第十三章 相關

簡單相關係數CORREL() 所謂相關是指變項間相互發生之關聯，若僅是分析兩組資料間之相關， 我們稱簡單相關；若是分析多組資料間之相關，則稱之為複相關。 要瞭解簡單相關，通常有二種方式，一為繪製資料散佈圖（即Excel之 XY圖），另為計算簡單相關係數（亦即表示相關程度大小及正負之量 數）。 於Excel，計算簡單相關係數，可直接使用CORREL()函數，其語法為： CORREL(範圍1,範圍2) CORREL(array1,array2) 本函數用以計算兩組數字範圍之簡單相關係數，兩組數字範圍之資料 點必須相同。

簡單相關係數之計算公式為： 相關係數係一介於-1到+1之數字 其情況可有下列三種： =0 無關 >0 正相關 <0 負相關 當相關係數之絕對值達小於0.3時，為低度相關；絕對值介於0.3~0.7時，即為 中度相關；達0.7~0.8時，即為高度相關；若達0.8以上時，即為非常高度相關。

範例Ch13.xlsx『廣告費與銷售量』工作表，為一年度每月份之廣告費與銷售 量之數字；以 =CORREL(B2:B13,C2:C13) 可算出其相關係數為0.923，表銷售量與廣告費間存有極高度之正相關，銷售 量會隨廣告費遞增而明顯增加：

繪製資料散佈圖（XY散佈圖） XY散佈圖通常用以探討兩數值資料之相關情況，如：廣告費與銷售 量之關係、年齡與所得之關係、所得與購買能力之關係、每月所得與 信用分數之關係、……。 在X軸之資料稱為自變數；Y軸之資料稱為因變數；利用XY圖即可判 讀出：當X軸資料變動後，對Y軸資料之影響程度。如：隨廣告費逐 漸遞增，銷售量將如何變化？ 繪製XY散佈圖時，所有數列資料均必需為數值性資料（圖例及標記 文字除外），若安排字串標記將被視為0，其所繪之圖形即無任何意 義。 假定，要依範例Ch13.xlsx『廣告費與銷售量』工作表之資料，來繪 製廣告費與銷售量之XY散佈圖，其執行步驟為： 選取B1:C13之連續範圍

切換到『插入』索引標籤『圖表』群組，選擇欲繪製『帶有資料標記的XY散 佈圖』 產生XY散佈圖，稍加移動其位置：

切換到『圖表工具/設計』索引標籤，點選『圖表版面配置』群組之『版面配 置1』 點選圖例『 』，按Delete將其刪除；分別點選圖表標題、X與Y 軸標題之文字方塊，輸入新內容『廣告費與銷售量之關係圖』、『廣告費』 與『銷售量』

以右鍵單按Y軸銷售量之數字，續選「座標軸格式(F)…」，轉入『座標軸格 式』之『刻度』標籤，將「最小值」改為1000（點選『最小值』處之「固定 (F)」，續於其後輸入1000）

按 鈕結束 以右鍵單按X軸廣告費之數字，續選「座標軸格式(F)…」，轉入『座標軸格 式』之『刻度』，將「最小值」改為100

按 鈕結束，獲致新XY散佈圖，可輕易看出銷售量會隨廣告費 遞增而明顯增加

馬上練習 以範例Ch13.xlsx『成績』工作表內容 計算其相關係數，並繪製國文及英文成績之XY圖，是否可看出國文成 績較高者，其英文成績也同樣會較高？

馬上練習 以範例Ch13.xlsx『學童』工作表內容 計算其相關係數，並繪製XY圖，查看學童之仰臥起坐與伏地挺身個數 之相關情況：

使用『資料分析』求相關矩陣 前例之CORREL()函數，僅能求算兩組資料間之相關係數。若使用 『資料分析』，還可計算出多組資料間之相關係數，組成一個相關係 數表。 範例Ch13.xlsx『汽車』工作表，收集到有關汽車鈑金、省油與價格 之滿意度資料： 擬以『資料分析』進行計算其相關係數表。其步驟為： 切換到『資料』索引標籤, 點選『分析』群組『資料分析』鈕, 於『分 析工具』處選選「相關係數」

