小学数学学科素养 －数的认识与数的运算 安晓兵 小学数学学科素养 －数的认识与数的运算 安晓兵

数学的本质 数学是对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。

数学本质 数学是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的科学。 －恩格斯《反杜林论》 “数学……是一门撇开内容只研究形式和关系的科学。数学的首要和基本对象，是数量和空间的关系及形式……数学中不仅研究直接从客观现实中抽象出来的形式和关系，还研究逻辑上可能的、在已知的形式和关系的基础上确定的形式和关系……” －前苏联1964年出版《哲学百科全书》 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。 －《数学课程标准》

我国著名数学家王梓坤院士指出：“由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种普适性的技术，从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术。因而今日的数学兼有科学与技术两种品质，这是其他学科所少有的。”

内容结构表 学段 第一学段（1～3年级） 第二学段（4～6年级） 第三学段 （7～9年级） 数与代数 ●数的认识 ●数的运算 ●常见的量 ●探索规律 ●式与方程 ●数与式 ●方程与不等式 ●函数

小学阶段 一、数的认识 二、数的运算 三、常见的量、式与方程 四、探索规律

一、数的认识

1、自然数与整数的产生 基数：标准集合的产生、集合的一一对应 序数：考察动作顺序的数数活动 对应和序列构筑了人类的“数”概念。

记数发展过程 ►人们广泛使用的“匹配”工具逐渐固定下来，这样计算工具就得到了 “升级”,形成了人类记数发展过程的第一个阶段：算具记数阶段。 ► “上古结绳而治，后世圣人易之以书契。” 记数方法由“结绳”发展到 “书契”，是一种意义重大的历史进步。随着“书契”记数方法逐渐推广，人类进入了记数发展过程的第二个阶段：数码记数阶段。 数码计数就是用一定的符号来表示数。各个国家和民族用不同的符号 来表示数，如古巴比伦的契形数字，埃及的象形数字和中国的筹码数 字等。 ►伴随着文字的不断创造，数码计数阶段也自然而然地跨入了记数发展 过程的第三个阶段 —— 文字记数阶段。最典型的要数“中国数字” 一至 十。这十个数字简洁美观，易识易写，随即广为流传，并为后来的“十 进位值制”的产生奠定文字基础。

印度·阿拉伯数字 ►现在国际上通用的阿拉伯数字“0，1，2，3，…，9，”是印度人对数学乃至对整个人类文化发展的重要贡献。 ►这些数字因阿拉伯人而传入欧州，所以人们就叫它们为“阿拉伯数字”。

十进制计数法 历史上使用过的进位制有以2、5、6、10、12、16、20、60等为基数的进位制。

进位制的产生 ►历史上较为典型的进位制主要有，二进位制、五进位制、十进位制、 十二进位制和六十进位制。 ►很自然，手是人类天然的记数工具。如果说一只手是低级记数单位，那么一双手就是高级记数单位了。这也许是二进位制产生的最早原型。 ►玻里尼亚群岛、美拉尼西亚群岛的居民至今仍使用五进位制。我国算筹和算盘中就采用“以一代五” 的五进位制思想。

美拉尼西亚群岛所罗门国

十进位制在各民族部落都有广泛的应用，特别是在我国把它用于算筹之中，从而焕发出其具大的生命力。 ►另外,现今的时钟，一年的月数，中国的“地支”以及西方的“一打”等都留有十二进位制的痕迹。 ►六十进位制记数法在古代巴比伦广为流行，并在稍晚的时候流传到别的民族。如角度的度量，时间的分秒，“六十甲子”等都是六十进位制的印记。

十进制和位值制 现代计数法中包含着三个重要的因素，它就是 ① 简洁的符号；②十进位制；③位值制。这三个因素是十进位值制之所以成为现代计数法 的根本原因。 整数的计数方法是十进制计数法： 一是计数单位间的关系——每相邻两个计数单位间的进率是10； 二是计数法的位值原则——哪一个数位上的数是几，就表示有几个这样的单位。 ►然而，尽管有了简洁“印度·阿拉伯数字”，和有效的十进位制，记数 依然繁琐无序。因为现代计数法中的第三个因素，也是最重要的一个 因素 —— 位值制是记数法的灵魂。 ► 所谓位值制就是同一数码符号在不同的位置表示不同的数值。这一 做法充分体现了固定（位置固定）与变化（符号变化）；有限（数码 符号个数有限）与无限（表示的数值无限）的辩正关系。

中国的算筹

中国古代的筹算中的位值制记数法。 筹式的数码有纵、横两种形式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式

