位差 即光栅衍射是N个相位依次相差的光振动的叠加

-1 -2 1 2 -2 2 综合： 单缝衍射 多缝干涉 单缝衍射对光强的调制 光栅衍射条纹是单缝衍射与多缝干涉的总效果。 干涉、衍射均有： 只考虑单缝衍射强度分布 单缝衍射 -1 -2 1 2 多缝干涉 只考虑五缝干涉强度分布 干涉、衍射均有： 单缝衍射对光强的调制 -2 2 明纹的光强受到衍射光强的调制。（参与干涉的光是衍射的光.） 光栅衍射条纹是单缝衍射与多缝干涉的总效果。

Y I 光栅方程 a 透 d 镜 b C B 三 明纹公式：光栅方程 （主极大明纹） 光 栅 屏 幕 三 明纹公式：光栅方程 每两个相邻主明纹之间有N-1条暗纹和N-2条次明纹 （主极大明纹） Y 3级明纹 2级明纹 1级明纹 I 中央 明纹 光栅方程 a b d B C -1级明纹 光 栅 透 镜 -2级明纹 屏 幕 -3级明纹

光栅衍射明纹条件 光栅方程 讨 论： 1）光强分布 亮纹的光强 ：单缝光强） （　 ：狭缝数， 光栅中狭缝条数越多，明纹越亮.

光强分布 中央明纹 第一级主明纹 第二级主明纹 次明纹 理论计算表明，在两相邻主明纹间有 N - 1 条暗纹和 N - 2 条次明纹 ，因为次明纹的光强远小于主明纹，所以暗纹和次明纹连成一片形成暗区.

2）条纹最高级数 3）光栅衍射明纹位置 P F f d    L2 明纹间距

4）缺级现象 在某些特定的衍射方向，满足光栅方程中的明纹条件，但又满足衍射的暗纹条件时，这一特定方向的明纹将不出现的现象，称为“缺级”。 单缝衍射 只考虑单缝衍射强度分布 -1 -2 1 2 只考虑五缝干涉强度分布 多缝干涉 1 2 4 5 -1 -2 -4 -5 3 -3 -6 6 干涉、衍射同时考虑 衍射+干涉 缺 级 -2 2 1 2 4 5 -1 -2 -4 -5

缺级公式： 既满足光栅方程中的明纹条件，又满足衍射的暗纹条件 由明纹公式（光栅方程）： 称为干涉级 k 由单缝衍射的暗纹公式： 称为衍射级 同时满足两式， 式（1）/（2）得： 缺级公式： （为整数比）

缺级公式： 例：一光栅，b=2a。则缺级的明纹： 故缺级级次 I 缺 级 1 2 4 5 -1 -2 -4 -5

N=2 双缝衍射 I 1 2 4 5 -1 -2 -4 -5 缺 级 缺 级 I 1 2 5 -1 -2 -5 3 6 -6 I 1 2 4 -1 -2 -4 3 6 -6 缺 级

光栅（N=5；d/a=3） 缺 级 I 1 2 4 5 -1 -2 -4 -5

5）光栅光谱 白光投射在光栅上，在屏上除零级主极大明条纹由各种波长混合仍为白光外，其两侧将形成由紫到红对称排列的彩色光带，即光栅光谱。

入射光为白光时， 不同， 不同，按波长分开形成光谱. 一级光谱 二级光谱 三级光谱

一级光谱 二级光谱 三级光谱 重叠现象 例如　二级光谱重叠部分光谱范围 二级光谱重叠部分:

例 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平面光栅上，求第三级光谱的张角. 解 cm 紫光 红光 不可见 第三级光谱的张角 第三级光谱所能出现的最大波长 绿光

小结： 1）光栅衍射条纹具有亮、细、疏的特点。 亮：每一单缝出射的光强虽小，但N条单缝 的光强叠加起来，光强会增强。 细、疏：光栅的单缝数量很大，光栅常数很小，在相邻两个主极大明纹之间占着很大的角宽度。 2）主要公式 光栅方程 明纹公式： 缺级公式：

条纹最高级数 光栅衍射明纹位置 明纹间距 一定时，光栅常数越小，条纹越稀疏，反之则越密。 d=a+b一定时，波长越大，衍射角越大。 3）当白色光入射光栅时，将产生彩色的衍射 光谱。从中央到两侧将出现由紫到红的光 谱。

练习和例题

[例1]一平面透射光栅，在1mm内刻有500条纹。现用λ=0.59×10-3mm钠光谱观察。求：光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱？ 解：光栅常数为 取整，即垂直入射时，最多能看到第三级光谱

[例2]双缝缝距d=0. 40mm, 两缝宽度都是a=0. 08mm，用波长λ=480nm的平行光垂直照射双缝, 在双缝后放一焦距f =2 [例2]双缝缝距d=0.40mm, 两缝宽度都是a=0.08mm，用波长λ=480nm的平行光垂直照射双缝, 在双缝后放一焦距f =2.0m的透镜, 求:(1)在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距△x; (2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目 解：1）对双缝干涉第k级明纹有 第k级明纹在屏上的位置 即在单缝衍射中央明纹范围内，只有 级明纹出现 所以双缝干涉明纹的数目

即光屏上实际呈现级数为4-1=3，对应于明纹 k =-4,-2,-1,0,1,2,4共七条 [例3]波长为7000A的单色光，垂直入射在平面透射光栅上，光栅常数为3×10-4 cm，缝宽为10-4cm。求(1)最多能看到第几级光谱?(2)哪些级出现缺级现象? 解:  取整，即最多可看到第四级光谱 满足 时缺级 时缺级 又 即光屏上实际呈现级数为4-1=3，对应于明纹 k =-4,-2,-1,0,1,2,4共七条

解（1）由光栅方程 条 只能看到第一级衍射明纹 （2） 例4 用氦氖激光器发出的 的红光，垂直入射到一平面透射光栅上，测得第一级明纹出现在 的方向上，试求（1）这一平面透射光栅的光栅常数d , 这意味着该光栅在 1cm 内有多少条狭缝？（2）最多能看到第几级衍射明纹？ 解（1）由光栅方程 条 只能看到第一级衍射明纹 （2）

例5： 一平行衍射光栅，每厘米刻1000条，用可见光垂直入射，缝后透镜焦距f = 100cm 1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度 2、证明第二、三级光谱重叠 3、 解：1）光栅常数为

2）红光 紫光 二级红光与三级紫光重迭 3） 3） 缺级 最多可见主明纹 第 12、8、4、-4、-8、-12 级主明纹缺级

作业 P238: 24；25；

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