國立勤益科技大學 基礎通識教育中心 劉柏宏 101年10月4日於北市教育大學數學系 從「數學思考」到「思考數學」 國立勤益科技大學　基礎通識教育中心 劉柏宏 101年10月4日於北市教育大學數學系

數學解題

George Polya 的數學觀 大發現解決大問題，但並不是只有大發現才有存在的價值。每一個問題都必須要有某種發現才行。 數學有兩面，......以歐幾里德的方式呈現的數學，看起來像是一門有系統的演繹科學；但發展中的數學，又像是一門實驗的歸納科學。 --《如何解題》

數學解題角色的演變(NCTM) NCTM (1980)：數學解題應當成為學校數學教學的中心焦點

數學解題角色的演變(ICME) ICME-4 (1980):數學解題被分派在課程的獨特面向項目之下 ICME-5 (1984):數學解題為7個TSG之一 ...... ICME-9 (2000):數學解題為23個TSG之一 ICME-10 (2004):數學解題為29個TSG之一 ICME-11 (2008):數學解題為38個TSG之一 ICME-12(2012):數學解題為37個TSG之一

啟發式教學 (Heuristic Teaching) Guess and Test Use a variable Draw a picture Look for a pattern Solve a simpler problem Solve an equivalent problem Work backward ......

new horizontal context 啟發式教學之限制 new vertical context new context ? ? 啟發式策略不足以成事，學生必須察覺應用啟發式策略的情境(where)、時刻(when)、內容(what)、和方法(how) old context new horizontal context ?

問題解決的網絡 信念 beliefs 認知 後設認知 cognition metacognition 解題 問題情境 知識 context problem solving 問題情境 context 知識 knowledge 情緒 emotion

後設認知 knowing about knowing/thinking about thinking 和個人的認知管理 (cognitive management) 與自我修正(self-regulative)行為有關 在解題過程中如何有效地讀取並配當相關的知識，決定在適當時機應用適當的解題策略 監控整個解題思考過程

信念 Schoenfeld：信念系統包含自我概念、情境、主題、和數學知識本身 含括理性與非理性的心理層面 一個相當模糊的概念，缺乏明確的定義 後設認知和數學信念有著緊密的連結 Schoenfeld：構成解題者的數學世界觀，進而影響解題者所採取的策略

Alan Schoenfeld 獲獎

Alan Schoenfeld 演講

信念的分類區塊 Descriptive Evaluative Prescriptive Beliefs, Attitudes, and Values. Rokeach, 1967

數學信念的階層體系 Global beliefs Domain-specific beliefs Subject-matter beliefs Mathematical Beliefs: A search for common ground, Torner, 2002

數學認識信念 探究特定信念比較可行也比較有收穫(Pajares, 1992) 數學認識信念(epistemological beliefs): 對於數學知識和數學認識本質的信念(beliefs about the nature of mathematical knowledge and knowing) 宏觀(macro-)和微觀信念(micro-belief)

透視數學 宏觀數學 微觀數學

數學史和數學信念 數學是純邏輯演繹(logically deductive)的科學？ 歷史說明數學知識的發展先是直覺歸納(intuitively inductive)，隨後才繼之以邏輯演繹。

歷史導向微積分課程 以微積分概念的發展歷程為主架構 以微積分歷史上的關鍵問題為導向 比較歷史上東西數學家的解題策略 瞭解數學概念發展過程的非邏輯性 認知數學社群間的自我修正與建構 觀察學前學後學生數學信念的演變

劉徽割圓術 半 徑 半圓周

阿基米德求圓面積 《論圓的測量》：圓面積等於一個以此圓半徑為高、圓周長為底之直角三角形的面積

阿基米德洋蔥術 半 徑 圓周

牟合方蓋求圓球體積 (劉徽與祖氏父子)

阿基米德求圓球體積

11+11+11...= ? (11) + (11) + (11) +...= 0 1(11)(11)(11) ...= 1 令S = 11+11+11... S = 1 (11+11+11...) = 1S 所以S =1/2 24

牛頓的鬼魂量 自由落體之距離與時間的關係式為s(t) = at2 令Δs = s(t1)  s(t0) = at12  at02 = a [(t0+Δt)2  t02] = a (2t0Δt +Δt2) 因此 Δs /Δt = a (2t0Δt +Δt2) /Δt = 2at0+Δt…… (*) 牛頓：當Δt為無窮小量時，將(*)式等號右邊之Δt忽略即可得t0時之瞬間速度為2at0 25

