计算机控制技术 第4章 计算机控制系统特性分析

计算机控制系统 第4章 计算机控制系统的理论基础

4.1 离散系统 4.2 信号的采样与保持 4.3 Z变换理论及Z反变换 4.4 计算机控制系统的数学描述 4.5 计算机控制系统的稳定性分析 4.6 计算机控制系统的动态响应分析 4.7 计算机控制系统的稳态误差分析

4.1 离散系统 离散控制系统与连续控制系统在数学分析工具、稳定性、动态特性、静态特性、校正与综合等方面都具有一定的联系和区别，许多结论都具有相类同的形式，在学习时要注意对照和比较，特别要注意它们不同的地方。

4.1 离散系统 线性连续控制系统与线性离散控制系统的研究方法对照 表4-1 系统研究方法对照表 线性连续控制系统 线性离散控制系统 表4-1 系统研究方法对照表 线性连续控制系统 线性离散控制系统 微分方程 差分方程 拉普拉斯变换 Z变换 传递函数 脉冲传递函数 状态方程 离散状态方程

4.1 离散系统 4.1.1 采样控制系统

4.1 离散系统 4.1.2 计算机控制系统 图4-1 计算机控制系统

4.1 离散系统 4.1.3 计算机控制系统与采样控制系统的关系 若认为采样编码过程瞬时完成，并用理想脉冲来等效代替数字信号，则计算机控制系统等效于采样控制系统（统称离散系统）。 图4-2 离散控制系统

4.1 离散系统 4.1.4 离散控制系统的特点 （1）由数字计算机构成的数字控制器，控制规律由软件实现，因此，与连续式控制装置相比，控制规律修改调整方便，控制灵活。 （2）数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。 （3）可以采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制精度。 （4）可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备的利用率，经济性好。

4.1 离散系统 4.1.5 离散系统的分类 1．线性离散系统 如果离散系统的输入信号到输出信号的变换关系满足比例叠加定理，即当输入信号为 时，其中 为任意常数，系统相应的输出信号可表示为 则该系统就称为线性离散系统。若不满足比例叠加定理，就是非线性离散系统。

4.1 离散系统 2．时不变离散系统 它是指由输入信号到输出信号之间的变换关系不随时间变化而变化的离散系统，即时不变离散系统应满足如下关系，若 ，那么当系统输入信号为 时，则相应的输出信号为 , n=0,±1,±2,… 时不变离散系统又称为定常离散系统。

4.1 离散系统 3．线性时不变（定常）离散系统 它是指系统的输入信号到输出信号之间的变换关系既满足比例叠加定理，同时其变换关系又不随时间变化的离散系统。 工程上大多数计算机控制系统可以近似为线性时不变离散系统来处理。 本课程论述仅限于线性时不变（定常）离散系统。

4.2 信号的采样与保持 4.2.1 采样过程 采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示，如图4-3所示。假设采样开关每隔T秒闭合一次，T称为采样周期，闭合的持续时间为τ。采样器的输入为连续信号e(t)，输出e*(t) 为宽度等于的调幅脉冲序列。 图4-3 实际采样过程

采样开关的闭合时间τ非常小，一般远小于采样周期T 和系统连续部分的最大时间常数，因此在分析时，可以认为τ=0。 图4-4 理想采样过程

量化过程可用图4-5说明。 图4-5 量化过程

4.2.2 采样过程的数学描述及特性分析 调制后的采样信号可表示为 (4-2) 也可写成 (4-3)

量化单位定义为 (4-4) A/D转换器的输出信号 (4-5)

