第 16 章 光的反射和折射

16.1 波前、光線及惠更斯原理 光源 波前和光線 惠更斯原理 幾何光學

光源 由於熱輻射 (白熾燈泡) 或化學反應 (螢火蟲) 而使得物體得以發光。但是，我們所看到的物體大部分是反射其他物體的光；而所感受到的顏色是與反射光的波長有關。

圖16.2 (a) 青草和 (b) 某種橙紅色屋瓦的反射率 ( 入射光中被反射的比例 ) 對波長的關係。

波前和光線 波前是在波上具有相同相位的一群點。光線是指向波傳播的方向，而且是垂直波前。最常見的波前形式是球形及平面形狀的。 圖16.4　(a)圓形；(b)直線形；(c)球面以及 (d)平面之波前和射線

惠更斯原理 在某一時間 t ，在波前上的任何點均可視為圓形波的波源；而新的波前則是所產生的所有波的總和。

幾何光學 若是可以忽略干涉與繞射，我們可以用幾何光學來分析光的行為。利用光線來表示波的方向；在均勻材料中的光線是一直線。而在兩介質間的介面則會發生反射與折射。

16.2 光的反射 鏡面反射和漫反射 反射定律 反射和透射

鏡面反射和漫反射 鏡面反射是光滑表面的反射；漫反射則是粗糙表面的反射。對於光滑與粗糙並沒有清楚的區分界線；對我們而言，光滑表面是指在與光波長比較時，不完美是很小的狀況下，因此仍可以形成一個影像。

圖16.5 (a)從反射鏡反射的雷射光束說明了鏡面反射; (b)同樣的雷射光從粗糙表面反射時則發生漫反射 入射的雷射光 入射的雷射光 反射的光線 反射的光線 光滑表面 粗糙表面

反射定律 在幾何光學中的角度，是對於表面的法線 (垂直表面) 所作的測量。我們發現入射角 (入射線與法線的夾角) 等於反射角；反射線是在入射線與法線所形成的平面上。 (16-1)

圖16.6 平面波入射至金屬表面。當入射波前到達金屬表面時，波前上每一點發出的子波形成了反射波 圖16.6　平面波入射至金屬表面。當入射波前到達金屬表面時，波前上每一點發出的子波形成了反射波 反射波前 反射波前 子波 入射光線 入射光線 反射光線 反射光線 入射波前 子波

圖16.7 入射角和反射角是以光線和面法線之間的夾角來度量 ( 並非光線和表面之間的夾角 )。入射光線、反射光線和法線均位於同一個平面上 圖16.7　入射角和反射角是以光線和面法線之間的夾角來度量 ( 並非光線和表面之間的夾角 )。入射光線、反射光線和法線均位於同一個平面上 垂直於表面 入射光線 反射光線

反射和透射 如果兩個介質均是透明的，通常一些入射光會被反射，而一些則會透射。

16.3 光的折射：斯乃耳定律 光的折射行為可以由光在介質中變慢來解釋。斯乃耳定律告訴我們折射率與角度正弦值的乘積為定值 (對於入射線與折射線是相等的) 。透射線在入射線及法線所形成的平面上；入射線與透射線是在法線的異側。

圖16.8　(a) 在玻璃 - 空氣界面的波前和光線，其中省略了反射波前。注意：玻璃中的波前比較靠近，這是因為波長較小之故；(b) 波前一部分在空氣中，另一部分在玻璃中的惠更斯作圖法；(c) 用來計算光線透射角的幾何圖示。 入射線 入射線 空氣 空氣 空氣 玻璃 玻璃 玻璃 透射線 透射線

斯乃耳定律 (16-2) (16-3) 斯乃耳定律 (16-4)

圖16.9　(a) 入射光線、反射光線、透射光線和法線均位於同一平面上。所有的角度都是相對於法線來測量；(b) 無論兩個介質的折射率是多少，入射和透射光線永遠位於法線的兩側

