《 University Physics 》 Revised Edition 普通物理 (精華版) 《 University Physics 》 Revised Edition 歐亞書局

第 28 章 直流電路 28.1 電動勢 28.2 克希荷夫法則 28.3 串聯與並聯 28.4 RC電路 28.5 直流儀表 P.371 第 28 章 直流電路 28.1 電動勢 28.2 克希荷夫法則 28.3 串聯與並聯 28.4 RC電路 28.5 直流儀表 歐亞書局 P.371

28.1 電動勢 圖 28.1a 畫的是一垂直皮帶，由馬達或搖柄驅動，可將球昇至某高度。 28.1 電動勢 圖 28.1a 畫的是一垂直皮帶，由馬達或搖柄驅動，可將球昇至某高度。 顯然，要增加球的重力位能必須作功；而那些球在滾動一段水平平板後，其能量不變。 之後，球又掉至一充滿線網的垂直管裡，當球以恆速（終端速度）落下時，其位能轉變為熱能。 歐亞書局 P.372

圖28.1 (a) 某電路的力學類比。一機械裝置提供能量將球舉昇至某高度，然後球以恆速落經一填滿線網的管子， 球的位能轉變成熱能。 歐亞書局 P.372 4

到達底部後，球又滾回垂直皮帶，並重複另一循環之旅行。 現在再考慮一下如下之運動：一假設性的帶正電之粒子，環繞一電路而行，該電路乃由一個電池，一個電阻器以及兩條導線所構成，如圖28.1b 所示。 為方便起見，我們假設電池負端之電位為零。當粒子進入負端時，電池之化學行為會提升它（粒子）的電位能，並將它放置到正端去。 歐亞書局 P.372 5

圖28.1 (b) 電路裡，電動勢源升高電荷之位能，此位能復於電阻器中以熱能形式耗散掉。 歐亞書局 P.372 6

當粒子行經導線（設其為零電阻）時，粒子的能量並未改變。 當它碰上電阻器以後，它會歷經與晶格離子間的多次碰撞，然後以一很小的恆速（漂移速度）通過導線。 粒子的電位能在電阻器內轉變成熱能，結果是：粒子離開電阻器時其位能為零。 歐亞書局 P.372 7

電動勢這個字乃是由伏特（Volta）所引用，伏特本人將之視為一種能引起電流流動的「力」。 電池若要將正電荷和負電荷分開，並將它們驅入（電池之）正負端，這些正負電荷有能力反抗來自於「早已位於該電池正負端的正負電荷」之斥力，則電池本身必得作功。故電池即為電動勢（emf）的一個例子。 電動勢這個字乃是由伏特（Volta）所引用，伏特本人將之視為一種能引起電流流動的「力」。 歐亞書局 P.372 8

電動勢（emf）可以將某種形式的能量，例如化學能、熱能、輻射能或力學能等，轉變成電位能。 emf 指的是： emf 源在驅使電荷環繞封閉迴 路作運動時，對每單位電荷所作的功。 歐亞書局 P.373 9

下標「ne」強調的是：所作的這些功，乃來自於一些非靜電因素（nonelectrostatic agent），例如電池或發動機。 電位差只與（保守）靜電場相關連。 如 27.1 節所論及者，當電流流過一導線時，「驅動性」之電場乃是由電池兩端及導線表面之電荷分布所產生，而這項電荷分布則是由電動勢源所造成。 歐亞書局 P.373 10

電動勢則恆與某些非靜電機構（nonelectrostatic mechanism）有關，此機構提供將正負電荷分開所需之能量，因此電動勢源乃是將某種形式的能量轉化成靜電電位能。 歐亞書局 P.373 11

端電壓 （Terminal Potential Difference） 一個真正的電動勢源， 比如電池， 必具有內電阻（internal resistance）。 當電流流通時，此內電阻兩端會有個電位降（potential drop）。 現在我們來求一下當電流流過電池時，電池兩端之電位差。圖 28.2 顯示我們可將電池看作是 一理想的電動勢源 E ，但另有一電阻器 r 與之串聯。 歐亞書局 P.373

圖28.2 電池可被當作是一理想的 emf 源 E 串聯著一內電阻 r 。當電流依所示方向流動時，端電壓 Vba = E － Ir 。 歐亞書局 P.373 13