4.2.3 信号保持 图4-6 零阶保持器的输入和输出信号

零阶保持器的单位脉冲响应如图4-7所示，可表示为 (4-6) (4-7) 图4-7 零阶保持器的单位脉冲响应

图4-8 零阶保持器的幅频特性和相频特性

零阶保持器的实现 零阶保持器可以用无源网络来近似实现。如果将零阶保持器传递函数中的 展开成幂级数 取级数的前两项可得

上式可以用下图4-10所示的RC无源网络来实现。

假如取级数的前3项，则 上式可以用图4-11所示的RLC无源网络来实现。 图4-11 用RLC无源网络近似零阶保持器

4.3 Z变换及Z反变换 4.3.1 Z变换 一 Z变换定义 (4-11) (4-12) (4-13)

(4-14) (4-15) (4-16) (4-17)

几点说明： 1、Z变换定义是关于z的幂级数。只有当级数收敛时，才称为采样函数的Z变换。 2、Z变换是针对采样函数 而言。即是说Z变换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反映的是采样时刻的信息，对非采样时刻不关心。

故Z变换与采样函数是一一对应的。 上述关系说明：一个采样函数 对应一个Z变换，一个Z变换对应一个采样函数, 但是由于一个采样函数 可对应无穷多的连续函数 ,因为采样函数只是考查得一些离散点的值。如下图所示：

二 Z变换性质 1. 线性定理 (4-18)

2. 实数位移定理 (1)延迟定理 即离散信号在时域内延迟T，则其z变换应乘以z-1 ，所以z-1可看作是滞后一个采样周期的算子。 (4-19) 即离散信号在时域内延迟T，则其z变换应乘以z-1 ，所以z-1可看作是滞后一个采样周期的算子。 (2)超前定理 (4-20)

3. 复数位移定理 (4-21) 4. 初值定理 (4-22) 5. 终值定理 (4-23) 终值定理是研究离散系统稳态误差的重要数学工具。

6. 卷积定理 (4-24) (4-25)

常见函数的Z变换表如下

三 Z变换方法 1. 级数求和法 例4-1 求单位阶跃函数的Z变换。 解 单位阶跃函数的采样函数为 则 将代入式(4-14)，可得

例4-2 求 的Z变换。 解 ， 根据式(4-14)，可得 则两边同乘 得 两式相减，可以求得

2．部分分式法 (4-27) (4-28)

例4-3 设连续函数f(t) 的拉氏变换式为 ，求其Z变换。 解 将F(s) 根展开为部分分式 由例4-1和例4-2可知

例4-4 求 的Z变换。 解 求F(s)并将其展开为部分分式

4.3.2 Z反变换 wyx 一、定义 由f(t)的z变换F(z)，求其相对应的脉冲序列f*(t)或数值序列f(kT)，称为z反变换，表示为

二 Z反变换的求法 1、直接除法（长除法） z变换的闭合形式是z-1的多项式之比，因此可以用直接除法把它们变换成开放形式，即 式中f(0),f(T),f(2T)，…即为所求的数值序列。 例1 求下列函数的z反变换： 解

得 wyx

2、部分分式法(partial fraction decomposition) 方法：将 展开成部分分式之和的形式，然后通过查表求出各部分分式的Z反变换。 需要指出的是：当函数为z的多项式之比时，参照z变换表可以看到，所有z变换函数在其分子上都有因子z。因此，先把 除以z，将 作为一个整体进行部分分式展开，然后将所得结果每项乘以z得 的部分分式。最后查表即可。

常见函数的Z变换表如下

若 一般表达式如下： 则按部分分式展开，得

系数c的求法分两种：单根和重根 （1）当 ，也即F(z)只有单根时，系数求法： 例1 求 的Z反变换 解：将上式变形得 从而有 特征方程 的解为

则有 解得 所以 故有

查表得 所以 或

方法二： 解 特征方程式为 此式表明特征方程无重根，设 故 根据附录可知

（2）当 时 也即特征方程有重根 系数的求法

例2 求 的Z反变换 特征方程为 分解因式 得二重根 单根 则

则

故 查表得

例3 求下列函数的z反变换： 解 F(z)的特征方程式为 此式表明特征方程有重根，设

故 根据附录可知 ，

4.4 计算机控制系统的数学描述 4.4.1 差分方程 一、定义 反映离散系统各采样时刻输出与输入之间的关系的方程。 线性离散系统，其输入与输出之间可用线性常系数差分方程描述，即 (4-34)