表 16.1 真空中對於  = 589.3 nm的折射率 (除非特別說明，否則是在20C時) 物質 折射率 物質 折射率 固體 液體 冰 (在0℃時) 螢石 熔凝石英 聚苯乙烯 人造螢光樹脂 耐熱有機玻璃 冕牌玻璃 平板玻璃 氯化鈉 輕火石玻璃 重火石玻璃 藍寶石 鋯石 鑽石 二氧化鈦 磷化鎵 水 丙酮 乙醇 四氯化碳 甘油 糖水 (80%) 苯 二硫化碳 二碘甲烷 0℃, 1 atm 氣體 氦 二乙醚 水蒸氣 乾燥空氣 二氧化碳

16.1 穿過窗玻璃的光線 一束光以 30.0° 的入射角照在窗玻璃的一個面上。玻璃的折射率為 1.52。光束穿過玻璃後從另一個平行面射出。不考慮反射，(a) 計算玻璃中的光線折射角；(b) 證明在玻璃兩側空氣中的光線 ( 入射及出射光線 ) 彼此互相平行。 圖16.10　光線穿過窗玻璃

解答： (a) 圖16.11為光線圖。在第一個空氣 - 玻璃邊界，由斯乃耳定律可得 折射角為 (b) 在第二個邊界是從玻璃到空氣，我們再次使用斯乃耳定律。因為兩個表面是平行的，所以兩條法線互相平行。第一個邊界的折射角和第二個邊界的入射角為交錯內角，所以在第二個邊界的入射角必定為 q2。 我們並不需要算出 q3 的數值。從第一個邊界我們知道 n1 sinq1 = n2 sinq2；故 n1 sinq1 = n3 sinq3 。因為 n1 = n3，故 q3 = q1。入射光線和出射光線互相平行。

海市蜃樓 海市蜃樓是由於接近地面的空氣密度 (及溫度) 不同產生折射所形成；是空中的一個像 (通常)，而且是在接近地面的空氣較上層空氣暖和時發生。

上現蜃景 (Looming) 上現蜃景是海市蜃樓的相反；如果接近地面的空氣較上層空氣寒冷時，折射發生在另一個方向，則物體出現在水平線上而被看見。

色 散 n 色散的發生是由於折射率與波長有關；這也就造成當白光經由稜鏡折射時會散開而產生光譜顏色。 λ Q:你能否解釋夕陽為何是紅色？ 色　散 色散的發生是由於折射率與波長有關；這也就造成當白光經由稜鏡折射時會散開而產生光譜顏色。 n λ 光通過三稜鏡後，因色散造成不同顏色折射至不同的角度, 讓白光形成可見光譜 Q:你能否解釋夕陽為何是紅色？

稜鏡的色散現象

彩 虹 彩虹是色散的一個特殊的例子，折射是發生在空氣中的水珠內。 彩　虹 彩虹是色散的一個特殊的例子，折射是發生在空氣中的水珠內。 圖16.13 (a) 光線從雨滴上半部入射時所發生的反射和折射。 (b) 光在雨滴中的色散。每一個界面都會發生反射和透射， (c) 來自許多不同雨滴的光線形成了彩虹。 (d) 在雨滴中反射兩次的光線形成了霓。此時紫色在最上方，紅色則在最下方。

虹與霓 造成虹與霓的光學原理，左上為霓，右上為虹。

色　散 30:33:37

16.4 全內反射 若光線自高折射率的介質射向低折射率的介質時，則會有一入射角能使折射角為 。對更大的入射角時，則不發生折射，光線會完全反射至入射介質內。發生此種情況時的入射角稱作臨界角，而此種現象稱做全內反射。

圖16.14　在長方形玻璃稜鏡上表面的部分反射和全反射。反射和透射光的強度是以入射光強度的百分比來表示。光線a和光線b的入射角小於臨界角，光線以臨界角入射，光線的入射角則是大於臨界角 沒有穿透光 (空氣) 玻璃 光源