從點 a 開始，將一單位的「正試驗電荷」的電位能變化記錄下來： 當電荷由電池負端移向正端時，電動勢源改變此電荷之電位大小，其值為 ＋E ；經過內電阻後，此單位電荷之電位降低了 Ir 。 電位變化量 稱為（電池的）端電壓（terminal potential difference） 。 歐亞書局 P.373

emf 通常可成是某個電源本身的一種固定性質；與此不同者，端電壓則依通過電源之電流而定。 在 I ＝ 0 或 r ＝ 0 時， Vba ＝ ，故許多電源之emf 值可由測量兩端點間之「開路（open circuit）」端電壓而得到。 emf 通常可成是某個電源本身的一種固定性質；與此不同者，端電壓則依通過電源之電流而定。 一具電池老化了以後，其內電阻增加，故就某一既定的輸出電流而言，端電壓自會下降。 歐亞書局 P.373

emf 值在 I ＝ 0 時會等於端電壓值，這項事實並不意味電動勢跟電位差是「同一件事物」。 在某種意義上， I ＝ 0 這個狀況代表某兩種相反傾向間互相取得平衡：電荷傾向於將其自身所具有之靜電位能減至最小； emf 源傾向於將電荷分離，並藉此將某些別種形式的能量（例如：化學鍵結能）減至最小。 歐亞書局 P.373

28.2 克希荷夫法則 由克希荷夫（G. R. Kirchhoof ；圖 28.3）首先提出的接點法則（junction rule）及迴路法則（loop rule），對電路分析相當有幫助。 通常，一個電路會具有兩個或兩個以上的支路（branch），如圖 28.4 。􀒹􀔓􀰈􀍈 克希荷夫接點法則即為： 　進入或離開某個接點之電流，其代數和為　 　零。 歐亞書局 P.374 17

圖28.3 克希荷夫（Gustav R. Kirchhoff,1824-1887）。 歐亞書局 P.374 18

圖28.4 進入一接點之電流何須等於離開該接點之電流和；或即 ΣI＝0 歐亞書局 P.374 19

進入一接點之電流，其符號與離開此接點之電流符號相反。 如圖 28.4 所示之電流，我們可寫成 I1 ＋ I2 － I3 － I4 ＝ 0 。 接點法則乃電荷守恆的另一種陳述：在接點處，電荷不會無端生成或壞滅，且亦不容其有積聚情形。 為討論迴路法則起見，請看一下圖 28.5 所示之電路。 歐亞書局 P.374

圖28.5 在封閉迴路上環繞一週，電位之變化量總和為零：ΣV ＝ 0（注意：這裡的 V 指的是「電位之變化」）。 歐亞書局 P.374 21

它是由一個具有內電阻 r 之電池，與另一電阻器 R 串聯而成。 假設那些連接線本身的電阻小得可被忽略。 依慣例，電流是由高電位流向低電位，故我們將電路內電流的方向畫成由電池正端流向電池負端。為方便計，將電池負端之電位定為零。 我們將要檢驗一下一假設性之「單位正電荷」在環繞整個電路時的位能變化。 歐亞書局 P.374

我們從 A 點開始。此時電荷剛要進入電池端，不具有電位能； emf 源將此（單位）電荷的位能提升了 ；在 B 和 C 中間，電荷未損失任何位能，因已假設導線不具電阻。 在 C 的地方，它遇到了內電阻，並穩定地耗失掉位能，直至達到電池正端 D 為止。 而在 D 到 E 這段路上，它以漂移速率前行，並於 E 點遭遇到電阻器 R ，且在通過 R 時耗失掉它所剩餘的全部位能；最後，以漂移速率由 F 返抵 A 。 歐亞書局 P.374

基於靜電場的保守性質，電荷在到達 F 點以前，一定得將電池供給它的所有能量消費掉。從而，在電路上的任一繞一整圈的過程中，電荷必將歸返到一相同的靜電位上去。 此項事實即為克希荷夫迴路法則： 　環繞一封閉迴路之電位變化量代數和為零。 歐亞書局 P.375

