第四章 向量空間 4.1 Rn上的向量 4.2 向量空間 4.3 向量空間的子空間 4.4 生成集合與線性獨立 4.5 基底與維度 4.2 向量空間 4.3 向量空間的子空間 4.4 生成集合與線性獨立 4.5 基底與維度 4.6 矩陣的秩與線性方程式系統 4.7 座標和基底變換 4.8 向量空間的應用 Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者 R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

4.1 Rn上的向量 有序的n項 (ordered n-tuple) n個實數的序列 所有有序的n項所構成的集合 n n維空間 (n-space)： Rn 所有有序的n項所構成的集合 線性代數: 4.1節 p.222

範例： n=1 一個實數 x R1 = 1維空間 = 所有實數所構成的集合 n=2 一個有序的對 R2 = 2維空間 = 所有有序成對實數 所構成的集合 n=3 一個有序的三項 R3 = 3維空間 = 所有有序三項實數 所構成的集合 n=4 一個有序的四項 R4 = 4維空間 = 所有有序四項實數 所構成的集合 線性代數: 4.1節 p.227

(1) n項 可以被視為Rn上的一個點，其中xi為它的座標值 (2) n項 可以被視為Rn上的一個向量 注意： (1) n項 可以被視為Rn上的一個點，其中xi為它的座標值 (2) n項 可以被視為Rn上的一個向量 範例： 一個點 一個向量 線性代數: 4.1節 p.227

向量加法 (vector addition) (Rn上兩個向量) 相等 (equal) 若且唯若 向量加法 (vector addition) 純量乘法 (scalar multiplication) 注意： 上述所定義的向量加法與純量乘法二者被稱為 在Rn上的標準運算(standard operations in Rn) 線性代數: 4.1節 p.228

(1) 零向量0被稱為加法單位元素(additive identity) 負向量 (negative) 向量差 (difference) 零向量 (zero vector) 注意： (1) 零向量0被稱為加法單位元素(additive identity) (2) 向量-v被稱為v的加法反元素(additive inverse) 線性代數: 4.1節 p.228

令 u, v, 與w為在Rn中之向量，及c,d為純量 定理 4.2：向量加法與純量乘法的性質 令 u, v, 與w為在Rn中之向量，及c,d為純量 (1) u+v為Rn中之向量 (2) u+v=v+u (3) (u+v)+w=u+(v+w) (4) u+0=u (5) u+(-u)=0 (6) cu為在Rn中之向量 (7) c(u+v)=cu+cv (8) (c+d)u=cu+du (9) c(du)=(cd)u (10) 1(u)=u 線性代數: 4.1節 p.230

令u=(2,-1,5,0)，v=(4,3,1,-1)，與w=(-6,2,0,3)為R4中的向量，求解下列中的每個 x (a) x = 2u - (v + 3w) (b) 3(x+w)= 2u-v+x 解：(a) 線性代數: 4.1節 p.230

(b) 線性代數: 4.1節 p.230

令v為Rn中的向量，c為純量。則下列性質為真 定理 4.3：加法單位元素與加法反元素的性質 令v為Rn中的向量，c為純量。則下列性質為真 (1) 加法單位元素具有唯一性，也就是若u+v=v，則u=0 (2) 加法反元素具有唯一性，也就是若 v+u=0，則u=-v (3) 0v=0 (4) c0=0 (5) 若cv=0，則c=0或v=0 (6) -(-v)=v 線性代數: 4.1節 p.231

線性組合 (linear combination) 向量x被稱為 的線性組合，若它可以被表示為 範例 6： 在R3中 x=(-1,-2,-2)，u=(0,1,4)，v=(-1,1,2)，以及 w=(3,1,2)。求 a, b 與 c 使得 x=au+bv+cw 解： 線性代數: 4.1節 p.232

(因為加法與純量乘法的矩陣運算所得到的結果與相對應 的向量運算的結果一樣) 注意： 在 的一個向量 可以被表示成 一個1xn的列矩陣(列向量) 或 一個nx1的行矩陣(行向量) (因為加法與純量乘法的矩陣運算所得到的結果與相對應 的向量運算的結果一樣) 線性代數: 4.1節 p.232

