中央研究院物理研究所 高中科學培訓計畫 蘋果與月亮 劉源俊 96年5月5日

蘋果與月亮 ─ 力學概念的發展 ─ ‧伽利略與下落的蘋果 ‧牛頓與蘋果 ‧蘋果與月亮的聯想 ‧萬有重力律 ‧從力到勢 ‧蘋果與雲的聯想

嘗試從一顆蘋果看世界

伽利略與下落的蘋果

? Galileo Galilei (1564-1642)

Dialogues Concerning Two New Sciences 1638

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落

越落越快? h v

v ～ h ?

h/2 h v/2 ? v

v ～ h ? v ～ t ? v = g t 重力加速度g = 常數 ─等加速度運動 h = ½ (0+g t)‧t= ½ g t ²  v² = 2 g h

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關

又是想像實驗！

再想到斜面

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關 斜面的加速度 a = g sinθ

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關 斜面的加速度 a = g sinθ 擺相當是個無阻的斜面（只不過θ在變） 週期與物質無關 T → g

g = 9.8 m/s²

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關 斜面的加速度 a = g sinθ 擺相當是個無阻的斜面（只不過θ在變） 週期與物質無關 T → g ‧拋體運動是兩個互相獨立方向運動的加成

牛頓與蘋果

Isaac Newton(1642-1727)

Principia Mathematica 1687

‘On 15 April 1726 I paid a visit to Sir Isaac ‘On 15 April 1726 I paid a visit to Sir Isaac...he told me he was just in the same situation as when, formerly, the notion of gravitation came into his mind. It was occasioned by the fall of an apple, as he sat in a contemplative mood.’ William Stukeley English Physician and antiquary. Memoirs of Newton’s Life (1752) ?

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落，如何下落？ ─ 重力 W = m g W = m a ∴ a = g

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g 樹上（桌上）的蘋果為何不下落？

－N W N －N' N' －W 地球 地球

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g 樹上（桌上）的蘋果為何不下落？ ─ W=－N

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g 樹上（桌上）的蘋果為何不下落？ ─ W=－N 天上的月亮為何不下落？

山近月遠覺月小，便道此山大於月；若人有眼大如天，還見山小月更闊。 ─王陽明(1472-1528)

蘋果與月亮的聯想

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮

牛頓的想像實驗

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球重力一視同仁

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球重力一視同仁 牛頓運動第一律

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球重力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 F = ma a：加速度

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球重力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 月亮一直在下落！

地球 月球

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球重力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 月亮一直在下落！ 作用力與反作用力─牛頓運動第三律

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球重力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 月亮一直在下落！ 作用力與反作用力─牛頓運動第三律 靜力的平衡

萬有重力律

萬有重力律 圓周運動

圓周運動

r r r

兩三角形相似 ∴ v t / r = a t / v ∴ a = v² / r △v = a t △s = v t △s : r = △v : v ∴ v t / r = a t / v ∴ a = v² / r

萬有重力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r

萬有重力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較

gmoon = v² / r = 4π² r / T² r ≒ 60 × 6400 Km T = 28.2 × 24 × 60 × 60 s gmoon ≒ 0.0025 m/s² 9.8 m/s² / 60² = 0.0027 m/s² ≒ gmoon 於是猜測 g ～ 1 / r² 於是 F ～ 1 / r²

萬有重力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較 萬有重力的反平方律 F～1 / r² F = G m1 m2 / r² gE = G ME / RE²

萬有重力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較 萬有重力的反平方律 F～1 / r² 球面稱的物體，其合力指向質心

淨力 淨力

萬有重力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較 萬有重力的反平方律 F～1 / r² 球面稱的物體，其引力的合力指向質心 橢圓軌道與刻普勒行星運動三律

太陽重力造成行星的橢圓軌道

橢圓軌道

Kepler’s laws 刻普勒行星運動三律 一、橢圓軌道 二、A = A' 三、 T² ～ a³

從力到勢

m h g

從力到勢 勢能 (potential energy) 拉格朗日 Lagrange (1736-1813) V = m g h Analytical Mechanics (1788) V = m g h

從力到勢 勢能 能量守恆 動能 ＋ 勢能 ＝ 常數 ½ m v² ＋ m g h = C

動能 ＋ 勢能 ＝ C 勢能 ＝ m g △h 動能 ＝ ½ m v² △h

從力到勢 勢能 能量守恆 力與勢能的關係 ─力是勢能的梯度 力的方向指向勢能減少最快的方向

m 梯度 = m g h / l l h

從力到勢 勢能 能量守恆 力與勢能的關係 ─力是勢能的梯度 力的方向指向勢能減少最快的方向 ─力是向量，勢能是純量 ─力是想像的，勢能更是推想的

蘋果與雲的聯想

蘋果與雲的聯想 雲是小水滴 為何雲浮在天空？ 把蘋果磨成細粉，灑在空中 水中的蘋果 把蘋果打成汁

學而思 思能悟 悟而驗 驗更發