3. 图形化简法 图形化简法即借助卡诺图求逻辑函数的最简与或表达式。 下面先介绍卡诺图的构成特点， 再介绍如何用卡诺图化简逻辑函数。  1） 逻辑变量的卡诺图 把所有组成逻辑函数的逻辑变量的最小项用小方格的形式表示出来即可得到逻辑变量的卡诺图。图1.2.7（a）、（b）、 （c）分别为三变量、四变量和五变量的卡诺图。变量卡诺图的画法是：  　　(1) n个变量的卡诺图由2n个小方格组成， 每个小方格对应着n个变量的一个最小项。

　　(2) 变量的卡诺图中最小项的编号可以在小方格的右下角标出，也可以不一一列出，而是在图形左上角标注变量， 在左边和上边标注其对应的变量取值， 这样每个小方格所代表的最小项编号，就是其左边和上边变量取值组合对应的最小项编号。  　　(3) 变量的卡诺图的组成特点是把逻辑相邻的最小项安排在几何位置相邻的小方格中。  　　两个最小项中除一个变量不同外，其他的变量都相同， 这两个最小项叫做逻辑上具有相邻性。 例如，m7=ABC和m6=ABC是逻辑相邻的。

(a) 三变量卡诺图；（b）四变量卡诺图；（c）五变量卡诺图 图1.2.7 变量的卡诺图 (a) 三变量卡诺图；（b）四变量卡诺图；（c）五变量卡诺图

　　几何相邻包括 3种情况：相接——紧挨着；相对——任意一行或一列的两头；相重——对折起来位置重合。  　　为了使几何相邻的最小项具有逻辑相邻性，变量取值的顺序要按照格雷码排列。 例如图1.2.7（b）中，AB和 CD都是按照 00、01、11、10的顺序排列的。这样的排列，对于逻辑函数的化简提供了有利条件，因为根据公式AB+AB=B可知， 逻辑相邻的两个最小项相加时， 可以消去互补的那一个变量而留下公因子项。例如图1.2.7（a）中，m5+m7=ABC+ABC=AC。

　　2） 逻辑函数的卡诺图 　　在变量卡诺图的基础上，在对应逻辑函数值为1的变量取值组合对应的小方格填上1，函数值为0的填上0，就可得到逻辑函数的卡诺图。 如果给出的是逻辑函数的真值表，只要一一对应填入函数值即可，非常方便。例如对应表1.2.5所示的真值表，画出函数Z的卡诺图如图1.2.8所示。

图 1.2.8 Z的卡诺图

　　如果给出的是逻辑函数的标准与或式——最小项表达式， 只要在变量卡诺图上找到函数表达式所包括的全部最小项对应的小方格，并填上1，其余的小方格填0，即可得函数的卡诺图。 例如， 函数表达式为 只要在四变量卡诺图中最小项m5、m6、m10、m11、m14、m15对应的小方格中填1， 其余填0， 即可得Y的卡诺图如图1.2.9所示。

图 1.2.9 Y的卡诺图

　　如果给出的是一般逻辑函数表达式，可先将函数变换成与或表达式，然后再变换为标准与或式，即可根据上述方法画出逻辑函数的卡诺图。也可由逻辑函数的一般与或表达式直接画出卡诺图，即在变量卡诺图中，把与或表达式中每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）处都填上1， 其余的填上0， 即可得函数的卡诺图。

【例1.2.6】 画出函数 的卡诺图。 解 式中:

图 1.2.10 Z的卡诺图

　　3） 用卡诺图化简逻辑函数的步骤 　 (1) 画出逻辑函数的卡诺图。  　(2) 画合并圈。将包含2i（i=0，1， 2， 3，…）个相邻为1的小方格圈起来，目的在于合并最小项，消去一些变量。  　　(3) 合并最小项， 写出最简与或表达式。  　　对卡诺图中所画的每一个合并圈， 都可以写出一个相应的与项， 将这些与项相加， 即得最简与或式。