向量加法 純量乘法 線性代數: 4.1節 p.233

摘要與複習 (4.1節之關鍵詞) ordered n-tuple：有序的n項 n-space：n維空間 equal：相等 vector：向量加法 scalar multiplication：純量乘法 negative：負向量 difference：向量差 zero vector：零向量 additive identity：加法單位元素 additive inverse：加法反元素

4.2 向量空間 向量空間 (vector space) 令V為一集合且在V上定義了兩個運算(向量加法與純量乘法)。若對V在上的每個向量u, v與w及每個純量c與d都符合下列的公理時，則稱V為向量空間 加法： (1) u+v 屬於V 加法封閉 (2) u+v=v+u 交換性 (3) u+(v+w)=(u+v)+w 結合性 (4) 對在V中所有的u，V有零向量0使得u+0=u 加法單位元素 (5) 對在V中所有的u，在V中存在一向量使得u+(-u)=0 加法反元素 線性代數: 4.2節 p.237

純量乘法： (6) 屬於 純量乘法封閉 (7) 分配性 (8) 分配性 (9) 結合性 (10) 純量單位元素 (6) 屬於 純量乘法封閉 (7) 分配性 (8) 分配性 (9) 結合性 (10) 純量單位元素 線性代數: 4.2節 p.238

注意： (1) 一個向量空間包含四個部分： 一個向量集合、一個純量集合、與兩個運算 V：非空集合 c：純量 向量加法 純量乘法 被稱為一個向量空間 (2) 純量集合為實數集合 實數向量空間 純量集合為複數集合 複數向量空間 (3) 零向量空間 線性代數: 4.2節 補充

(2)矩陣空間： (所有具有實數項的 矩陣集合) 常見的向量空間 (1)n維空間： Rn (2)矩陣空間： (所有具有實數項的 矩陣集合) 範例：(m=n=2) 向量加法 純量乘法 線性代數: 4.2節 補充

(3) n次多項式空間： (所有小於或等於n次之多項式的集合) (4) 函數空間： (定義在實數線上所有連續函數的集合) 線性代數: 4.2節 補充

令V是向量空間中的任意元素，c是任意純量， 則以下的性質成立 定理 4.4： 純量乘法的性質 令V是向量空間中的任意元素，c是任意純量， 則以下的性質成立 線性代數: 4.2節 p.242

注意：只要找到一個公理不符合就可以證明這集合不是 向量空間。 (在純量相乘下並沒有封閉) 純量 證明： 範例 6：整數集合不是一個向量空間 整數 非整數 範例 7：二次多項式集合不是向量空間 證明：令 和 在向量加法下不封閉 線性代數: 4.2節 p.243

這集合(與兩個給定的運算)不是一個向量空間 範例 8：一個不是向量空間的集合 V=R2=所有實數有序對的集合 向量加法： 純量乘法： 證明V不是向量空間 解： 這集合(與兩個給定的運算)不是一個向量空間 線性代數: 4.2節 p.244

摘要與複習 (4.2節之關鍵詞) vector space：向量空間 n-space：n維空間 matrix space：矩陣空間 polynomial space：多項式空間 function space：函數空間

4.3 向量空間的子空間 子空間 (subspace) ：一個向量空間 一個非空子集合 ：一個向量空間(在V的加法和純量乘法 的運算定義下) W是一個V的子空間 顯然子空間 (trivial subspace) 每個向量空間V至少有兩個子空間 (1)零子空間{0}是V的子空間 (2) V是V的子空間 線性代數: 4.3節 p.247

若W是向量空間V的非空子集合，則W是V的子空間 若且唯若下列的封閉條件成立 定理 4.5：子空間的測試 若W是向量空間V的非空子集合，則W是V的子空間 若且唯若下列的封閉條件成立 (1) 若 u 與 v 都在W上，則 u+v 也是在W上 (2) 若 u 在W上且 c 是任意純量，則 cu 也是在W上 線性代數: 4.3節 p.248