纵横相间 筹式数字摆放的方法规定：个位、百位、万位以上的数用纵式，十位、千位、十万位上的数用横式，纵横相间，以免发生误会；又规定用空位来表示零。 例如197和1907的筹式分别表示为 《孙子算经》：一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。

数的认识教学策略 1、认识10是关键。 2、按单位数数。 3、不断扩展数位顺序表，体会位值原则。

黄爱华：万以内数的认识

关于“万万为亿”的计数法 关于“万万为亿”的计数法到了20 世纪40 年代中期才确定下来。 当时我国人口已有四万万五千万，但是人们在读的时候，常常误读为四万五千万。为了纠正这一弊端，1944 年11 月28 日，重庆《中央日报》对此作了规定：“我国数位系十进位制，数字大者则以亿、兆、京、垓四字代之，而此四字之含义有二： （一）以十万为亿，十亿为兆，十兆为京，十京为垓。 （二）以万万为亿，万亿为兆，万兆为京，万京为垓。 今人事进化，数字用途亦广，即如人口货币两端而论，如以十万为亿，即有单位太小，不足敷用之虞，宜以万万为亿；⋯⋯根据上述理由提请大会通过，请建议政府明今确定数位，以万万为亿。” 从此以后，万万为亿正式被我国所采用。

兆=10000000000000000，这个用法在古代中国文献《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰垓（ㄍㄞ），万万垓曰秭（ㄗˇ），万万秭曰穰（ㄖㄤˊ），万万穰曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。”，由小到大依次为一、十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载、极、恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思议、无量大数，万以下是十进制，万以后则为万进制，即万万为亿，万亿为兆、万京为垓；小数点以下为“十退位”，名称依次为分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙、尘、埃、渺、莫、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、空虚、清静。 恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思议、无量等很明显是受了佛经传入中国的影响。

“弹指”也是佛教中的一个时间量词，出自于印度的梵语，佛家常用来比喻时光的短暂。 　　【出处】 　　《僧祗律》： “一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜有三十须臾。” 　　【换算】 　　一日一夜＝30须臾＝1.2万弹指＝24万瞬间＝480万刹那； 　　一日一夜为86400秒， 　　一“须臾”为2880秒，合48分钟， 　　一“弹指”为7.2秒， 　　一“瞬间”为0.36秒， 　　一“刹那”为0.018秒。 　　以上皆为佛教用语，多为音译。

虽然各个国家语言文化的背景不尽相同，但对“分数”一词的解释大体一致，那就是“被分割的数”。中文：八和刀 2、分数的产生 分数含义的解释 虽然各个国家语言文化的背景不尽相同，但对“分数”一词的解释大体一致，那就是“被分割的数”。中文：八和刀 分数是在实际度量和均分中产生的 。

公元1 世纪的《九章算术》：分数的四则运算法则 。 分数的加减法，通分， “齐同术” 。

3、小数的产生  中国是最早采用小数的国家。早於三世纪，刘徽注《九章算术》的时候，已指出在开方不尽的情况下，可以十进分数（小数）表示。在元朝刘瑾（约1300年）所著的《律吕成书》中更把现今的106368.6312之小数部分降低一行来记，可谓是世界最早之小数表达法。  除中国外，较早采用小数的便是阿拉伯人卡西。他以十进分数（小数）计算出π的17位有效数值。求得圓周長與半徑的比 =3.14159265358979325          至於欧洲，法国人佩洛斯於1492年，首次在他出版之算术书中以点“．”表示小数。但他的原意是：於两数相除时，若除数为10的倍数，如123456÷600，先以点把末两位数分开再除以6，即1234.56÷6，这样虽是为了方便除法，不过已确有小数之意。         到了1585年，比利时人斯蒂文首次明确地阐述小数的理论，他发明了表示单位的符号，用3①7②5③ 表示o．375． 表示小数的人则是意大利人克拉乌斯。他於1593年在自己的数学著作中以46.5表示46 1/2=46 5/10。这表示法很快就为人所接受，但具体之用法还有很大差别。

4、负数的产生 我国是世界上最早使用负数概念的国家。 早在西汉时期(约公元前2世纪)，就已经使用赤筹表示正数，用黑筹表示负数。约成书于公元50至100年间的名著《九章算术》在其第八章“方程”章也述及正负数的概念。 《九章算术》中已经开始使用负数，而且明确指出若“卖”是正，则“买”是负；“余钱”是正，则“不足钱”是负。刘徽注《九章算术》，定义正负数为“两算得失相反”，同时还规定了有理数的加、减法则，认为“正、负术曰：同名相益，异名相除。” 另外印度也是较早研究负数的国家之一。欧州直到15世纪在对方程的讨论中才首次出现负数。