二、 差分方程求解 1. 迭代法 例4-9 已知差分方程 输入序列为 初始条件为c(0)=2，试用迭代法求解差分方程。 例4-9 已知差分方程 输入序列为 初始条件为c(0)=2，试用迭代法求解差分方程。 解 逐步以k=1,2,3,…，代入差分方程，则有 迭代法可以求出输出序列，但不是数学解析式。迭代法的优点是便于用计算机求解

2. Z变换法 在离散系统中用Z变换求解差分方程，也使得求解运算变成代数运算，大大简化和方便了离散系统的分析和综合。 用Z变换求解差分方程，主要用到了Z变换的实数位移定理

例4-10 求解差分方程 解 对差分方程作Z变换 代入初始条件得

习题： 1 求 的Z变换 2 求 的Z反变换 3 用Z变换求 的解，已知初始条件为 4 用Z变换求 的解，已知初始条件为

4.4.2 脉冲传递函数 1. 脉冲传递函数的基本概念 系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g(t) 经过采样后离散信号g*(t) 的Z变换，可表示为 (4-36) 脉冲传递函数还可表示为

对于图4-12所示的采样系统，脉冲传递函数为 (4-35) 图4-12 开环采样系统

2. 采样系统的开环脉冲传递函数 图4-13 两种串联结构

在图4-13b所示的系统中，两个串联环节之间没有采样开关隔离。这时系统的开环脉冲传递函数为 在图4-13a所示的开环系统中，两个串联环节之间有采样开关存在，这时 (4-37) 在图4-13b所示的系统中，两个串联环节之间没有采样开关隔离。这时系统的开环脉冲传递函数为 (4-38)

3. 采样系统的闭环脉冲传递函数 图4-14 闭环采样控制系统 闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数为

图4-15 具有数字控制器的采样系统 (4-40)

4.5 计算机控制系统的稳定性分析 4.5.2 离散系统的稳定域 4.5.3 离散系统的稳定判据 4.5.4 离散系统的稳定性举例 4.5.1 s平面与z平面的映射关系 4.5.2 离散系统的稳定域 4.5.3 离散系统的稳定判据 4.5.4 离散系统的稳定性举例

4.5.1 S平面与Z平面的映射关系 S平面与Z平面的映射关系可由 来确定。 当 s平面上虚轴上的所有点对应在z平面的单位圆上 当

图4-17 s平面与Z平面上的映象

4.5.1 S平面与Z平面的映射关系 结论： ① S平面的虚轴对应于Z平面的单位圆圆周。 ② S平面的左半平面对应于Z平面的单位圆内部。

4.5.2 离散系统的稳定域 根据以上分析可知，闭环采样系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的所有根均分布在Z平面的单位圆内，或者所有根的模均小于1，即

当极点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。 当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出衰减越快，系统的动态响应越快。反之，极点越接近单位圆周，输出衰减越慢，系统过渡时间越长。

4.5.3 离散系统的稳定判据—劳斯判据 使用双线性变换，将Z平面变换到W平面，使得Z平面的单位圆内映射到W平面的左半平面。 对于 变换，设

证明： 令： 由

当 z平面单位圆上所有点映射到w平面的虚轴上 当 z平面单位圆内所有点映射到w平面的左半平面内 当 z平面单位圆外所有点映射到w平面的右半平面内

4.5.3 劳斯（Routh）稳定判据方法 这种变换将Z特征方程变成W特征方程，这样就可以用Routh判据来判断W特征方程的根是否在W平面的左半面，即系统是否稳定。 变换是线性变换，所以映射是一一对应的关系。 若离散系统的特征方程为 经过 变换，可得到W的代数方程 对W的方程施用劳斯判据便可判断系统的稳定性。