範例： 範例： R 3 的子空間 線性代數: 4.3節 p.249

M2×2為具有矩陣加法及純量乘法標準運算的向量空間 W為所有2×2對稱矩陣的集合 在標準運算下證明W是向量空間M2×2的子空間 解： 線性代數: 4.3節 p.249

M2×2為具有矩陣加法及純量乘法標準運算的向量空間 W為二階奇異矩陣的集合 在標準運算下證明W不是向量空間M2×2的子空間 解： 線性代數: 4.3節 p.250

範例 4：第一象限的集合不是R2的子空間 證明在標準運算下的 不是R2的子空間 解： 線性代數: 4.3節 p.250

範例 6：判斷R2的子空間 下列兩個子集合中，何者是R2的子空間 (a) 在直線 上點的集合 (b) 在直線 上點的集合 解： (加法封閉) (乘法封閉) 線性代數: 4.3節 p.253

(b) 線性代數: 4.3節 p.253

範例 8：判斷R3的子空間 解： 線性代數: 4.3節 p.255

定理 4.6：兩個子空間的交集也是子空間 線性代數: 4.3節 p.252

摘要與複習 (4.3節之關鍵詞) subspace：子空間 trivial subspace：顯然子空間

4.4 生成集合與線性獨立 線性組合 (linear combination) 若向量v可被表示成下列的形式 線性代數: 4.4節 p.258

範例 2： 解： 線性代數: 4.4節 p.259

此系統有無線多組解 線性代數: 4.4節 p.260

線性代數: 4.4節 p.260

為向量空間V的子集合，若在V中的向量均可以寫成集合S中向量的線性組合，則稱S為V的生成集合 生成集合 (spanning set) 為向量空間V的子集合，若在V中的向量均可以寫成集合S中向量的線性組合，則稱S為V的生成集合 線性代數: 4.4節 p.261

注意： 注意： 線性代數: 4.4節 p.261

範例 5： 解： 線性代數: 4.4節 p.261

線性代數: 4.4節 p.261

(包含S之其他V的子空間一定包含span(S)) 定理 4.7： span(S)為V的子空間 V為一向量空間 為向量空間V的一個向量集合，則 (包含S之其他V的子空間一定包含span(S)) 線性代數: 4.4節 p.263

線性獨立 (linear independent) 線性相依 (linear dependent)

注意： 線性代數: 4.4節 p.264

確定下列在R3中的向量集合是線性獨立或線性相依 範例 8：線性獨立的測試 確定下列在R3中的向量集合是線性獨立或線性相依 v1 v2 v3 解： 線性代數: 4.4節 p.265

判斷下列在P2中的向量集合是線性獨立或線性相依 S = {1+x-2x2 , 2+5x-x2 , x+x2} 範例 9：線性獨立的測試 判斷下列在P2中的向量集合是線性獨立或線性相依 S = {1+x-2x2 , 2+5x-x2 , x+x2} v1 v2 v3 解： 即 c1v1+c2v2+c3v3 = 0 c1(1+x-2x2) + c2(2+5x-x2) + c3(x+x2) = 0+0x+0x2 c1+2c2 = 0 c1+5c2+c3 = 0 -2c1+ c2+c3 = 0   系統有無限多組解 (系統有非顯然解)  S是線性相依 (例如 c1=2 , c2=-1 , c3=3) 線性代數: 4.4節 p.267

判斷在下列2×2矩陣空間的向量集合是線性獨立或 線性相依 範例 10：線性獨立的測試 判斷在下列2×2矩陣空間的向量集合是線性獨立或 線性相依 v1 v2 v3 解： c1v1+c2v2+c3v3 = 0 線性代數: 4.4節 p.267

 2c1+3c2+ c3 = 0 c1 = 0 2c2+2c3 = 0 c1+ c2 = 0  (系統只有顯然解) S是線性獨立  線性代數: 4.4節 p.268