全內反射 (16-5a) (16-5b) nt =1 (空氣) ni

16.2 三角玻璃稜鏡中的全內反射 一束光從空氣入射至三角玻璃稜鏡。欲使光束在稜鏡背面 (斜邊) 發生全反射，在法線下方之最大入射角 qi 為何 ( 如圖16.15(a) 所示 )？稜鏡折射率為 1.50。 圖16.15

解答： 欲從斯乃耳定律找出臨界角，我們令折射角等於 90°。 入射光線位於內介質 ( 玻璃 ) 中。因此，ni = 1.50且 na = 1.00。 在圖16.15(b) 中，我們畫出了光路放大圖，將稜鏡背面的入射角標示為 qc，稜鏡前面的入射角和折射角標示為 qi 和 qt；由斯乃耳定律可得知它們之間的關係： 接下來是找出 qt 和 qc 之間的關係。在第二個邊界畫出一條平行於第一個邊界法線的直線之後，我們可以用交錯內角的關係標出 qt ( 參見圖16.15(b))。兩條法線之間的夾角為 45°，故

因此 討論： 當入射光束在法線之下 0° 至 4.8° 時，全內反射會在背面發生。若光束入射角大於 4.8°，在稜鏡背面的入射角會小於臨界角，使得光束透射至空氣中。觀念練習題16.3中將考慮入射光束在法線之上的情況。 如果將這兩個折射率混淆了，我們將碰到求解 1.5 的反正弦值的情況。這就代表我們弄錯了。

稜鏡中的全內反射 如果光線在稜鏡內發生全內反射 (在相機及雙筒望遠鏡內常作此使用)，則全部的光會被反射；假如使用面鏡只有大約 90% 的光會被反射。所以才使用全內反射的方式。

圖16.16 (a) 潛望鏡採用兩個反射稜鏡將光束平移；(b) 在雙筒望遠鏡中，光線在每個稜鏡中均經歷兩次全反射。

光纖光學 在光纖中的光線是全內反射，這使的光線的 ”管” 有最小的損耗。

圖 16.19 (a)一個內視鏡；(b) 關節鏡膝蓋手術。關節鏡與內視鏡類似，但用於關節傷處的診斷和治療 接目鏡 光,水及抽吸纜索 上/下 控制 抽吸控制 左/右 控制 氣/水 控制 空氣管線 控制線 光導管 影像導管 儀器導管 光導管 水管線 內視鏡軟管

貝爾的光話機 貝爾的光話機，已發明了超過 100 年，是利用光來傳遞訊號。不幸的是，光是在空氣中行進而不是在光纖中，所以會有吸收與散射的影響。 圖16.20　貝爾的一張光話機草圖

16.5 布魯斯特角 有一種角稱作布魯斯特角，其反射光是完全偏振的，布魯斯特角的正切值為穿透介質折射率與入射介質折射率的比值。

圖16.21　當光線以布魯斯特角入射時，反射和透射光線互相垂直。反射光線為完全偏振，其偏振方向垂直於紙平面 (16-6)

16.6 反射和折射成像 當一個點所產生的全部光線經由面鏡反射或透鏡折射即可以形成像，如此就好像是來自於面鏡後面或透鏡前面的點。像有兩種類型：虛像是沒有光通過的；而實像是有光通過的。平面鏡形成虛像，相機透鏡則形成實像 (所以底片顯影) 。利用光線圖可以找出像。

圖 16.25 底片 像 物體 透鏡

一條小魚位於平靜的池塘水面下深度為 d 的地方。這條魚在紋帶翠鳥 看來視深是多少？假設翠鳥在魚的正上方。水的折射率為 n = 4/3。 16.3 尋找獵物的翠鳥 一條小魚位於平靜的池塘水面下深度為 d 的地方。這條魚在紋帶翠鳥 看來視深是多少？假設翠鳥在魚的正上方。水的折射率為 n = 4/3。 圖16.26