4.5.4 离散系统稳定性分析举例 设系统的闭环特征方程为： 判断系统是否稳定的方法： (4-39) 判断系统是否稳定的方法： 1、根据离散系统的闭环特征方程(4-39)直接求出解 ，判断 ？（适用于特征方程低阶,n<3） 2、利用双线性变换 ，将其带入特征方程 (4-39)中得到关于w的方程(4-40)，然后对(4-40)利用 劳斯判据判断. (4-40)

4.5.4 离散系统稳定性分析举例 【例1】某离散系统的闭环脉冲传递函数为 试分析系统的稳定性。 解： 根据已知条件可知的极点为 由于 ，故该系统是不稳定的。

4.5.4 离散系统稳定性分析举例 【例2】给定系统的特征方程为 试用Routh判据分析系统的稳定性。 解：对其进行 变换 整理，得 解：对其进行 变换 整理，得 该二阶系统的特征方程，经 变换后所得方程的系数不同号，由Routh判据知该系统不稳定。

4.5.4 离散系统稳定性分析举例 【例3】某线性离散系统如图， 试判断系统的稳定性。 解： 系统的闭环脉冲传递函数 特征方程为

c1=[1 －1 0.632] roots(c1) c2=[1 2 0.927] roots(c2) 方法一：系统的特征方程为 因为方程是二阶，故直接解得极点为 由于极点都在单位圆内，所以系统稳定。 MATLAB程序求根 c1=[1 －1 0.632] roots(c1) c2=[1 2 0.927] roots(c2)

方法二：利用劳斯判据 令： ，代入特征方程得到： 建立Routh行列表 Routh行列表的第1列各元素均为正，由Routh判据可知该系统稳定。 w2 2.632 0.632 w1 0.736 w0

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 计算机控制系统的典型暂态响应

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 4.6.1 Z平面上极点分布与单位脉冲响应的关系 1．在实轴上的单极点

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 4.6.1 Z平面上极点分布与单位脉冲响应的关系 1．在实轴上的单极点 设单实根为： 系统脉冲响应输出为： 举例： 举例：

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 （1）极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应单调发散，如图（a）所示。 （2）极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应是等幅的，如图（b）所示。 （3）极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应单调衰减，如图（c）所示。 （4）极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应是以2T为周期正负交替的衰减振荡，如图（d）所示。 （5）极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应是以2T为周期正负交替的等幅振荡，如图（e）所示。 （6）极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应是以2T为周期正负交替的发散振荡，如图（f）所示。

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 2．共轭复数极点

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 2．共轭复数极点 设共轭复根为： 系统脉冲响应输出为：

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 当极点分布在Z平面的单位圆上或单位圆外时，对应的输出分量是等幅的或发散的序列，系统不稳定。 当极点分布在Z平面的单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输出衰减越快，系统的动态响应越快。反之，极点越接近单位圆周，输出的衰减越慢，系统的过渡过程时间越长。 当极点分布单位圆内左半平面时，虽然输出分量是衰减的但是由于交替变号，过渡特性并不好。 因此在设计线性离散系统时，应该尽量选择极点在Z平面上右半平面内，而且尽量靠近原点。

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 4.6.2 用脉冲传递函数分析离散系统的动态特性 当离散系统的结构和参数已知时，便可求出相应的脉冲传递函数，在输入信号给定的情况下，便可以得到输出量的Z变换，经过Z反变换，就能得到系统输出的时间序列 。 根据过渡过程曲线 ，可以分析系统的动态特性如 , ( )等，还可以分析系统的稳态特性如稳态误差 。

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 【例】某离散系统如图所示，系统输入为单位阶跃函数，试分析该系统的动态响应。 解： 为说明系统结构参数的变化对动态响应的影响，下面分四种情况阐述。

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 （1）设K=1， ，则

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 系统是稳定的。其超调量约为40%，且峰值出现在第3，4拍之间，约经12个采样周期过渡过程结束，如图曲线a所示。

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 （2）设K=1， ， ，则

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 当采样周期加大为 时，虽然系统是稳定的，但性能变差，其超调量约为73%，过渡过程时间也加长。