集合 S = {v1,v2,…,vk}, (k2) 是線性相依若且唯若至少 有一個向量vj可以寫在S中其他向量的線性組合 定理 4.8： 集合 S = {v1,v2,…,vk}, (k2) 是線性相依若且唯若至少 有一個向量vj可以寫在S中其他向量的線性組合 證明： () c1v1+c2v2+…+ckvk = 0  ci  0不是全為零 線性代數: 4.4節 p.269

vi = d1v1+…+di-1vi-1+di+1vi+1+…+dkvk 假設 vi = d1v1+…+di-1vi-1+di+1vi+1+…+dkvk  d1v1+…+di-1vi-1+di+1vi+1+…+dkvk = 0  c1=d1 , c2=d2 ,…, ci=1 ,…, ck=dk (非顯然解) S是線性相依 定理 4.8 的推論： 在向量空間V中的兩個向量u和v是線性相依 若且唯若其中一個是另一個向量的倍數。 線性代數: 4.4節 p.269

摘要與複習 (4.4節之關鍵詞) linear combination：線性組合 spanning set：生成集合 trivial solution：顯然解 linear independent：線性獨立 linear dependent：線性相依

4.5 基底與維度 基底 (basis) 線性獨 V：向量空間 生成集 立集 基底 S={v1, v2, …, vn}V S生成V (即 span(S)=V ) S為線性獨立  S被稱為V的基底 注意： (1) Ø是{0}的基底 (2) R3的標準基底： {i, j, k} i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1) 線性代數: 4.5節 p.275

{e1, e2, …, en} e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,…,0), en=(0,0,…,1) (3) Rn的標準基底 {e1, e2, …, en} e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,…,0), en=(0,0,…,1) 範例：R4 {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} 範例： 矩陣空間 (4) mn 矩陣空間的標準基底 { Eij | 1im , 1jn } (5) Pn(x)的標準基底 {1, x, x2, …, xn} 範例：P3(x) {1, x, x2, x3} 線性代數: 4.5節 p.276

範例： 令v1=(1,0) , v2=(0,1) , v3=(1,1) , v4=(2,0) 集合 生成集 線性獨立集 基底    {v1,v2}{v1,v3}{v2,v3}{v2,v4}{v3,v4} {v1,v4} {v1,v2,v3}{v1,v2,v4}{v1,v3,v4}{v2,v3,v4} {v1,v2,v3,v4} 線性代數: 4.5節 補充

若 是向量空間V的基底，則在V中 的每一個向量可被寫成唯一的一種在S中向量的線 性組合方式。 定理 4.9：基底表示的唯一性 若 是向量空間V的基底，則在V中 的每一個向量可被寫成唯一的一種在S中向量的線 性組合方式。 線性代數: 4.5節 p.279

 0 = (c1-b1)v1+(c2-b2)v2+…+(cn-bn)vn 證明： span(S)=V S是線性獨立 span(S)=V 假設 v = c1v1+c2v2+…+cnvn v = b1v1+b2v2+…+bnvn  0 = (c1-b1)v1+(c2-b2)v2+…+(cn-bn)vn (即唯一性)  c1=b1 , c2=b2 ,…, cn=bn 線性代數: 4.5節 p.279

包含n個向量以上的每個集合是為線性相依。 定理 4.10：基底與線性相依 若 是向量空間V的基底，則在V中 包含n個向量以上的每個集合是為線性相依。 證明： S1 = {u1, u2, …, um} , m>n 令 uiV 線性代數: 4.5節 p.280

(di=ci1k1+ci2k2+…+cimkm) d1v1+d2v2+…+dmvm=0 令 k1u1+k2u2+…+kmum=0 可得 (di=ci1k1+ci2k2+…+cimkm) d1v1+d2v2+…+dmvm=0  di=0 i 即 定理 1.1：當齊次系統的方程式比變數還少， 此系統必定會有無限多組解 m>n  k1u1+k2u2+…+kmum= 0 有非顯然解  S1是線性相依 線性代數: 4.5節 p.280

若向量空間V有一個具有n個向量的基底，則對於V 的每一個基底都有n個向量(對於一個有限維度向量 空間內的所有基底具有同樣n個向量) 定理 4.11：基底的向量數 若向量空間V有一個具有n個向量的基底，則對於V 的每一個基底都有n個向量(對於一個有限維度向量 空間內的所有基底具有同樣n個向量) 證明： S={v1, v2, …, vn} S’={u1, u2, …, un} 向量空間中的兩個基底 線性代數: 4.5節 p.281