负数概念及正负数运算的教学 （2）借助直观，理解相反的分界点与“0”的关系。知道0既不是正数，也不是负数。 （1）通过丰富多彩的现实生活情境，帮助学生了解负数的意义。 （2）借助直观，理解相反的分界点与“0”的关系。知道0既不是正数，也不是负数。 （3）通过分步呈现数轴（不用告诉数轴名称）等办法，使学生认识到正数都大于0，负数都小于0。

课例：缪宇虹《认识负数》 36′

5、 0的意义

0的作用 （1）占位的作用 例如：103.04，表示十位和十分位上一个单位也没有。0.10 为近似数时，表示精确到百分位。5.00元表示特别的单价是5 元整。 （2）数量的界限 例如在数轴上0 是正数与负数的界限。“0”既不是正数，也不是负数。在摄氏温度计上“0”是零上温度与零下温度的分界。 （3）表示温度 在通常情况下水结冰的温度为摄氏“0”度。说今天的气温为零度，并不是指今天没有温度。 （4）表示起点 如在刻度尺上，刻度的起点为“0”。从甲城到乙城的公路上，靠近路边竖有里程碑，每隔1 千米竖一个，开始第一个桩子上刻的是“0”，表明这是这段公路的起点。

0为什么不能作除数？ 除法的定义：已知数a、b（b ≠ 0），求一个数q，使b × q = a ，这种运算叫除法，记作a ÷ b = q，其中a、b、q分别叫被除数、除数和商.     为什么b ≠ 0呢？这是因为如果b = 0，那么 （1）当a = 0 时，任何数乘0都等于0，此时商q 可以取任意数，即不确定，这不符合四则运算结果唯一性的规定； （2）当a ≠ 0时，因为任何数乘0都等于0而不等于a ，此时商q不存在.   因此，在除法运算中规定“0不能作除数”.

数的认识在小学主要分为认识整数、认识分数（正分数）和认识小数三大块。我们知道，《数学课程标准（实验稿）》对数系作了以下规定： 正整数 整数 0 负整数 有理数 正分数 分数 负分数 （正整数和0统称为自然数）

6、无理数 毕达哥拉斯学派有一个信条：宇宙间的一切数都能归结为整数或整数之比。毕氏的一个门徒希伯索斯，在研究等腰直角三角形斜边与一直角边之比，或正方形对角线与其一边之比时，发现其比不能用整数之比表达时，便很吃惊。

7、对数 应用对数，乘法和除法可以归结为简单的加法和减法运算 现在所用的对数表是由苏格兰著名的数学家纳皮尔发明的 加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等“八则运算” 。

8、虚数 虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开方，如果被开方数是正数，就可以算出要求的根；但如果被开方数是负数，那怎么办呢？ 比如，方程x +1= 0，x = -1，x = ± 那么 有没有意义呢？很早以前，大多数人都认为负数是没有平方根的。到了16 世纪，意大利数学家卡当在其著作《大法》（1545年）中，把记为R. m .15 ，这是最早的虚数记号。

9、复数 复数就是实数和虚数的统称。复数的基本形式是a+bi,其中a，b是实数，a称为实部，bi称为虚部，i是虚数单位,在复平面上，a+bi是点Z(a,b)。

10、数系 ……超复数（四元数、八元数、n元数）

二、数的运算

运算符号的由来： “+ 、-”，15世纪，德国数学家魏德曼创造。 “×”， 1631年，英国数学家奥特累得（w.oughtred)提出用符号“×”表示相乘。乘法是表示增加的另一种方法，所以把“+”号斜过来。另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。 “÷”，表示分解， 18世纪瑞士学者哈纳创造的。 “＝”（等）号是16世纪英国学者列科尔德（雷科德）发明的，他认为世界上再没有比这两条平行而又相等的直线更相同了，所以他采用这个符号表示两数相等。 “·”（乘）号和“：”（比或除）号是在17世纪末由发明微积分的著名数学家莱布尼兹创造并引入数学运算的。相似符号“∽”和全等符号“≌”也应该归功于莱布尼茨。 “ ”，17 世纪，法国数学家笛卡儿首先使用，“ ”包含两层意思：“ ”是由拉丁字母“r”演变而来，它的原词是“root”，是方根的意思；上面这条短线“—”是扩线，即我们现在常用的括号。