電荷從電動勢源那裡所獲得的位能，會在通過電阻器時逐漸耗失。 這項法則說穿了僅是能量守恆的一種陳述： 電荷從電動勢源那裡所獲得的位能，會在通過電阻器時逐漸耗失。 要沿著整個迴路將電位變化量加總起來，可以如圖 28.6 所示的，順著已知的（或假設）電流方向或其反方向來做。 若是順著電流方向做，則在通過電阻器（包括任何 emf 源之內電阻）時，電位變化應為負值。 歐亞書局 P.375

圖28.6 運用迴路法則時，兩種方向均可使用。 歐亞書局 P.375 26

這是因為電流乃是向電位之「下坡」處流去的。 通過一理想的 emf 源時電位變化的符號則須視該 emf 源端點的排列位向而定，與電流方向沒有關連。 歐亞書局 P.375

28.3 串聯與並聯 電阻器跟電容器一樣，可以有串聯和並聯兩種連接方法，對這兩種連接法，我們均希望能求出其等效電阻值。 28.3 串聯與並聯 電阻器跟電容器一樣，可以有串聯和並聯兩種連接方法，對這兩種連接法，我們均希望能求出其等效電阻值。 如圖 28.7 ，當兩電阻器 R1 、 R2 串聯時，通過這兩者的電流相等。 因導線內電場的方向維持不變，故此項連結其兩端之電位差即等於個別電位差的和： 歐亞書局 P.375 28

圖28.7 兩電阻器串聯，其等效電阻 Req ＝ R1 ＋ R2 。 歐亞書局 P.375 29

這兩個電阻器的等效電阻為 Req ＝ R1 ＋ R2 。 顯然，這項推論可以擴展至任意數目之串聯電阻；亦即， 也就是說，將一列電阻器串聯起來，其等效電阻即為個別電阻值之和。 歐亞書局 P.375

圖 28.8 為兩個電阻器之並聯，電流流經電阻器之大小關係可針對 a 或 b 點運用接點法則而求得： I － I1 － I2 ＝ 0 ，或即 我們希望求得其等效電阻 Reg ，經由此等效電阻，電流總流量會跟原來的一致。利用歐姆定律，可將接點法則表為： 歐亞書局 P.375

圖28.8 兩電阻器並聯，其等效電阻值為 1/Req ＝ 1/R1 ＋ 1/R2 。 歐亞書局 P.376 32

因在 a 點和 b 點處之電位大小均為唯一值，與電荷行進之路徑無關，故兩電阻器兩端之電位差值應相同： V1 ＝ V2 ＝V 。 等效電阻值 Req ＝ V/I ，將此代入接點法則，得到 這項推論亦可推擴至 N 個電阻器並聯時的情況 ，故得： 歐亞書局 P.376

電阻器相並聯時，其等效電阻值一定會比最小的那個電阻值還要小。 歐亞書局 P.376

例題 28.1 求圖 28.9a 所示之電阻器組合之等效電阻值。 解 碰到這類問題，最好先從那些較能確定的串聯或並聯組合開始。3 Ω跟 6 Ω這兩個電阻器之並聯值可由下式得到： 故其等效值為 2 Ω。此 2 Ω復與 4 Ω串聯，形成 6 Ω之等效電阻，並與 12 Ω(7 Ω ＋ 5 Ω ) 之電阻並聯， 參見圖 28.9b 。 歐亞書局 P.376 35

例題 28.1 (續) 這兩個電阻並聯之等效值由 得知應為 4 Ω。最後， 4 Ω與 5 Ω串聯（圖 28.9c），相加後得其等效電阻值為 9 Ω，此即為整個組合的等效電阻值（圖 28.9d）。 歐亞書局 P.376

例題 28.1 (圖 28.9 ) 圖28.9 欲計算 某一電阻器組 合之等效電阻， 可分解成若干步 驟進行。 歐亞書局 P.376 37

例題 28.2 兩個電阻器分別接上 120 V 之電動勢源時，其耗 散功率分別為 60 W 及 90 W 。將它們串聯後接上 解 須先求其個別電阻值。由 P ＝ V 2 / R 知： R1 ＝(120 V)2 / (60 W)＝ 240 Ω， R2 ＝ (120 V)2 / (90 W) ＝ 160 Ω。將這兩個電阻器串聯後，流過之電流同為 I ＝ E / (R1＋ R2)＝(120 V) / (400 Ω) ＝ 0.3 A 。 歐亞書局 P.377 38