有限維度(finite dimension) 當向量空間V之基底的元素是有限的，則稱V為有限維度 無限維度 (infinite dimension) 當向量空間V不是有限維度，則稱V為無限維度 維度 (dimension) 一個有限維度的向量空間V的基底有n個向量， 則向量空間V的維度為 n V：向量空間 S：V的一個基底  dim(V) = #(S) (S中向量的數目) 線性代數: 4.5節 p.282

(3) dim(V) = n , W是V的子空間  dim(W)  n 生成集 基底 線性獨 立集 #(S) > n #(S) = n #(S) < n dim(V) = n 注意： (1) dim({0}) = 0 = #(Ø) (2) dim(V) = n , SV S：生成集  #(S)  n S：線性獨立集  #(S)  n S：基底  #(S) = n (3) dim(V) = n , W是V的子空間  dim(W)  n 線性代數: 4.5節 補充

(1) 向量空間 Rn  基底 {e1 , e2 ,  , en}  dim(Rn) = n 範例： (1) 向量空間 Rn  基底 {e1 , e2 ,  , en}  dim(Rn) = n (2) 向量空間 Mmn  基底 {Eij | 1im , 1jn}  dim(Mmn)=mn (3) 向量空間 Pn(x)  基底 {1, x, x2,  , xn}  dim(Pn(x)) = n+1 (4) 向量空間 P(x)  基底 {1, x, x2, }  dim(P(x)) =  線性代數: 4.5節 補充

(a) W={(d, c-d, c)：c與d為實數} (b) W={(2b, b, 0)：b為實數} 範例 9：求子空間的維度 (a) W={(d, c-d, c)：c與d為實數} (b) W={(2b, b, 0)：b為實數} 解： (找出能生成子空間的一個線性獨立的向量集合) (a) (d, d-c, c) = c(0, 1, 1) + d(1, -1, 0)  S = {(0, 1, 1) , (1, -1, 0)} (S是線性獨立 且 S生成W)  S是W的基底  dim(W) = #(S) = 2 (b)  S = {(2, 1, 0)}生成W 且 S是線性獨立  S是W的基底  dim(W) = #(S) = 1 線性代數: 4.5節 p.283

令W是M22中所有對稱矩陣所形成的子空間， 求W的維度 範例 11： 令W是M22中所有對稱矩陣所形成的子空間， 求W的維度 解： 生成W 且 S是線性獨立  S是W的基底  dim(W) = #(S) = 3 線性代數: 4.5節 p.284

定理 4.12：n維空間的基底測試 令V是一個n維的向量空間 (1) 若 是一個在V中的線性獨立集合， 則 S是V的基底。 生成集 基底 線性 獨立集 dim(V) = n #(S) > n #(S) = n #(S) < n 線性代數: 4.5節 p.285

摘要與複習 (4.5節之關鍵詞) basis：基底 dimension：維度 finite dimension：有限維度 infinite dimension：無限維度

A的列空間是由A的列向量所生成的，其為Rn的子空間 列空間(row space) A的列空間是由A的列向量所生成的，其為Rn的子空間 行空間 (column space) A的行空間是由A行向量所生成的，其為Rn的子空間 零空間 (null space) A的零空間是Ax=0的所有解的集合，其為Rn的子空間 線性代數: 4.6節 p.289

4.6 矩陣的秩與線性方程式系統 列向量 (row vectors) A的列向量 行向量 (column vectors) A的行向量 || || || A(1) A(2) A(n) 線性代數: 4.6節 p.289

若一個m×n的矩陣A列等價於一個m×n的矩陣B， 則A的列空間會相等於B的列空間 定理 4.13：列等價矩陣有相同的列空間 若一個m×n的矩陣A列等價於一個m×n的矩陣B， 則A的列空間會相等於B的列空間 注意： (1) 矩陣的列空間不會因為基本列運算而改變 RS(r(A)) = RS(A) r: 基本列運算元 (2) 基本列運算會改變行空間 定理 4.14：矩陣列空間的基底 若矩陣A列等價於一個具有列梯形形式的矩陣B， 則B的非零列向量形成A的列空間的基底 線性代數: 4.6節 p.290

