第三节 矩阵的逆Inverse of a Matrix 第9次课
方阵在矩阵乘法意义之下的逆 IA=AI=A （对比 a1=1a=a） I 充当了类似于单位元的作用。 存在一个A的逆B，满足 2 方阵在矩阵乘法意义之下的逆 IA=AI=A （对比 a1=1a=a） I 充当了类似于单位元的作用。 存在一个A的逆B，满足 AB = BA = I？ 存在的条件？
定义：（可逆矩阵）称 为可逆的， 如果存在 ，使得AB = BA = I。式中的B称为A的逆矩阵，记为A-1。 3 定义：（可逆矩阵）称 为可逆的， 如果存在 ，使得AB = BA = I。式中的B称为A的逆矩阵，记为A-1。 从定义可以看出，如A可逆，则B也可逆，且A与B互为逆矩阵。 定理：如果A可逆，则 其逆矩阵是惟一的。 定理：A可逆，当且仅当其行列式非零。
定义：（伴随矩阵adjoint matrix）设 Aij 是矩阵 例：
由行列式按一行或一列展开的公式 立刻得到 如果D不为零，则
性质： 与 可逆，则 推论、其它性质、例子 P48－49
线性方程组的观点讲矩阵逆！ 设A的行向量是 α1, α2, …, αs，B的列向量是β1, β2,…,βm, 那么AB的积可以表示为 7
其中，A 的行列式不为零， X为未知的矩阵。 按上面的讨论，X的第j列只与E的第j列相关，设X与I的列向量表示分别为 讨论矩阵意义下的“方程”： AX = I 其中，A 的行列式不为零， X为未知的矩阵。 按上面的讨论，X的第j列只与E的第j列相关，设X与I的列向量表示分别为 8 AX = I 展开写可以得到 它成立的充分必要条件是 (*)
Cramer法则：存在惟一的 X，使得 AX = I。 下一步是说明 XA = I，我们仍然使用线性方程组的理论。 9 Cramer法则：存在惟一的 X，使得 AX = I。 下一步是说明 XA = I，我们仍然使用线性方程组的理论。 首先 A(XA) = AXA = (AX)A = IA = A = AI 再一次逐列考虑方程，记XA的第i列为 (XA)i，有： 从两个角度看，1) 上述方程有惟一解，2) 方程的解是 (XA)i = εi。将各列合并即为： XA = I
0 = det A det X = det(AX) = det(I) = 1 10 定理：设 的行列式不为零，则存在 ，使得 AX = XA = E 反过来，如 det A = 0，则不存在 X，否则 0 = det A det X = det(AX) = det(I) = 1 于是上面的定理可以改写为 定理： 的行列式不为零的充分必要条件是存在 ， 使得 AX = XA = I。
第九次课作业 P77-78: 10,11,14,15, 思考12