第四节 第四章 函数的单调性与 曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, (1)若 则 在 I 内单调递增 (递减) .(反之亦然） 定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, (1)若 则 在 I 内单调递增 (递减) .(反之亦然） (2) f (x)在[a,b]上严格单调增(或严格单调减)的充要条 件是：在(a,b)内 任取 证: 无妨设 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2) (反证法) 若于某个 ( a , b ) 的子区间 则 f (x)于其上为常数，因而的不为严格 单调，故必要性成立。 其次若条件满足但 f (x)不严格单调，即存在 使 则由单调性得出 f (x) 于[ x1 , x2 ]上为常数，从而于 其上 这与条件矛盾。故充分性成立。

例1. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2: 证明数列 {n2e-n} (n≥2) 单调减。 证： 令 可见 f (x) 在[2，∞）上单调减，从而{n2e-n}单调减. 某些不等式与单调性有关，因而可用定理1来证明。 例如

例3. 证明不等式 证: 令 要证明不等式成立，只需证明 f (x) >1 即可。因 同理当x < 0 时，由

例4. 证明 证: 令 因此，当 x > 0 时， 这说明 f (x)严格单调增，故 得证。

例5. 证明 时, 成立不等式 证: 令 且 证 运行时, 点击按钮“证” 或“证明”, 可显示该不等式的证明过程, 证毕自动返回. 因此 从而 证明 目录 上页 下页 返回 结束

* 证明 令 则 从而 即

若 f (x) 严格单调，则曲线 y = f (x) 至多与 x 轴 常用此来判定方程根的唯一性。 证明方程 aeax = x 在区间 例6：设 (0,1/a) 内有唯一根。 证：原方程等价于 xe-ax-a = 0 .令f (x) = xe-ax-a ， 则 f (0) = -a , f (1/a) = (ae)-1-a > 0 , 由介值定理， 方程 f (x) = 0 在(0,1/a)内至少有一根，另一方面，由 知f (x)在(0,1/a)内严格单调增，因此原方程恰有一根。

二、曲线的凹凸与拐点 定义1 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的(下凸的); (2) 若恒有 则称 (1) 若恒有 则称 图形是凹的(下凸的); (2) 若恒有 则称 图形是凸的 (上凸的). 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

等价定义 . 若连接曲线y = f (x)上任意两点A，B的弦恒在曲线段 的上侧（或下侧），则称 f (x)为凹（凸）函数；而称曲线为凹（凸）曲线。 等价定义：若对任给 有 则称 为[A,B]上的凹函数。若将 ≤换成<，则 称为严格凹函数。若将≤换成≥，则称为凸函数。

定理2.(凹凸判定法) 设函数 在区间I 上有二阶导数 (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; 则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得 证: 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束

几何解释:当曲线为凹的时,当 x 增大，曲线上的点 P 的切线斜率 亦随之增大，在 f (x) 二次 可微的条件下，这等价于 定理3：若 f (x) 在[a , b] 上严格凸（或严格凹） 的充要条件是：在 (a , b) 内 且使 的点 x 不充满 (a , b) 的任何子区间。 （证明略去）

2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 例7. 判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 . 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 凹 凸 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例9. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 凹 凸 凹 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明 例10. 设 证：令 则要证的不等式可改写成 因而只需证明 在 内严格向上凹,而 故不等式得证.

+ – 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1. 设在 上 则 或 的大小顺序是 ( ) B 提示: 利用 单调增加 , 及 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 曲线 的凹区间是 ; 凸区间是 及 ; 拐点为 . 提示: 第五节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 求证曲线 有位于一直线的三个拐点. 证明： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

令 得 从而三个拐点为 因为 所以三个拐点共线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束