《Mathematical Thinking & Learning 》 (Liu & Niess, 2006) 研究發現(一) 機械式思考 拼圖式思考 《Mathematical Thinking & Learning 》 (Liu & Niess, 2006)

研究發現(二) 堅實的鐵塔 堆疊的堡壘

研究發現(三) 數學真理 數學真理 《科學教育學刊》(劉柏宏,2007)

研究發現(四) 推論相對主義 推論經驗主義 直覺經驗主義 直覺經驗主義者認為數學是一種經驗科學，獲得知識的方法主要是藉由練習與模仿，數學知識的可靠性必須是直覺上能接受的 推論經驗主義者認為數學是一個假設與演繹的科學，其動機緣於解決真實世界與數學本身的問題，而過程包含假設與驗證 推論相對主義者與推論經驗主義者的主張類似，但不以絕對標準評斷數學本質的面向 推論經驗主義 《International Journal of Science & Mathematics Education 》 (Liu, 2009)

《Journal of Mathematical Behavior 》 (Liu, 2010) 研究發現(五) 需要厚實數學知識背景的題目，抱持著精熟信念 (sophisticated beliefs) 的學生通常表現較佳 僅需低度數學知識的非制式問題，抱持著素樸信念(naïve beliefs)的學生有時反而表現得較好 《Journal of Mathematical Behavior 》 (Liu, 2010)

解題 認知 信念 對數學解題的內涵已瞭解得相當透徹？ 它遠比我們原先所想像的更為複雜？ 思考 信念 信念 可能是後者！ 解題 認知 解題

數學素養 個體能夠辨認和瞭解數學在世上所扮演的角色，能夠進行有根據的判斷，並且根據個體在生活上的需求來運用數學或者投入數學活動，以成為一個積極的、關懷的、和反思的國民。 (資料來源：台灣參加PISA2006成果報告)

台灣學生數學成就與素養 TIMSS1999 TIMSS2003 TIMSS2007 PISA2003 PISA2006 PISA2009 Singapore Chinese Taipei Hong Kong Shanghai Korea Finland Netherlands Japan Liechtenstein

數學本質構面 歷史哲學 數學通識 生活應用 數學基礎 邏輯歸納

邏輯歸納

完美數 上帝利用6天的時間創造了世界 月亮繞行地球需28天 畢達哥拉斯學派稱6及28為完美數 因為 6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 均為其所有真因數之和 36

關於完美數的猜測 古希臘人只知前四個完美數為6, 28, 496, 8128 猜測一:完美數之個位數以6, 8, 6, 8…...交錯出現 猜測二:第五個完美數為五位數，依此類推…… 37

夢想的幻滅 第五個完美數為33550336 第六個完美數為8589869056 第七個完美數為 137438691328 38

繼續努力猜！ 所有的完美數都是偶數? 已檢驗至小於101500 39

1742年哥德巴赫告知歐拉他的一個猜測： 每一個大於6的奇數皆可表示為三個質數之和 歐拉將此猜測改為： 所有大於2的偶數皆可表為兩質數之和

哥德巴赫(Goldbach)猜想 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7; 16 = 3 + 13 = 5 +11 18 = 5 + 13 = 7 + 11 20 = 3 +17; 22 =3 +19; 24 = 5 +19… 所有大於2的偶數皆可表為兩質數之和? 41

遇見哥德巴赫猜想

費馬最後定理 x2+ y2 = z2有無限多組整數解 x3+ y3 = z3有沒有整數解？ x4+ y4 = z4有沒有整數解？ ...... 對n>2，xn+ yn = zn 呢？ 43

Andrew Wiles 在1993年6月21日演講開始前，各種耳語不斷。懷爾斯面對詢問時也只是神秘地回答「來聽我的演講就知道了」。演講分三天舉行，而聽眾也越來越多。在演講的最後一天演講廳與走廊早已擠滿許多數學界的大人物和記者，大家爭相參與這歷史性的一刻。當懷爾斯在莊重的寂靜中寫下費瑪最後定理的命題並輕緩地說出「我想我就在這裡結束。」時，會場旋即爆出一陣持久不歇的掌聲，眾人齊為數學史上偉大的一刻喝采。 44 44

哥尼斯堡七橋問題

哥尼斯堡市民的問題 是否可能從某地出發經過七座橋後(每一座橋只能經過一次) 又回到原地? 若起點與終點不須一樣是否可能一次走過七座橋且每一座橋只能經過一次?