课标要求： 应重视口算，加强估算，提倡（鼓励）算法多样化； 避免繁杂计算，避免……

1、口算 口算不只是笔算的基础，而是一种不同的训练，是课程中独立的部分。口算有很高的实用价值。 适时、适量、适度。 100以内的两位数加一位数进位加法共369道题

●“64+7”和“65+7”，哪一道题应该练得更多一些？为什么？ ●“9+2”、“7+8”、“6+7”，哪一道题该多练？练几遍？

张天孝：“6+7”该出现10次以上，“8+7”次之，“9+2”只需两三次就够了。

口算教学的策略 1、在数形结合中理解口算原理 直观动作思维－具体形象思维－抽象逻辑思维 2、合理训练，强化基本口算 20以内加减法，表内乘法和表内除法，四张九九表是一切口算的基础，必须让学生达到“脱口而出”的熟练程度。 小学数学口算的方法一般有三个层次：逐一重新计数－借数数加算或减算－按数群运算。所谓数群，是指学生在计数时能将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握。所谓按群计数，就是计数时不以某个物体为单位，而是以数群为单位，如两个两个地数、五个五个地数，等等。 3、针对难点反复练习。特级教师徐斌和、邱学华等老师都特别强调过，不能平均有力，要注意练习的针对性。 4、加强听算训练 5、加法九九表 6、口算表的利用 7、24点游戏

２０以内进位加法口诀 九二１１ 八三１１ 七四１１ 六五１１ 九三１２ 八四１２ 七五１２ 两个六１２ 九四１３ 八五１３ 七六１３ 九二１１　八三１１　七四１１　六五１１ 九三１２　八四１２　七五１２　两个六１２ 九四１３　八五１３　七六１３ 九五１４　八六１４　两个七１４ 九六１５　八七１５ 九七１６　两个八１６ 九八１７ 两个九１８

2、估算教学策略：简约、转换、补偿 估算策略主要有： 1、简约： （1）凑整的方法。如凑成一个整十整百的数。例如：495+310＝500+300＝800； （2）利用特殊的数据特点进行估数。如126×8，就可以想到125×8，125的8倍，就得到1000。 （3）寻找区间。也就是说叫寻找它的范围，也叫做去尾进一，“去尾”就是只看首位，那么只看首位的时候，估得的结果就是它至少是多少，“进一”就是首位加一，假如说278，我们就看成了300，首位加一，这样就是它最多可能是多少，这样得到一个范围，就是寻找它的区间范围。 2、 转换：取一个中间数，转换为乘法问题。比如32 37 30 39这四个数求和，这些数都很接近35，有的比35多一点，有的比35少一点，就取一个中间数35，直接用35×4，就大约地计算出这几个数相加的结果。 3、补偿：两个数，一个数往大了估，一个数往小了估，或者一个数估一个数不估。先估后调：学生根据不同的情况，采取不同估计的策略，这是对学生估算能力的一种很好地培养过程。在这里我们只是提了六种具体的策略，其实还有很多，一线的老师们有很多丰富的经验，希望你们不断地完善估算策略，并且在适当时候帮助学生进行总结。

3、算法多样化的价值 1、发展思维，建构创新； 2、资源共享，促进交流； 3、了解学生，因材施教。

算法多样化教学建议 第一，独立思考； 第二，互动交流； 第三，善于比较。

4、算理与算法 算理是四则运算的理论依据，它是由数概念、运算定律、运算性质等构成的。 运算定律能够保证整个计算的正确性，取得唯一的结果。 算法是具体的计算方法（主要指计算法则），它是四则运算的基本程序和方法。

整数加法的算理： 小数乘法的算理： 324+324＝648 ＝（300+20+4）+（300+20+4） ＝（300+300）+（20+20）+（4+4） ＝600+40+8 ＝648 运用交换律、结合律，还利用了整数十进制计数法，最后得到结果。 相同数位上的数相加减。 小数乘法的算理： 0.3×0.2 ＝（3×0.1）×（2×0.1） ＝（3×2）×（0.1×0.1） ＝6×0.01 ＝0.06 计算中根据小数的意义，利用乘法的交换律与结合律，保证计算结果的正确性。 相同数位上的数相乘。