在這個狀況下，瓦數較高的那個電阻器所耗散的功率較小。 例題 28.2 (續) 故個別的耗散功率為： 在這個狀況下，瓦數較高的那個電阻器所耗散的功率較小。 歐亞書局 P.377 39

例題 28.3 每當一真實（非理想）的電動勢源對外部負載供 應電功率時，會有些許功率耗失在內電阻上。若 一負載其電阻值為 R ，與一內電阻為 r 之 emf 源 連接，如圖 28.10a ，在什麼樣的 R 值之下，供至 該 負載的電功率為極大值？ 解 由迴路法則， E － Ir － IR ＝ 0 ，得到電流 I ＝ E /（R ＋ r）。故 R 的耗散功率為 歐亞書局 P.377 40

例題 28.3 (續) 欲求最大之 P 值，須畫出 P 相對於 R 的函數關係圖，如圖 28.10b 。較好的方法是先求 P 對 R 的導數（將 r 和 E 視為常數）： 由微積分學之諸法則知， P 為極大值時之 R 值，可由令 dP/dR ＝ 0 求得 。可以很容易證得：此狀況可導出（R ＋ r）＝ 2R 這個式子，由之得到 R ＝ r 。 歐亞書局 P.377 41

大器至喇叭的功率轉換即是─雖然這在電路分析上會因電流並非直流電而較顯複雜。 例題 28.3 (續) 從而，傳輸至負載之最大功率值發生在負載電阻值與電（動勢）源之內電阻值相等時。此時，可說電源跟負載兩者為相「匹配」（matched）。這種匹配對於功率之有效轉換相當重要，例如，由音頻放 大器至喇叭的功率轉換即是─雖然這在電路分析上會因電流並非直流電而較顯複雜。 歐亞書局 P.377 42

例題 28.3 (圖 28.10 ) 圖28.10 (a) emf 源 內電阻 r ，連接一負 載電阻器 R 。(b) 傳遞 的函數，最大功率轉 換發生在 R ＝ r 時。 歐亞書局 P.377 43

例題 28.4 一電池具 20 V 之 emf 及 1 Ω 之內電阻， 並和 三個電阻器相連接， 如圖 28.11 。求 (a) 端電 壓； (b) 流經每一個電阻之電流，及每一個電阻 器兩端之電位差； (c) 該emf 所供應之功率； (d) 每一個電阻器之耗散功率。 解 欲求端電壓須先求通過電池之電流。因 1/4＋ 1/12 ＝1/3 ，故 R2 跟 R3 的等效電阻為 3 Ω，而 整個電流的等效電阻值為 10 Ω。 歐亞書局 P.378 44

須注意的是： I1 ＝ I2 ＋ I3 ，符合接點法則（在作計算時，應常常保持和驗證整個結果的一致性）。 例題 28.4 (續) 因此，電流 I1 ＝ E / Req ＝ 2 A ，端電壓為 (b) 因 I1 已知，故 r 及 R1 兩端之電位差極易求得： Vr ＝ I1r ＝ 2 V ， V1 ＝ I1R1＝ 12 V 。因 R2 和 R3 是並聯的，故 V2＝ V3 ，由迴路法則知：某一迴路之電位變化量和應等於 emf 。前面所計算過的共是 14 V ，故所剩下的即為： V2 ＝ V3＝ 6 V 。流經 R2 和 R3 之電流為 I2 ＝ V2 / R2＝ 3/2 A ； I3 ＝ V3/R3 ＝ ½ A 。 須注意的是： I1 ＝ I2 ＋ I3 ，符合接點法則（在作計算時，應常常保持和驗證整個結果的一致性）。 歐亞書局 P.378 45

(c) emf 源所供應之功率為 P ＝ I1 E ＝ 40 W 。 (d) 每個電阻器之耗散功率可由 P ＝ IV 或 I2R 求得： 例題 28.4 (續) (c) emf 源所供應之功率為 P ＝ I1 E ＝ 40 W 。 (d) 每個電阻器之耗散功率可由 P ＝ IV 或 I2R 求得： 總和恰為 40 W ，即 emf 源所供應之功率（此又為另一計算上之驗證）。 歐亞書局 P.378 46

例題 28.4 (圖 28.11 ) 圖28.11 具內電阻之 emf 源與另三個電阻器相連接，流過電源之電流為 I1 ＝ E / Req ， Req 表整個電路的等 效電阻值。 歐亞書局 P.378 47