解答： 圖16.26(a) 中我們畫了一條位於水面下、深度為 d 的魚。光線從魚身上一個點發散開來並射向水面。這些光線在水面偏離法線 ( 因為空氣的折射率較低 )。將折射光線沿著直線反向追跡 ( 虛線 ) 至其交點，即可找到像點。我們將像深標示為 d’。從光線圖可看出 d’ < d；即視深小於實際深度。 欲找出像的位置只需用到兩條光線。為了簡化計算過程，其中一條光線可以是垂直水面的光線。另一條光線則是以 qi 的角度入射至水面。這條光線以 qt 的角度離開水面，其中 由於這些角度都很小，我們令 sinq = q： 欲求出 d’，我們利用了兩個共用一邊 s (兩條選定光線和水面交會點之間的距離) 的直角三角形。角度 qi 和 qt 為水面角度之交錯內角，故為已知角。由這些三角形可知

對於小角度而言，我們可以令 tanq ~ sinq。因此式 (1) 變成 在消掉 s 之後，我們求解 d’/d 的比值： 魚的視深為實際深度的 3/4。 討論： 上述結果只對很小的入射角有效 ── 也就是只適用於觀察者位於小魚正上方的情形。視深會和觀看小魚的角度有關。 魚的像為虛像。翠鳥看到的光線似乎是從像的位置發出的，但實際上並非如此。

16.7 平面反射鏡 平面反射鏡所形成的像與物體大小相同，像至鏡面的垂直距離與物至鏡面的垂直距離相同，但是在鏡的異側。

16.4 全身像所需之反射鏡高度 格蘭特的肩膀上背著姪女達娜 ( 圖16.26)。若要讓格蘭特看到全身像 ( 從他的腳尖至達娜的頭頂 )，平面反射鏡的最小高度是多少？這面最小高度的反射鏡應該放在牆上哪個位置？ 圖16.26

解答與討論： 在畫出格蘭特、達娜和反射鏡 ( 圖16.26) 之後，我們要畫出從格蘭特的腳尖發出之後碰到反射鏡，再反射到他的眼睛的一條光線。直線為反射鏡面的法線。由於入射角等於反射角，三角形 CHD 和 EHD 為全等，故 CD = DE = GH。因此， 同理，我們畫出一條從達娜的頭頂到反射鏡，再反射到格蘭特眼睛的光線，並發現 反射鏡高度為 因此，反射鏡高度必須為格蘭特腳尖至達娜頭頂距離的一半。 最小高度的反射鏡只有在適當的掛放之下才能看到全身像。反射鏡頂端 (F) 必須比達娜的頭頂低一段距離 AB。欲看到全身像，反射鏡並不需要與人等高。將反射鏡一直延伸到地板上並沒有任何幫助；反射鏡的底端只需位於地板和最矮使用者眼睛中間一半高度的地方即可。

16.8 球面反射鏡 凸面鏡 凹面鏡 橫向放大率 反射鏡方程式

C點為反射鏡之曲率中心 F為焦點 主軸 f V為頂點 R為反射鏡之曲率半徑 f 為焦距

近軸光學 通過近軸近似,或者"小角近似"可以對幾何光學做進一步簡化。 h

凸面鏡 凸球面鏡是一個球的外部的一部分，曲率中心在反射鏡後方。因為平行入射光經由鏡面反射就像似從焦點 (亦在鏡的後方) 發散一般，所以亦稱作發散反射鏡。所成的像位於鏡後，是正立、虛像、較原物為小，且比物體更靠近鏡面。

圖16.30　(a) 使用三條主光線來定出凸面反射鏡的成像位置。以不同的顏色來畫這三條光線只是為了做區別起見；每一條光線真正的顏色實際上是一樣的 ( 無論物體的頂端是哪種顏色 )；(b) 此光線圖中畫出了從物體頂端發出的許多光線。將這些光線沿著直線反向延伸會相交於同一點 物 物 像 像 鏡 鏡