七橋問題的抽象化

歐拉 若一圖形只有兩個點連接奇數個邊，則存在一路徑使得恰好可以經過每一個邊一次 若一圖形中每個點都與偶數個邊相連，則存在一路徑使得恰好可以經過每一個邊一次且起點與終點相同

拓樸學的同構

拓樸學家是分不清咖啡杯和甜甜圈的人

歷史哲學

芝諾悖論

耶魯大學七二八九泥板 YBC (Yale Babylonian Collection)7289 53 53

古巴比倫畢氏定理 30 10 51 24 1 YBC (Yale Babylonian Collection)7289 The square of YBC 7289 is inscribed with sexagesimal 30 along one edge. It then has sexagesimal 1; 24, 51, 10 along the diagonal, and 42; 25, 35 in the lower segment of the square. The first sexagesimal string converts to the √2: 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216,000 = 1.414212963. The actual value of the √2 to the same modern calculator precision is 1.414213562. 30*1.414212963=42.42638889=42+25/60+35/3600( 42; 25, 35) 35 25 42 54 54

巴比倫七二八九號泥板解碼 1; 24, 51, 10 = 1+24/60+51/3600+10/216000 = 1.414212963 2 = 1.414213562 30×1.414212963 = 42.42638889 = 42+25/60+35/3600 = 42; 25, 35 The square of YBC 7289 is inscribed with sexagesimal 30 along one edge. It then has sexagesimal 1; 24, 51, 10 along the diagonal, and 42; 25, 35 in the lower segment of the square. The first sexagesimal string converts to the √2: 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216,000 = 1.414212963. The actual value of the √2 to the same modern calculator precision is 1.414213562. 30*1.414212963=42.42638889=42+25/60+35/3600( 42; 25, 35) 55 55

劉徽證法 劉徽：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之羃。」

幾何原本的畢氏定理證明

生活應用

披薩問題 小博和小鴻兩人一起去買披薩。披薩共有大、中、小三種尺寸，且大披薩的價格等於中披薩和小披薩價格的總和。 小博覺得買大披薩比較划算，於是買了大披薩；小鴻卻覺得買中披薩和小披薩比較划算，因此帶回中披薩和小披薩。 回家後為了比較誰的看法是對的，所以將三個披薩都切半，並排列如下圖。你覺得哪一種買法比較划算？

影印機上的數學 2 張A4 的紙張可以合併印成一張A3 ，代表A3 是A4 的2倍，但是為何在功能表按鍵上寫著A4 A3 141% ？ A3尺寸： 297 × 420 mm (1:1.414) A4尺寸： 210 × 297 mm (1:1.414)

x x y

影印紙的數學概念 影印機中的「放大、縮小」百分比意指邊長比，而非面積比。 影印紙的設計牽涉到相似形和等比級數，這樣的設計在裁切上最為經濟。 A1紙張可以裁切成幾張A5？(Ans:16張)

生活中的數字密碼 個人密碼：身分證字號 商品密碼：條形碼 書籍密碼：ISBN號碼 利用相同寬度的黑白條紋，按照一定的編碼規則排列，表達一組資訊的圖形識別元 每個數字共有7個黑白條紋，以白-黑-白-黑或者黑-白-黑-白方式呈現 原為10後增為13碼，前面加上978

ISBN 3-16-148410-0 將國際標準書號(ISBN)上所有數字由左至右依序寫出(不含最後一位檢查碼) 由左至右，第一位乘以10,第二位乘以9,第三位乘以8,第四位乘以7 以此類推 將上式各項相加，所得之和除以11， 求得餘數，再以11 減去餘數，即為檢查碼 310+19+68+17+46+85+44+13+02=177 17711=16…1 111=10 (以0表示)

洋芋片中的數學

雙曲拋物面

東海路思義教堂

路思義教堂內部

柳暗花明又一村 山 窮 水 盡 疑 無 路

什麼是數學？ 不 見 廬 山 真 面 目 只 覺 身 在 此 山 中

再談數學素養 真正的數學素養不僅僅在於知識的深度，而更在於知識應用的廣度。數學素養就是一種數學眼光，一種從數學瞭解世界的眼光。然而要培養瞭解世界的數學眼光，不能只強調數學知識的工具面，還必須關心其文化面。 謝謝大家！