例題 28.5 圖 28.12所示之電路具兩個迴路及三個 emf 源， (a) 若已知 r1 ＝ r2 ＝ 2 Ω，r3 ＝ 1 Ω， R1 ＝ 4 Ω， R2 ＝ 3 Ω， E 1＝ 15 V ， E 2 ＝ 6 V ， 以及 E 3 ＝ 4 V ，求出諸電流值。(b) 電位變化 VA－ VB 之大小為何？ 解 一開始要分析像圖 28.12 這類電路時，可以先任意 定出電流的方向，若所設定的方向錯誤了，則整 個結果在數值上會多出個負號。對點 A 運用接點 法則（設流出該點的電流為正值）得到： 歐亞書局 P.378 48

運用迴路法則，循順時鐘方向─如該圖之曲線箭頭所示： 例題 28.5 (續) 運用迴路法則，循順時鐘方向─如該圖之曲線箭頭所示： 上面這幾個式子只能用於圖 28.12 所示之電路。因有三個獨立方程式，故未知數不能超過三個。 (a) 將已知值代入各迴路之方程式裡，得： 歐亞書局 P.378 49

將接點法則之 I2 ＝ I1 ＋ I3 代入(ii)，則 (i) (ii) 兩 式便成： 例題 28.5 (續) 將接點法則之 I2 ＝ I1 ＋ I3 代入(ii)，則 (i) (ii) 兩 式便成： 由這些式子得到： I1＝ 76/41 ＝1.85 A。 歐亞書局 P.379 50

＝ 1.97 A (b) 要求 VA － VB ，須由 B 點開始，將 各電位變化量加總起來。因電位值必是唯一的，我 例題 28.5 (續) I3 ＝ 5/41 ＝ 0.12 A 。最後， I2 ＝ I1 ＋ I3＝ 81/41 ＝ 1.97 A (b) 要求 VA － VB ，須由 B 點開始，將 各電位變化量加總起來。因電位值必是唯一的，我 們可取任一路徑（由 B 到 A）來做（這一點反映出 什麼樣的基本性質呢？）沿著中間那條支路： 負號表示 VA 比 VB 小（請試算一下其他路徑的情 況）。 歐亞書局 P.379 51

例題 28.5 (圖 28.12 ) 圖28.12 具兩個迴路、三個電動勢源之電路，迴路所依 循的方向以曲線箭頭表示。 P.379 歐亞書局 圖28.12 具兩個迴路、三個電動勢源之電路，迴路所依 循的方向以曲線箭頭表示。 歐亞書局 P.379 52

例題 28.6 有五個電阻器，其連接情況如圖 28.14 所示。求 a 點和 b 點間之等效電阻值。 解 此例無法以串聯和並聯的技巧求得等效電阻。要解這樣的問題，須將未知數的數目減至最小。例如，一旦將流經 R1 和 R2 的電流定為 I1 和 I2 ，且 I 表進入接點 a 之電流，則其他三個電流可以利用接點法則表為： 歐亞書局 P.379 53

例題 28.6 (續) 這些值已在圖中表示出來了。我們將由下式求出等效電阻值： Req ＝ Vba/I ，其中 Vba 表 a 點和 b 點間之電位差。運用迴路法則於左右兩迴路，得： 利用 (i) (ii) 兩式，可將 I1 和 I2 以 I 表示出： I1 ＝ α1I ， I2 ＝ α2I ，其中 α1和 α2 代表與電阻有關之係數。 a 和b 間之電位差為： 歐亞書局 P.380 54

因而等效電阻為 Req ＝ Vba /I ＝ α1R1 ＋α2R2 。 例題 28.6 (續) 因而等效電阻為 Req ＝ Vba /I ＝ α1R1 ＋α2R2 。 歐亞書局 P.380 55

例題 28.6 (圖 28.14 ) 圖28.14 此項電阻器組合之等效電阻無法以串聯和並聯 求得。 歐亞書局 P.379 56

28.4 RC 電路 至此，我們所處理的皆為穩流（steady currents）的問題。 當一電路包含有電容器時，電流在電容充電或放電期間會隨時間而變化（成為時間的數）。將電容器直接跨接在一理想電池（無內電阻）的兩端時，電容器會瞬間充電。 歐亞書局 P.380 57

