教更好的数学，更好地教数学 范周田, 张汉林 北京工业大学

多年以来, 我和我的许多同事们一直致力于微 积分课程的精品课程和精品教材建设, 对国内外的 微积分教学理念、教材和教学方法都获得了一些新 的认识, 也从中引发了一些思考, 本文对此做简要总 结. 在我们的研究课题《高等数学课程“主动学 习”的范例》的过程中, 西交利物浦大学数理中心 的韩云瑞教授, 郭镜明教授等在微积分教学研究方 面给了我们许多帮助和指导.

一、微积分课程的定位 Richard W. Riley Teach better mathematics and teach mathematics better. 教更好的数学，更好地教数学

在中国大学, 微积分被看做最重要的一门 数学基础课程, 承担着数学基本能力培养、特 别是强调抽象思维能力逻辑思维能力的培养, 所以在教学中不断地细抠概念和训练纯数学 的解题技巧. 比较而言，美国大学似乎更倾向于把微积分看作是观察世界的一种视角和分析问题的一种方法.

中国微积分教材的特点是“知识立意”, 教材 的结构一般围绕知识点展开, 重视纯数学方面的系统 化、严格化和形式化, 重视纯数学方法和技巧. 中国 微积分教材非常重视微积分概念的一般化和抽象化, 刻意避免任意的逻辑漏洞, 为了达到这样的目的, 教 材中概念和原理的表述方式往往倾向于过度形式化, 一个直接的结果是造成了读者理解和掌握的难度, 以及教学与考核对于概念形式化的过度关注.

例如, 中国微积分教材的习题和试题中 经常出现对于数学概念纯数学方式的, 甚至 文字游戏般的考核方式, 我们认为这偏离了 微积分概念的本意, 也无益于培养微积分的 应用能力和创新精神.

美国微积分教材中理论体系不像中国教材那样逻辑清晰和紧凑, 纯数学知识点往往比较分散, 概念表述也比较平易 美国微积分教材中理论体系不像中国教材那样逻辑清晰和紧凑, 纯数学知识点往往比较分散, 概念表述也比较平易. 他们用大量的篇幅用数值方法和图形方法解释数学概念和原理, 并且有丰富多样的应用问题.

关于定理以及某些结论的证明, 美国微积 分教材的处理方式与国内教材也有区别. 对于定理, 国内教材处理方式比较简单: 要么严格证明, 要么略去证明. 美国微积分更注重定理的直观解释。

对比表明: 我们的微积分课程似乎承担了不可能完成的任务, 甚至没有仔细区分在培养数学制作者或是使用者 对比表明: 我们的微积分课程似乎承担了不可能完成的任务, 甚至没有仔细区分在培养数学制作者或是使用者. 尽管美国微积分课程的定位和教材体系未必适合我们的国情,但有些做法值得我们去借鉴.

二、发现数学 主动学习是最好的学习方式, 主动学习的 动力是学习的兴趣. 老师应该为学生创造适当 的情境, 引导学生发现和解决问题, 通过适当的 成就感激励培养学生的学习兴趣, 即从好的问 题出发鼓励学生探索真理, 理解数学, 享受数 学, 最终学会数学, 使学生的‘好胜心’变成好奇心’, 使学生从做‘学答’到做‘学问’.

如果教师仅仅给学生讲清楚一些数学定理的证明步骤，而不指出定理的直观背景和整个来龙去脉，就好比只见树木不见森林。（徐利治） 直观上弄懂才算“真懂”。这指的是对数学理论、方法或定理，能够洞察其直观背景，并且看懂它们是如何从具体特例过渡到一般（抽象）形式的。 如果教师仅仅给学生讲清楚一些数学定理的证明步骤，而不指出定理的直观背景和整个来龙去脉，就好比只见树木不见森林。（徐利治）

案例1 第二型曲面积分问题. 1. 流速恒定(各处同向),平面的情形: 速度的表 示, 平面的方向表示, 流量的表示. 案例1 第二型曲面积分问题. 1. 流速恒定(各处同向),平面的情形: 速度的表 示, 平面的方向表示, 流量的表示. 2. 流速恒定(各处同向), 曲面由若干个平面构成 的情形: 曲面的方向表示, 流量的表示. 3. 流速恒定(各处同向), 曲面的情形: 单侧曲面? 曲面的方向表示, 流量的表示.

4. 流速恒定(与时间无关, 只和位置有关), 平面 的情形: 速度的表示, 流量的表示. 5. 流速恒定(与时间无关, 只和位置有关), 曲面 的情形. *6. 流速与时间, 位置都有关, 曲面的情形.