凹面鏡 凹球面鏡是一個球的內部的一部分，曲率中心在反射鏡前方。 因為平行入射光經鏡面反射後會聚在焦點，所以亦稱作會聚反射鏡。像的位置、大小及指向與物的位置有關。若是物在焦點與曲率中心之間，則所成之像為實像、倒立、放大且較物更遠離鏡面。如果物在鏡面與焦點之間，則所成之像為虛像、正立、放大且較物更遠離鏡面。 如果物體在曲率中心之外，則所成之像為實像、倒立、較原物為小，且比物體更靠近鏡面。

圖16.31 平行於凹面反射鏡主軸的光線被凹面鏡反射的情形。C點為反射鏡之曲率中心，F為焦點；兩個點都位於反射鏡前方，這正好跟凸面反射鏡相反 觀看者

圖16.32 位於凹面反射鏡焦點和曲率中心之間的物體形成放大的倒立實像 圖16.32　位於凹面反射鏡焦點和曲率中心之間的物體形成放大的倒立實像 物 像

圖16.33 (b) 當物體位於凹面反射鏡焦點以內時之成像情形

16.5 凹面鏡的比例圖 一個 1.5 cm 高的物體置於曲率半徑為 8.0 cm 的凹面鏡前方 10.0 cm 處，畫出其比例圖。利用圖解法估算像的位置和高度。 圖16.34

解答： 一開始，我們先畫出反射鏡和主光線；然後在距離頂點正確的位置上標示出焦點和曲率中心 ( 圖16.34)。從物體頂端射向反射鏡的光線1平行於主軸。它被凹面鏡反射之後通過焦點。光線2從物體尖端發出後通過焦點。這條光線被凹面鏡反射之後平行於主軸。這兩條光線的交會點決定了像的尖端位置。在測量方格紙上的像圖之後，我們得知像距離反射鏡 6.7 cm，高度為 1.0 cm。

橫向放大率 橫向放大率是像的大小與物的大小的比值。如果橫向放大率為正，則像為正立；若為負，則像為倒立。橫向放大率亦為像距與物距比值的負數。

橫向放大率 (16-7) (16-8) (16-9)

反射鏡方程式 反射鏡方程式與物距、像距及焦距有關；經由正確的選擇正負符號，則可以適用所有的球面鏡 (凸面鏡及凹面鏡)。 (16-10)

表 16.2 反射鏡的符號規則 物理量 為正號時 (+) 為負號時 (-) 物距 p 像距 q 焦距 f 放大率 m 恆成立 ( 對目前而言 ) 實像 會聚反射鏡 ( 凹面 ) 正立像 無此狀況 ( 對目前而言 ) 虛像 發散反射鏡 ( 凸面 ) 倒立像

16.6 乘客側邊的反射鏡 一個物體和乘客側邊的反射鏡距離 30.0 cm。所成之像為正立，且其大小為物體之 1/3。(a) 這是實像或虛像？(b) 反射鏡的焦距是多少？(c) 反射鏡是凹面或凸面？

解答： (a) 放大率和像距以及物距的關係為： 求解像距可得 由於 q 為負值，故形成虛像。 (b) 現在我們可以利用反射鏡方程式來找出焦距： (c) 由於焦距為負值，故反射鏡為凸面。

球面像差 多數的曲面鏡都是球面的外觀，因為這是最容易製作，也是最通用的形狀。但是球面鏡易產生球面像差，平行的光線反射後不能匯聚在單一的焦點上。平行的光線，例如來自非常遙遠目標的光，使用拋物面鏡可以獲得更好的效果，因為拋物面鏡匯聚的光點比球面鏡的更小。