同樣地，若將一已充電的電容器兩端接上一條導線，則電容器會立即瞬間放電。 我們希望能求知：當電路中有電阻存在時，電容器上的電荷以及電路中的電流如何地隨時間而變化。 歐亞書局 P.380 58

（i）放電（Discharge） 圖 28.15 所示者為一電容器與一電阻器之並聯，且與一理想電池（無內電阻）相連接，電池之 emf 為 E 。 電容器上的電荷量為 Q0 ＝ C E ，在 t ＝ 0 時開關打開（斷路），電容器開始放電（經由電阻器）。由迴路法則知： 歐亞書局 P.380

圖28.15 電容器經由一電阻器作放電。 歐亞書局 P.380 60

Q 表電容器正板上電荷之瞬間值， I 表流經導線之電流。 我們知道，電流 I 等於電荷量 Q 降低的時間比率（速率）；因而 I ＝－ dQ/dt 。 迴路法則便成為： 此式可重寫成積分形式： 歐亞書局 P.380

這個指數衰減函數（exponential decay function）圖形畫在圖 28.16 中。 結果是： 其中 k 為一積分常數。我們知道： t ＝ 0 時， Q ＝ Q0 ；因此 k ＝ ln Q0 。對 log 取一反逆對數（antilog），得： 這個指數衰減函數（exponential decay function）圖形畫在圖 28.16 中。 歐亞書局 P.381

圖28.16 電容器上電荷量的指數衰減。 T1/2表半衰期， τ 為時間常數。 歐亞書局 P.381 63

時，稱之為時間常數（time constant），電荷量減至 Q ＝ Q0 e－ 1 ＝ 0.37Q0 ，亦即其初始值之 37 %。 當時間為 時，稱之為時間常數（time constant），電荷量減至 Q ＝ Q0 e－ 1 ＝ 0.37Q0 ，亦即其初始值之 37 %。 另外一個令人感到興趣的時間便是半衰期（half-life ； T1/2），它表示的是電荷量減至其初始值的 50 % 時所需的時間。故： 歐亞書局 P.381

其中 I0 ＝ E /R 為 t ＝ 0 時之電流。電流跟電荷兩者對時間具有相同的依於關係。 取自然對數並重新作排列，結果得到： 電流大小可由 I ＝－dQ/dt 及 28.7 式求得： 其中 I0 ＝ E /R 為 t ＝ 0 時之電流。電流跟電荷兩者對時間具有相同的依於關係。 歐亞書局 P.381

（ii）充電（Charging） 現在我們另外考慮一下：將電阻器串聯時，電容器上的電荷量是如何地增加的（參見圖28.17）。 t ＝ 0 時，開關呈閉路；我們假定電容器上無任何電荷存在，故而其兩端亦無電位差。 R 兩端之電位差為 E ，故經過此電路之初始 （最大）電流為 I0 ＝ E /R 。 歐亞書局 P.381

圖28.17 電容器之充電電路。 歐亞書局 P.381 67

運用迴路法則於此電路（順時鐘方向），得： 電容器跟電阻器兩端之電位差的和恆為常數，亦即 VC＋ VR ＝ E 。 電荷開始流過電容器以後，電容器兩端之電位 差便也開始增加，意即 R 兩端之電位差乃至通過整個電路之電流量均開始減少。 歐亞書局 P.381

在這個電路裡面，電流 I 增加了電容器上的電荷量，因此， I ＝＋dQ/dt 。 又因電流會漸減，故我們可預料到電容器充電的速率（時間比率）亦會漸減。 當電容器兩端的電位差到達 E 後， R 兩端的電位差為 0 ：電流乃停止流動，而電容器上的電荷量便達到其最大值 Q0＝ C E 。 歐亞書局 P.381

將 I ＝ ＋Qd/dt 用於迴路法則時，可發現： 經過移項重排，並於兩邊取積分， 結果是： 歐亞書局 P.382

其中 k 為積分常數。在 t ＝ 0 時， Q ＝ 0 ；因而 k ＝－ ln ( C E )。上式便可另寫成（ 須知 ： ln A － ln B ＝ lnA/B）： 取 log 之反逆對數（antilog），並重新整理一下，便得到： 歐亞書局 P.382