　　画合并圈时应注意的问题如下：  　　(1) 圈内1格的个数必须是2i（i＝0，1，2，3，…）， 即为1，2，4，8，…。 因为2i个最小项相加， 提出公因子后，剩下的2i个乘积项，恰好是要被消去的i个变量的全部最小项，根据最小项的性质， 它们的和恒等于1， 所以可被消去，如图1.2.11～图1.2.13所示。2个1格合并可消去一个变量，4个1格合并可消去两个变量，8个1格合并可消去三个变量。

图 1.2.11 2个1格合并消去一个变量

图1.2.12 4个1格合并消去两个变量

图1.2.13 8个1格合并消去三个变量

　　(2) 1格都不能漏圈，否则，最后化简出的表达式与所给函数不相等。  　　(3) 在不违反（1）、（2）的原则下，合并圈应尽可能大， 圈的个数尽可能少。圈大，消去的变量多，与项中的变量数就少；圈的个数少，与项的个数也少，这样才有利于达到最简。 图1.2.14和图1.2.15给出了两个例子。

图1.2.14 圈的面积尽可能大

图1.2.15 圈的个数尽可能少

　　(4) 允许1格重复圈， 但每个圈至少应包含1个新的1格。 可以重复圈的依据是同一律A＋A=A。但是，如果某个圈中的所有1格都已被其他圈圈过，那么这个圈对应的与项是多余项， 如图1.2.16所示。

图1.2.16 每个圈至少应包含一个新的最小项

　　图形法化简逻辑函数时，由于合并最小项方式不同， 得到的最简与或式也会不同。这种方法简单直观、 容易掌握。 但如果逻辑变量的个数大于5， 就会因图形复杂而失去实用意义。

【例1.2.7】 用图形法将下列逻辑函数化为最简与或式： (1)Ｚ1(A, B, C)=∑m(0, 3, 4, 7); (2) 。 解 Z1、Z2可直接由表达式画卡诺图，然后化简，如图1.2.17所示，化简得

图1.2.17 例1.2.7 函数的卡诺图

4） 用卡诺图求反函数的最简与或表达式 在函数Z的卡诺图中，合并那些使函数值为0的最小项， 即可得到 的最简与或式。  例如，用卡诺图求函数 的反函数的最简与或表达式，只需画出Z的卡诺图，合并使函数值为0的最小项m3、m5、m6、m7，即可得

　　4. 具有约束的逻辑函数的化简 　　1） 约束、约束项和约束条件 约束是指逻辑函数的各个变量之间所具有的相互制约的关系，由有约束的变量所决定的逻辑函数，叫做有约束的逻辑函数。  约束项是指不会或不允许出现的变量取值组合所对应的最小项。  约束条件是由约束项加起来所构成的函数表达式。  　下面举例说明。

　　【例1.2.8】 要求一个逻辑函数Z能够实现对用8421码ABCD表示的一位十进制数判断奇、偶数。  　　解 该逻辑函数Z的真值表如表1.2.8所示，图1.2.18是其卡诺图。其中1010～1111六个状态不可能出现，所以m10～m15是约束项，在真值表和卡诺图中用Φ(或×)表示。

表1.2.8 例1.2.8的真值表

（a） 约束项当作0画圈； （b）约束项m11、 m13、m15当作1画圈 图1.2.18 Z的卡诺图 （a） 约束项当作0画圈； （b）约束项m11、 m13、m15当作1画圈

　　约束条件可写为∑d（10，11，12，13，14，15）=0， 也可表示成AB＋AC=0。  　　函数Z的逻辑表达式可写成 Z（A，B, C，D）=∑m（1，3，5，7，9） 　＋∑d（10，11，12，13，14， 15）

　　2） 具有约束的逻辑函数的化简 　　因为约束项是不可能出现的项，因此在合并最小项时， 或者作0，或者作1，都可以。上例中，若将m11、m13、m15当作“0”处理，如图1.2.18（a）所示，化简后的函数为 　　若将m11、m13、m15当作“1”处理，如图1.2.18（b）所示 ,化简后的函数为Z=D。 　显然，利用约束项化简逻辑函数，结果要简单。

习 题 1.9 逻辑函数Z1～Z4的真值表如表1.1 所示，试分别写出它们的标准与或式， 并画出逻辑图。 表1.1 题 1.9 表

1.11 写出题1.11图所示的逻辑函数L1、 L2、 L3、 L4的逻辑表达式。 题 1.11 图