除法和减法有什么联系 除法和减法有什么联系： “60÷15=4”，既可以表示把60 平均分成15 份，每份是4，也可以表示60 里面包含有4 个15，就是从60 里面连续减去相同的数15，减4 次刚好减完。列成减法算式是：60-15-15-15-15=0 我们由此可以看出，除法也可以看作连续减去相同数的简便运算。被除数就是被减数，除数就是相同的减数，连减的最多次数就是商。如果连续减去若干次以后，刚好减完，说明余数为0。 如果连续减去若干次以后，最后的差不是0，但比减数小，那么最后的差就是余数。例如：89-28-28-28=5写成除法算式就是：89÷28=3⋯⋯5

介绍弃九验算法 一个数除以9的余数叫弃九数。如84÷9=9……3，84的弃九数是3。 我们可以把一个数，每位数字加起来，继续加，直到结果是一位数（如果是9再减9是0），如8+4=12。1+2=3。

乘法弃9验算 看“被乘数的弃9数×乘数的弃9数”所得的积是否等于“原来积的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。如200×75=15000 被乘数的弃9数：2+0+0=12，弃9为2.乘数的弃9数：7+5=12，弃9得3. 两个弃9数相乘：2×3=6。等号左边为6. 等号右边的原积的弃9数：1+5+0+0+0=6，弃9数为6.则等号右边也为6，该题为对。 除法弃9验算 看“商的弃9数×除数的弃9数”所得的积是否等于“被除数的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。如238/4=59.5 除数是4弃9是4;商5+9+5=19弃9的1;被除数2+3+8=13弃9的4;4*1=4对. 加法弃9验算 看“两个加数的弃9数”的和是否等于“和的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。如12231+58799=71030;加数1+2+2+3+1=0弃9得0;加数5+8+7+9+9=38弃9得2;和7+1+0+3+0=11弃9得2;0+2=2对 减法弃9验算 看“差的弃9数＋减数的弃9数”所得的和是否等于“被减数的弃9数”，如果相等，此题为对（大至如此），否则为错。如97-16=81 差 8+1=9弃9得0;减数1+6=7弃9得7;被减数9+7=16弃9得7;0+7=7

有余数的除法 看下面一组除法算式： 11÷3=3⋯⋯2 110÷30=3⋯⋯20 1100÷300=3⋯⋯200 11000÷3000=3⋯⋯2000 被除数和除数同时扩大（或者同时缩小）相同的倍数，商不变，但余数随着扩大（或者缩小）相同的倍数。 在计算4400÷600 时，根据“商不变的性质”把被除数和除数同时缩小100 倍（也就是把被除数和除数的末尾都划去两个0），使原来的算式变为44÷6。这样计算商虽然不变，但余数却随着缩小了100 倍。

判断平年、闰年的简便方法 当公历年份不是整百数时，只看年份数的末两位数，是不是4 的倍数，如果年份数末两位是4 的倍数，这一年就是闰年。 当公历年份是整百数时，只看年份数的千位与百位这两位数，如果这两位数是4 的倍数，这一年就是闰年，反之，就是平年。 用这种方法，只需口算就能很快作出判断。

请判断：下列各年份，哪些是平年？哪些是闰年？ 1600 年 1840 年 1914 年 1966 年 2302 年 2400 年 1988 年 2100 年

“时”与“小时” “几时”就是钟面上的“几点”，表示到了什么时刻；而“几小时”表示经过的时间。经过的时间和到达的时刻是不同的。 根据有关规定，如果把“小时”的“小”字省去，不会与时刻相混淆，可以把时间单位“小时”简写成“时”； 如果省去“小时”的“小”字后，容易与时刻相混淆，那么，时间单位应该仍用“小时”表示。

资源包 《九章算术》 《孙子算经》 《数学知识探源》 《邱学华教小学数学》

数学教材资源 数学课程标准： 数学教材： 数学课程标准：http://www.docin.com/p-1096952.html 数学课程标准修改稿：http://www.docin.com/p-1096711.html 数学教材： 人教版电子版教材：http://www.pep.com.cn/xxsx/xxsxjs/xs1a/xs1akb/ 苏教版电子版教材：http://www.xxsx.cn/SmallClass.asp?SmallClassID=1 新世纪小学数学电子版教材：http://www.xsj21.com/ 北师大电子版教材： http://gbjc.bnup.com.cn/xxsx/ 北师大版教材论坛：http://bbs.bnup.com.cn/index.asp?boardid=63 青岛版电子教材：www.mmedu.net.cn

作业： 1、结合多版本教材分析数与代数的某一教学内容。 2、数与代数的精彩案例片段或常见错误分析 3、数学骨干教师博客 http://blog.sina.com.cn/sxgg2006 用户名：sxgg2006 密码：nmamtf