畫出球面像差 C F

16.9 薄透鏡 所謂薄透鏡是指其厚度遠小於焦距。發散透鏡將光線彎曲向外；而會聚透鏡則將光線彎曲向內。

圖16.38　(a) 當發散光線入射至會聚透鏡時，透鏡將光線向內偏折。假如光線發散得太快，透鏡可能無法將它們偏折成會聚光線。在此情況下，當光線離開透鏡時，會發散得比較慢；(b) 一些發散透鏡和會聚透鏡的形狀 發散透鏡 會聚透鏡 雙凹 平凹 凸凹 雙凸 平凸 凹凸

焦點和主光線 對於發散透鏡，平行入射光產生的發散光線就像是從焦點發射而出；對於會聚透鏡，平行入射光產生的會聚光線則會聚於焦點。主光線 (用來找出所產生的像) 是平行於主軸的入射光線，折射後通過焦點 (會聚透鏡)，或是折射後好似從焦點發出 (發散透鏡)；沿著透鏡主軸的光線，不發生偏折；而平行透鏡主軸的出射線，則是來自於第二焦點 (會聚透鏡) ，或是指向第二焦點 (發散透鏡)。

表 16.3 薄透鏡的主光線和主焦點 會聚透鏡 發散透鏡 光線1，平行於主軸的入射光線 看起來就像是從主焦點發出的一般 通過主焦點 光線2，入射至光心的光線 沿著直線通過透鏡 沿著直線通過透鏡 光線3，出射後平行於主軸的光線 看起來就像是從第二焦點發出的一般 看起來就像是射向第二焦點一般 主焦點的位置 在透鏡後方 在透鏡前方

圖16.39 (a) 會聚透鏡的三條主光線形成實像；(b) 發散透鏡的三條主光線形成虛像。 物 物 主焦點 虛像 第二焦點 第二焦點 像 主焦點

16.7 虛像的指向 一透鏡將位於透鏡前方之物體成像。利用光線圖證明若成像為虛像，則無論透鏡為會聚或發散，像必定為正立。 圖16.40

解答與討論： 圖16.40畫出了有一個物體位於透鏡 ( 可以是會聚或發散 ) 前方。從物體頂端發出的光線 2 沿著直線通過透鏡中心。我們將折射光線向後延伸，並且畫出一些可能的成像位置 ── 只有一條光線，我們無法得知真正的位置。我們所能知道的是，虛像上的點並非位於透鏡出射光線的交會點，而是位於這些光線的反向延伸線交會點。換句話說，虛像位置總是在透鏡前方 ( 和入射光線在同一邊 )。因此，像和物體在透鏡的同一側。由圖16.40我們可以看出，正如反射鏡的情形一樣，虛像為正立 ── 物體頂端的點總是成像在主軸上方。 觀念練習題16.7　實像的指向 一會聚透鏡將位於透鏡前方之物體形成實像。利用光線圖證明像是倒立的。

放大率和薄透鏡方程式 放大率和薄透鏡方程式與放大率和反射鏡方程式相同；唯一的不同處是各個物理量正負符號的定義。

放大率和薄透鏡方程式 放大率方程式 (16-9) 薄透鏡方程式

表 16.4 反射鏡和透鏡的符號規則 物理量 為正號時 (+) 為負號時 (-) 物距 p 像距 q 焦距 f 放大率 m 恆成立 ( 對目前而言 ) 實像 會聚透鏡或反射鏡 正立像 無此狀況 ( 對目前而言 ) 虛像 發散透鏡或反射鏡 倒立像

16.8 變焦鏡頭 一朵直徑 1.2 cm 的野生雛菊距離照相機變焦鏡頭 90.0 cm。鏡頭的焦距大小為 150.0 mm。(a) 計算出鏡頭與底片的距離。(b) 雛菊的像有多大？ 圖16.42

解答： (a) 由於 p 和 f 為已知，我們可以從透鏡方程式求出 q 求解 q 得到 代入數值後， 底片距離鏡頭 18.0 cm。

(b) 由放大率方程式 雛菊的像直徑為 0.24 cm。 討論： 圖16.42採用三條主光線畫出了光線圖，以驗證代數運算所得到的解。