（3）设K=1， ， ，则 得特征方程为： 解得特征根为： 系统变得不稳定了。这说明一个原来稳定的离散系统，当加大采样周期时，如超过一定程度，系统就会不稳定。 思考下面两个问题： 增大采样周期，系统的稳定性如何变？ 连续系统和离散系统稳定性比较（对象参数不变条件下）

结论: 增大采样周期对离散系统的稳定性不利,减小采样周期对离散系统稳定性有利,当采样周期为0时,系统为连续系统.既是说稳定的连续系统经采样变成数字系统后不一定稳定.(连续系统的稳定性优于离散系统)

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 （4）现将图中的保持器去掉，K=1， ，则

4.6 计算机控制系统的动态响应分析 由以上数据可知该二阶离散系统仍是稳定的，超调量约为21%，峰值产生在第3拍，调整时间为5拍。如图曲线b所示。可见，无保持器比有保持器的系统的动态性能好，这是因为保持器有滞后作用所致。

4.7 计算机控制系统的稳态误差分析 4.7.1 Z变换终值定理法求稳态误差 广义被控对象的传递函数 ，其中 为保持器传递函数，则离散系统的偏差脉冲传递函数

4.7 计算机控制系统的稳态误差分析 如果系统的闭环极点的极点全部严格位于Z平面的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用Z变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差为

4.7 计算机控制系统的稳态误差分析 4.7.2 典型输入信号作用下的稳态误差分析 1．单位阶跃输入时的稳态误差 单位阶跃输入： 稳态误差为 称为静态位置误差系数，它可以根据开环脉冲传递函数直接求得

4.7 计算机控制系统的稳态误差分析 2．单位速度输入时的稳态误差 单位速度输入 稳态误差为 称为静态速度误差系数，它反映了系统在单位速度输入时稳态误差的大小。

4.7 计算机控制系统的稳态误差分析 3．单位加速度输入时的稳态误差 稳态误差为 称为静态加速度误差系数，它反映了系统在单位加速度输入时，稳态误差的大小。

4.7 计算机控制系统的稳态误差分析 【例】对于如图所示的离散系统，设 ，求该系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差。

4.4 计算机控制系统的稳态误差分析 解： （1）单位阶跃函数输入时 所以

4.4 计算机控制系统的稳态误差分析 （2）单位速度函数输入时 所以

4.4 计算机控制系统的稳态误差分析 （3）单位加速度函数输入时 所以

表4-2 单位反馈离散系统的稳态误差 系统型别 位置误差 r(t)=1(t) 速度误差 r(t)=t 0型 ∞ Ⅰ型 Ⅱ型 加速度误差 表4-2 单位反馈离散系统的稳态误差 系统型别 位置误差 r(t)=1(t) 速度误差 r(t)=t 加速度误差 r(t)=t2/2 0型 ∞ Ⅰ型 Ⅱ型  

总 结 一、基本概念 1、采样：采样、采样时间、采样周期、采样定理 2、量化：量化、量化单位q得计算 总 结 一、基本概念 1、采样：采样、采样时间、采样周期、采样定理 2、量化：量化、量化单位q得计算 3、保持：零阶保持器及其传递函数、电路组成及原理 二、Z变换 1、Z变换定义、性质 2、Z变换求法：级数求和法和部分分式法 3、Z反变换求法：长除法和部分分式法

四、离散系统的稳定性 1、稳定条件 2、稳定判据 3、参数对系统稳定性影响 （1）一个连续系统，在参数不变的情况下将其改造为计算机控制系统，它的稳定性与原连续系统相比将 。 A 变好； B 变坏； C 不变。 （2）某系统的Z传递函数为Φ(z) = 0.5(z+0.5) / (z+1.2)(z-0.5) ，可知该系统是 。 A稳定的； B不稳定的； C 临界稳定的。 （3）计算机控制系统与连续系统相比，在系统结构与参数不变的条件下，抑制干扰的能力 。