RS(A)的基底 = {B的非零列向量} (定理4.14) 範例 2： 求一列空間的基底 求A的列空間的基底 A= 解: A= B = RS(A)的基底 = {B的非零列向量} (定理4.14) = {w1, w2, w3} = {(1, 3, 1, 3) , (0, 1, 1, 0) ,(0, 0, 0, 1)} 線性代數: 4.6節 p.291

注意： 線性代數: 4.6節 p.291

求一R3子空間的基底，此子空間由下列集合所生成 範例 3：求一子空間的基底 求一R3子空間的基底，此子空間由下列集合所生成 解： A = B = G.E. span({v1, v2, v3})的基底 = RS(A)的基底 = {B的非零列向量} (定理4.14) = {w1, w2} = {(1, -2, -5) , (0, 1, 3)} 線性代數: 4.6節 p.292

解1：將A轉置並使用基本列運算來將寫成列梯形形式 範例 4：求矩陣的行空間的基底 求在範例2中的矩陣A的行空間的基底 解1：將A轉置並使用基本列運算來將寫成列梯形形式 線性代數: 4.6節 p.293

CS(A)=RS(AT) CS(A)的基底 = RS(AT)的基底 = {B的非零列向量} = {w1, w2, w3} 線性代數: 4.6節 p.293

領先1 => {v1, v2, v4}是CS(B)的基底 {c1, c2, c4}是CS(B)的基底 解 2： 領先1 => {v1, v2, v4}是CS(B)的基底 {c1, c2, c4}是CS(B)的基底 注意: (1) 解1所求的基底不是{c1, c2, c3, c4}的子集合 (2) 解2所求的基底是{c1, c2, c3, c4}的子集合 (3) 因為 v3 = -2v1+ v2，所以c3 = -2c1+ c2 線性代數: 4.6節 p.293

注意：A的零空間也被稱為系統Ax = 0的解空間 定理 4.16：齊次系統的解 若A是一個 的矩陣，則齊次線性方程式系統 Ax = 0的所有解的集合是的Rn子空間 證明: 注意：A的零空間也被稱為系統Ax = 0的解空間 線性代數: 4.6節 p.297

範例 6：求齊次系統的解空間 求矩陣A的零空間 解： A的零空間是齊次系統 Ax = 0的解空間 x1 = –2s – 3t, x2 = s, x3 = –t, x4 = t 線性代數: 4.6節 p.298

若A為 的矩陣，則A的列空間與行空間有相同的維度 dim(RS(A)) = dim(CS(A)) 定理 4.15：列與行空間有相同的維度 若A為 的矩陣，則A的列空間與行空間有相同的維度 dim(RS(A)) = dim(CS(A)) 矩陣的秩 (rank) 矩陣A的列(或行)空間的維度被稱為A的秩 rank(A) = dim(RS(A)) = dim(CS(A)) 矩陣的核次數(nullity) 矩陣A之零空間的維度稱為A的核次數 nullity(A) = dim(NS(A)) 注意: rank(AT) = rank(A) 證明: rank(AT)=dim(RS(AT))=dim(CS(A))=rank(A) 線性代數: 4.6節 p.294

n = rank(A) + nullity(A) 定理 4.17：解空間的維度 若A是一個秩為 r 的 矩陣， 則Ax = 0的解空間的維度為n – r，也就是 n = rank(A) + nullity(A) 注意： (1) rank(A) ：在Ax=0之解中領先變數的數目 (在矩陣A之列梯形形式中非零列的數目) (2) nullity (A) ：在Ax=0之解中自由變數的數目 線性代數: 4.6節 p.299

注意: 若A為 矩陣且rank(A)=r，則 基本子空間 維度 RS(A)=CS(AT) r CS(A)=RS(AT) NS(A) n-r NS(AT) m-r 線性代數: 4.6節 補充