其中 I0 ＝ E /R 。須注意的是 28.12 式與電容器之放電的相關式子（28.10 式）形式完全一樣。 其中， Q0 ＝ C E 。此函數之圖形繪於圖 28.18 中。 在此例中，時間常數 τ ＝ RC 告訴我們電荷量要增至 Q ＝ Q0（1 － e－ 1）＝ 0.63 Q0（亦即其最終值之 63 %）需時多久；而電流，由 I ＝ ＋dQ/dt ，知： 其中 I0 ＝ E /R 。須注意的是 28.12 式與電容器之放電的相關式子（28.10 式）形式完全一樣。 歐亞書局 P.382

圖28.18 電容器上電荷量之增加，為時間的函數。 歐亞書局 P.382 73

在圖 28.15 之放電電路裡， R 和 C 兩端的電位差相等， VC ＝ VR ＝ E ；而在圖 28.17 之充電電路裡，它們卻不相等。 實際上，電阻器兩端的電位差 VR ＝ IR ，會隨時間而減少。 而電容器兩端之電位差 VC ＝ Q/C ，則是隨時間而增加；它們的和， VR ＋ VC ＝ E ，乃是一個常數值。 歐亞書局 P.382

例題 28.7 就圖 28.18 之充電電路，取 E ＝ 200V ， R ＝ 2 × 105 Ω及 C ＝ 50 μF 。求 (a) 電荷量增至其最 終值的 90 % 時，需多久的時間？(b) 在 t ＝ RC 時，電容器內所貯存的能量；(c) t ＝ RC 時， R 內之功率損耗；(d) 電容器完全充電時 （ t ＝ ∞） ，電池所作的總功；(e) 貯存在電容器中之 最終能量；(f) 電阻器內所損失之總能量。 解 (a) 我們要求的是 Q ＝ 0.9 Q0 時的時間，其中 Q0 ＝ C E ＝ 0.01 C 。時間常數 τ ＝ RC ＝ 10 s 。 歐亞書局 P.382 75

此式可變成 exp（－t /10）＝ 0.1 ，取自然對數，得到 －t/10 ＝－ 2.3 ，故 t ＝23 s 。 例題 28.7 (續) 由 28.11 式， 此式可變成 exp（－t /10）＝ 0.1 ，取自然對數，得到 －t/10 ＝－ 2.3 ，故 t ＝23 s 。 (b) 在一個時間常數內， Q ＝ Q0（1 －1/e）＝ 0.632 Q0 ，貯存在電容器內的能量為 歐亞書局 P.383 76

例題 28.7 (續) (c) R 內之功率損耗為 PR ＝ I 2R ，在一個時間常數內， I ＝ 0.37 I0 ，其中 I0 ＝ E /R ＝ 10－3A 。因此， (d) 電池由電容器的某一板上轉移了 Q0之電荷量至另一板上，並須令這些電荷通過點 E 之電位差。所以，電池所作的總功為 Q0 E ＝ C E 2 ＝ 2 J 。 (e) 貯存在電容器上之最終能量為 歐亞書局 P.383 77

例題 28.7 (續) (f) R 內之能量損耗率為 PR ＝ dUR/dt ＝I2R ，故dUR ＝ I2Rdt ，其中 I 由 28.12式給定。總損失能量即為： 歐亞書局 P.383 78

這是一項令人驚訝的結果：貯存在電容器內的能量恰恰等於電阻器所耗失的能量。當然， UC ＋ UR 會等於 emf 源所遞送出的能量。 例題 28.7 (續) 這是一項令人驚訝的結果：貯存在電容器內的能量恰恰等於電阻器所耗失的能量。當然， UC ＋ UR 會等於 emf 源所遞送出的能量。 歐亞書局 P.383 79

28.5 直流儀表 測量電流的儀表稱為安培計（ammeter），測量電位差的儀表稱為伏特計（voltmeter）。 28.5 直流儀表 測量電流的儀表稱為安培計（ammeter），測量電位差的儀表稱為伏特計（voltmeter）。 許多這類儀器，均是以檢流計（galvanometer）為基礎。 這項裝置，下面一章將會學到的，乃是顯示「懸於磁極間之載流線圈對電流大小所作的偏轉」（參見 29.4 節）。 歐亞書局 P.383 80

