第8章 正弦稳态响应
8.1 正弦波的特性 按正弦规律变化的电压或电流均可称为正弦信号,它是时间的函数,由于cosωt 和sinωt具有完全相同的曲线形态,所以正弦信号既可以是正弦函数,也可以是余弦函数
电路分析过程中常用cosωt 来表达激励信号或电路某处的响应。 u(t) = Um cos(ωt+θ) (8-1) 式中Um— 振幅,一个周期内电压最大值; ω —角频率,单位时间正弦量变化的弧度数; θ—初相位, t=0时的瞬时相位角。
8.2 电路对正弦激励的零状态响应 在掌握了正弦信号的数学特征的基础上,下一步要解决的问题是,将正弦信号作为电路的激励电源接入电路,考察电路对该信号的响应,这里关心的是稳态响应,在正弦激励下的稳态响应是指响应曲线呈周期性的变化,但频率和幅度不变化。
由式(8-10)可知,响应的幅度与激励信号的幅度成正比,当R、L 或ω增大时,响应的幅度减小。回路的阻抗呈RL 串联形式时,回路的电流滞后于激励电压毴角,若R =0,响应电流滞后激励电压900。 该计算式具有普遍的意义,若回路是复杂电路,通过戴维南等效变换,使之成为图8.3所示电路,所求电流可以直接用式(8-10)计算。
例8.3 求图8.4(a)所示电路中的 电流iL。
8.3 复激励函数 上一节讨论问题时反复采用了三角函数变换,当电路变为复杂时,采用三角函数变换求解电路中的响应很麻烦。若将求解响应的方法由三角函数变换改为代数运算,将使电路分析工作大大简化,数学中的欧拉公式为此提供了方便。
欧拉恒等式
将 Umcosωt 作为激励信号施加于电路输入端,在电路某处产生响应 Imcos(ωt + θ) ，
于电路输入端,在电路某处产生响应jImsin(ωt + θ) 假设有一个虚激励信号jUmsin ωt 也施加 于电路输入端,在电路某处产生响应jImsin(ωt + θ) 这种实际上不存在的虚拟的信号,加入后不会对响应结果的准确性产生影响,却使电路分析的难度大大减小。
8.4 相量 8.4.1相量的概念 为了更方便地对正弦函数和余弦函数进行分析,找出电路中的响应,引入一个新的术语— 相量,相量是表示正弦信号的幅度和相位的复数,相量法是进行正弦稳态分析的一种简便而有效的方法。
以上三步给出了其变化过程,若已经充分理解其内部关系,可以仅用一步写出相量的极坐标形式或相量的指数形式。需要说明的是:变为相量形式是为了方便分析和计算,当计算完毕以后,需要将结果还原到时域表达式,不要忘记了ωt 的存在。
例8.5 将时域电压 u (t) = 100 cos (4000t - 300) V 变为频域电压。
8.4.3 电路中元件的电压与电流 的相量关系
表8.1 时域伏安表达式和频率伏安 表达式的比较
8.5 阻抗与导纳 8.5.1 阻抗 一个无源二端正弦稳态网络,其电压和电流的极性如图8.11所示,若两端点存在总阻 8.5 阻抗与导纳 8.5.1 阻抗 一个无源二端正弦稳态网络,其电压和电流的极性如图8.11所示,若两端点存在总阻 抗Z,则存在与欧姆定律相似的关系为
8.5.2 导纳 一个无源二端正弦稳态网络,其电流和电压的极性如图所示,流入二端网络的电流与端电压的相量比称为该网络的导纳Y,单位为西门子(S)。
8.5.3 阻抗和导纳的计算
8.6 用阻抗和导纳表示的电路分析
8.6.2 用相量和阻抗表示的混联电路分析
8.6.3用相量和阻抗表示的电路节点分析
8.6.4用相量和阻抗表示的电路网孔分析
8.6.5 用相量和阻抗表示的电路 叠加原理和戴维南定理 8.6.5 用相量和阻抗表示的电路 叠加原理和戴维南定理
8.7 相量图 8.7.1 两相量电压相加
8.7.2 RLC 串联电路
8.7.3 RLC并联电路
8.7.4 混联电路