令矩陣Ａ的行向量表示為a1，a2，a3，a4與a5。 範例 7：矩陣的秩與核次數 令矩陣Ａ的行向量表示為a1，a2，a3，a4與a5。 a1 a2 a3 a4 a5 (a) 求Ａ的秩與核次數 (b) 求Ａ之行向量所形成的集合，此集合為Ａ的行空間的基底 (c) 若可能，將Ａ的第三行寫成前兩行之線性組合 線性代數: 4.6節 p.300

解：令B為Ａ的簡化的列梯形形式 a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 (a) rank(A)=3 (因為B有三個非零列) 線性代數: 4.6節 p.300

(b) 領先1 (c) 線性代數: 4.6節 p.300

若xp是非齊次系統 Ax = b的特殊解，則這系統的 每一個解可寫成x = xp + xh的形式，其中xh是所相 定理 4.18：非齊次線性系統的解 若xp是非齊次系統 Ax = b的特殊解，則這系統的 每一個解可寫成x = xp + xh的形式，其中xh是所相 對的齊次系統Ax = 0的解 證明： 令 x 是Ax = b的任意解 是齊次系統 Ax = 0的解 線性代數: 4.6節 p.301

範例 8：求非齊次系統的解集合 求下列線性方程式系統之所有解向量的集合 解： Ax = b的增廣矩陣可化簡為 s t 線性代數: 4.6節 p.302

即 xh = su1 + tu2 是 Ax =0 的解 是 Ax=b 的一個特殊解 線性代數: 4.6節 p.302

線性方程式系統Ax = b為一致性若且唯若b在A的行空間 證明： 定理 4.19： 線性方程式系統的解 線性方程式系統Ax = b為一致性若且唯若b在A的行空間 證明： 假設 分別為Ax = b的係數矩陣、未知數的行矩陣及右半部 線性代數: 4.6節 p.303

因此，Ax = b為一致性的若且唯若b為A的行向量之線性組合。 也就是說，系統為一致性系統若且唯若b在A的行向量所生成 的子空間中。 則 因此，Ax = b為一致性的若且唯若b為A的行向量之線性組合。 也就是說，系統為一致性系統若且唯若b在A的行向量所生成 的子空間中。 線性代數: 4.6節 p.303

若rank([A|b])=rank(A) (係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩 ) 則系統 Ax=b是一致性 注意: 若rank([A|b])=rank(A) (係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩 ) 則系統 Ax=b是一致性 範例 9：線性方程式系統的一致性 判斷下列線性方程式系統是否為一致性 解: 線性代數: 4.6節 p.303

c1 c2 c3 b w1 w2 w3 v (b在A的行空間) 線性方程式系統為一致性的 檢查: 線性代數: 4.6節 p.304

若A是一個 n×n 的矩陣，則下列條件是等價的 可逆矩陣之一些等價條件的總結 若A是一個 n×n 的矩陣，則下列條件是等價的 (1) A為可逆 (2) Ax = b對於任何 n×1 的矩陣b均有唯一解 (3) Ax = 0只有一個顯然解 (4) A列等價於In (5) (6) rank(A) = n (7) A的n個列向量為線性獨立 (8) A的n個行向量為線性獨立 線性代數: 4.6節 p.304

摘要與複習 (4.6節之關鍵詞) row space : 列空間 column space : 行空間 null space: 零空間 solution space : 解空間 rank: 秩 nullity : 核次數

4.7節 座標和基底變換 對於基底的座標表示方式 令B = {v1, v2, …, vn}是向量空間V的一個有序基底 與x是在V中的向量，其可表示為 純量c1, c2, …, cn稱為x相對於基底B的座標(coordinates of x relative to the basis B)。 x相對於B的座標矩陣(coordinate matrix)(或座標向量 (coordinate vector))為在Rn中的行向量，其構成元素為x的座標。 線性代數: 4.7節 p.308

範例 1：在Rn 中的座標和元素 求在R3中向量 x=(-2, 1, 3) 相對於標準基底 S = {(1, 0, 0), ( 0, 1, 0), (0, 0, 1)}的座標矩陣 解： 線性代數: 4.7節 p.309

求在R 3中的x=(1, 2, -1)相對於(非標準)基底 範例 3：求相對位於非標準基底的座標矩陣 求在R 3中的x=(1, 2, -1)相對於(非標準)基底 B’ = {u1, u2, u3}={(1,0,1), (0,-1,2), (2,3,-5)}的座標矩陣 解： 線性代數: 4.7節 p.311