電位差另亦可用示波器（oscilloscope）來測量，它所記錄的則是電子束的偏斜程度。 現在的數位儀表運用了一些電子電路，可將所欲測量之電流及電位差值顯示在一小小的螢光幕上。 欲測量流經一電阻器之電流，可串聯一安培計，如圖 28.19a 。 安培計所測量的，是電路中一個點處之電流。 歐亞書局 P.383

圖28.19 (a) 安培計與電阻器串聯。 歐亞書局 P.383 82

它本身的電阻值必須很小，以致將它安插在電路內不會對電流量造成顯著的改變。 欲測量一電阻器兩端之電位差，可在該電阻器上並聯一伏特計，如圖 28.19b 。 伏特計所測得的，是電路中兩個點間之電位差，它的存在會導致整個電路之有效電阻降低，從而電路中之電流亦隨之增加；這項擾動因素可因伏特計本身具有極大的電阻值而降至最低。 歐亞書局 P.383

圖28.19 (b) 伏特計與電阻器並聯。 歐亞書局 P.383 84

檢流計的線圈，其電阻值一般在 10 Ω至 100 Ω的範圍內，可對 10 μA 至 1 mA 之電流範圍產生滿標偏轉（full-scale deflection）（最靈敏的檢流計甚至可以指示到小於 10－ 9 A 之電流值）。 歐亞書局 P.384

電阻值之量測 （Measurement of Resistance） 歐姆計（ohmmeter）乃是一種測量電阻值的儀表，它包含了一個安培計、一個小電池，以及一個可變的串聯電阻 Rs ，如圖 28.20 所示。 兩個接端首先先接成「短路」（直接相連），調整某一個很小的串聯電阻器（未畫出）以使指針滿標偏轉，這個步驟可用來補償電池 emf 之變動。 歐亞書局 P.384

圖28.20 歐姆計裡， emf 源與一安培計及一串聯電阻器 Rs 串聯。若兩接端短路，安培計讀數偏至最大。接上 R 後，偏轉減少。 歐亞書局 P.384 87

令此滿標之讀數對應零電阻值（即：此時外電阻值為零）。 然後，當接上R 以後，電流開始下降，指針之偏轉亦降低，如此，電阻之大小便被校成由右至左遞增。 歐亞書局 P.384

惠司登電橋 （Wheatstone Bridge） 惠司登（Charles Wheatstone）是一位發展電報（electrictelegraph）的急先鋒，他於 1843 年設計出一種測量電阻值的精確方法。 將四個電阻器連接成像「橋」一樣的形狀，見 圖 28.21 ， R1 、R2 和 Rs 三個電阻值為已知， Rx 是待測之未知電阻。這項裝置具有兩種用法。 歐亞書局 P.384

圖28.21 惠司登電橋，可用於精確地測量電阻值。當檢流計上無電流流通時，此電橋乃達到「平衡」。 圖28.21 惠司登電橋，可用於精確地測量電阻值。當檢流計上無電流流通時，此電橋乃達到「平衡」。 歐亞書局 P.384 90

其一： R1 和 R2 固定，校正過的或標準的電阻器 Rs 則一直作改變調整，直至檢流計上無電流顯示為止。 此狀況下，電橋本身可說是達到「平衡」（在這種「零位」（null）方法裡， emf 值跟檢流計之校正與否，這兩者其實都無關緊要。 在實際情況新，通常會另加一個電阻器以作為限制檢流計的初期電流。 歐亞書局 P.384

當電橋平衡時， P 點和 Q 點的電位相同，因而跨於 R1 和 Rs 的電位差會等於跨於 R2 和 Rx 的電位差： 取其比值，得： 未知電阻值乃由標準電阻器（及其精確度）所決定。 歐亞書局 P.384

其二： Rs 是一個固定的精確標準電阻器，而 R1 和 R2則均是某一條導線的「一部分」。 點 P 乃是一個滑位接點，可在線上滑動，直至平衡達成為止。 對一均勻的導線而言，電阻與長度成正比，故Rx ＝（l 2 /l 1）Rs 可由接點兩邊之長度比例而求得。 惠司登電橋極具精確性，在測量「鉑電阻溫度計」及「應變規範（strain gauge）」之電阻值時相當有用。 歐亞書局 P.384