案例2 最优化或条件极值问题. 1. 选择题的评分标准 答错扣分, 考察绝对能力; 答错不扣分, 承认直觉和运气的同时考察能力.

2. 放贷人员的业绩考核 目标: 放贷总额最大, 约束: 借贷人必须满足一定条件. 考核方法: 其中 是第i 笔放贷额, 表示第i 笔放贷 满足借贷条件, 表示第i 笔放贷不满足 借贷条件. 是惩罚项, D是惩罚系数, 标志惩罚的强度.

3. 条件极值 目标函数 : 约束条件: 拉格朗日乘数法: 分析 的意义: 惩罚系数,

三、欣赏数学 数学家认为数学是好玩的, 行云流水的逻 辑推理具有无穷的魅力和美感. 数学的美只有 通过恰当的展现才能获得认可, 否则, 在局外人 看来, 数学家手中的逻辑线条也许像猫爪中的 毛线团. 1. 三棱镜和分光仪 — 牛顿的光散射实验: 用三棱镜把复色光分解为单色光.

2. 傅里叶级数 在数学上, 一个信号是一个定义在时间或 空间上的函数. 例如一段声音, 如果单纯按照定 义在时间上的函数来表示, 它画出来是这个样 子的:

事实上, 它是巴赫的小提琴无伴奏 Partita No.3 的序曲开头几个小节

傅立叶是第一个以数学来计算音乐的人. 他认为, 当在钢琴上弹一个音时, 就发出一个波 长的音波, 当一次弹几个和弦时, 和弦的美是来 自这些音波的叠加. 怎么叠加? 他认为那是一 组三角函数的加法. 为此, 著名的『傅立叶分 析』又称为音乐的『谐波分析』.

从本质上讲, Fourier 变换就是一个棱镜 (Prism),它把一个信号函数分解为众多的频率 成分, 与自然棱镜的原理是一样的, 只不过自然 棱镜是将自然光分解为多种颜色的光而已.

四、简单是数学的内在之美 简单性原则：数学上重要的基本概念和理论方法，在本质上都是简单的、优美的。高明的数学家总是力图从那些由重复的、琐碎的、枝节的东西所掩盖着的极为复杂的关系结构系统中，梳理出简洁优美的头绪来。(徐利治)

牛顿、莱布尼兹、柯西等大批数学家把微 积分变成了科学, 而科学就必须建立在严格的 逻辑基础上, 必须形成严密的逻辑系统. 数理逻 辑的另一个名字是形式逻辑, 是数学存在的基 础. 今天我们看到的形式化的微积分是必然的 结果.

然而, 微积分的生命力不仅仅体现在其严 格性上, 微积分理论的成长、壮大, 直至成为解 决问题的超级利器, 其根本原因离不开朴素且 简单的微积分思想. 因此, 不应该为了严格和形 式化牺牲微积分思想. 同时, 为了把数学讲明白, 即使对象是非数学专业的学生, 也必须保留适 度的形式化和抽象化.

例如, 假定偏导数存在, 如果当 和 时, 有 则称 在点 可微分. 这使得微分概念成 为一个可以观测到的事物, 免去了关于可微性与偏导 数存在逻辑关系的那些多余的、完全形式化的讨论, 使得多元函数微分该体系更加简约.

我们看一个微积分之外的例子, 说明简单的思想 可以解决看似复杂的问题. 向量汉字的复原算法(1991年) 所谓向量汉字是指以点的形式存储的汉字.例如, 黑体的 只是顺序存储其角上的四个点. 顺序连接 这四个点得到 的轮廓, 为了在计算机上显示 必须对轮廓的内部进行填充, 这就是向量汉字复原问 题. 进一步说, 是多边形填充问题, 是计算机图像处理 的经典问题之一 .

向量汉字系统把汉字作为图像处理, 但填充算法 成为制约计算机汉字处理技术发展的瓶颈问题. 其实, 不必考虑具体的汉字, 只用下面的图形就可 以完成测试和验证.

我们的想法很简单, 把计算机中的“直线”变成 “单线”, 即对 单值. 同时对多边形的顶点进行处理, 决定保留或去掉该点使之满足“奇偶校验”原则. 最 后, 整个图形从上至下的一次“异或”运算即完成主 体填充. 源程序只有170行, 填充主要用“异或”, 寄存器级 运算本质上最快的. 386计算机软件测试每秒填充约 100字, 汉卡每秒填充约2000字以上, 实现了汉字无闪 烁显示.

五、结束语 数学工作者的教育经历、视野和水平的差 异, 对于微积分内容、方法的理解不同, 以及对 于微积分教学目标的不同定位, 都是造成微积 分教学巨大差异的原因. 以上是我们的一些体 会, 未必正确和成熟, 一家之言, 仅供参考.