基底變換問題 (change of basis problem) 在知道一個向量相對於基底B的座標矩陣的情形下 範例：基底互換 考慮一向量空間V的兩個基底 線性代數: 4.7節 p.312

令 線性代數: 4.7節 p.312

從B’到B的轉移矩陣 (transition matrix) 為向量空間V的兩個基底 若 [v]B 是v相對於B的座標矩陣 [v]B’是v相對於B’的座標矩陣 其中 被稱為從 到 的轉換矩陣 線性代數: 4.7節 p.313

若P是在Rn中從基底B’到基底B的轉移矩陣，則 (1) P是可逆 (2) 從B到 B’的轉移矩陣為 P–1 定理 4.20：轉移矩陣的反矩陣 若P是在Rn中從基底B’到基底B的轉移矩陣，則 (1) P是可逆 (2) 從B到 B’的轉移矩陣為 P–1 注意： 線性代數: 4.7節 p.313

令B={v1, v2, … , vn}及B’={u1, u2, … , un}為Rn的兩個基底， 定理 4.21：從B到B’的轉移矩陣 令B={v1, v2, … , vn}及B’={u1, u2, … , un}為Rn的兩個基底， 則使用高斯-喬登消去法在 n×2n 矩陣 中將可以找到 從B 到B’的轉移矩陣P–1，其可表示如下 線性代數: 4.7節 p.315

B={(–3, 2), (4,–2)} 與 B’={(–1, 2), (2,–2)}是R2 的二個基底 範例 5：求轉移矩陣 B={(–3, 2), (4,–2)} 與 B’={(–1, 2), (2,–2)}是R2 的二個基底 (a) 求從基底B’到基底B的轉移矩陣 (b) (c) 求從基底B到基底B’的轉移矩陣 線性代數: 4.7節 p.318

解： (a) B’ B I P-1 [I2 : P] = (從B’到B的轉移矩陣) (b) 檢查： 線性代數: 4.7節 p.318 G.J.E. B’ B I P-1 [I2 : P] = (從B’到B的轉移矩陣) (b) 檢查： 線性代數: 4.7節 p.318

(c) G.J.E. B’ B I P-1 (從B 到B’的轉移矩陣) 檢查： 線性代數: 4.7節 p.319

(a)求 p = 相對於P3之基底S = {1, x, x2, x3} 的座標矩陣 範例 6： (a)求 p = 相對於P3之基底S = {1, x, x2, x3} 的座標矩陣 (b)求 p = 相對於P3之基底S = {1, 1+x, 1+ x2, 1+ x3} 解： (a) p = 4(1) + 0(x) + (–2)(x2 ) + 3(x3 ), [p]s = (b) p = 3(1) + 0(1+x) + (–2)(1+x2 ) + 3(1+x3 ), [p]s = 線性代數: 4.7節 p.320

範例： 求 x = 相對於基底B的座標矩陣 B = 解： 線性代數: 4.7節 補充

摘要與複習 (4.7節之關鍵詞) coordinates of x relative to B：x相對於B的座標 coordinate matrix：座標矩陣 coordinate vector：座標向量 change of basis problem：基底變換問題 transition matrix from B’ to B：從B’ 到B的轉移矩陣

4.8節 向量空間的應用 線性代數: 4.8節 p.324

線性代數: 4.8節 p.324

線性代數: 4.8節 p.324

線性代數: 4.8節 p.325

線性代數: 4.8節 p.325-326

線性代數: 4.8節 p.326

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線性代數: 4.8節 p.327

線性代數: 4.8節 p.328

線性代數: 4.8節 p.329

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線性代數: 4.8節 p.330

線性代數: 4.8節 p.330

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線性代數: 4.8節 p.331

線性代數: 4.8節 p.331

線性代數: 4.8節 p.331-332

線性代數: 4.8節 p.332

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線性代數: 4.8節 p.333

線性代數: 4.8節 p.333

線性代數: 4.8節 p.334

線性代數: 4.8節 p.334