續按 鈕 於『輸入範圍』處，設定兩組資料之範圍（本例為A3:C17） 將『分組方式』安排為「逐欄(C)」 點選「類別軸標記在第一列上(L)」（因各組資料均含標題之字串標記） 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之E3位置

按 鈕，結束 即可獲致多組資料之相關係數表（因為對稱矩陣，故顯示一半即可）： 依此結果，顯示『鈑金與省油』及『鈑金與價格』之滿意度間均呈高度負相 關，對鈑金越滿意對其省油與價格將越不滿意。鈑金好的車身重量大，當然 較不省油，且其售價一般也比較高。另外，『省油與價格』之滿意度間則呈 高度正相關，因省油的車一般價位比較低之故。

馬上練習 以範例Ch13.xlsx『相關矩陣』工作表之內容： 求本班學生上學期之總平均成績、出席率、選修學分數與每週打工時 數間之相關係數表：

馬上練習 以範例Ch13.xlsx『數位相機』工作表： 求各屬性間之相關係數表：

母相關係數之檢定（小樣本） 由於，相關係數會受樣本數大小影響。於求得前面之相關係數後，我 們都會有一困惑，到底多大的相關係數，才可以說兩變數之間存有顯 著相關？

以rα檢定 若母體為常態分配，且母均數（μ1、μ2）與母變異數（σ12、σ22）均為 已知，於樣本數n≦30，母相關係數ρ之檢定是以自由度n-2之t分配進 行，其虛無假設與對立假設為： H0: ρ=0（無關） H1: ρ≠0（相關） 於求得樣本之相關係數（r）後，若 得棄卻虛無假設； 若 得接受虛無假設。

式中， 所使用之t值，是使用自由度n-2之t分配求得（雙尾）。 以範例Ch13.xlsx『檢定相關係數』工作表，於α=0.05、n=11、d.f.=9、所計 算之rα=0.6021>r=0.4848，故得接受母相關係數為0之虛無假設；也就是成績 與出席率之間無關：

馬上練習 以範例Ch13.xlsx『檢定相關矩陣』工作表之內容：

只要相關係數之絕對值＞0.6021即表示兩者相關。可發現，選修學分與出席率存有顯著正相關，選修學分愈高者，通常較認真，其出席率也較高；每週工作時數與總平均成績間存有顯著負相關，打工時數愈多者，其成績會愈低。 以α=0.05，以先前所計算出rα=0.6021逐一配對檢定，利用 檢定相關矩陣內之變數，是否相互存有顯著相關？

以t檢定 另一種檢定方式為 H0: ρ=0（無關） H1: ρ≠0（相關） 於求得樣本之相關係數（r）及樣本數後，以 計算t值，然後查『附錄四 t方分配的臨界值』自由度n-2之tα/2(n-2) 值。當 即棄卻虛無假設。

前面，範例Ch13.xlsx『檢定相關係數』工作表之資料，其t值為 即E12之 =(E1*SQRT(E3))/SQRT((1-E1^2)) 於α=0.05、d.f.=9、查『附錄四 t方分配的臨界值』自由度n-2之tα/2(n-2)值得到 2.262（也可直接以=TINV(雙尾機率,自由度)求得，即E5之=TINV(E4,E3)） 由於， t並未落入棄卻域，故也是得接受母相關係數為0之虛無假設，成績與出席率之 間無關。

當然，也可以將1.66及自由度9代入TDIST(t值,自由度,單尾或雙尾)函數，以 E13之 =TDIST(E12,E3,2) 求得P值為0.13＞α=0.05，同樣可判斷出無法棄卻虛無假設：

如果，以範例Ch13.xlsx『成績與打工時數』工作表之資料，其t值為 即E7之 =(E2*SQRT(E4))/SQRT((1-E2^2)) 於α=0.05、d.f.=9、查『附錄四 t方分配的臨界值』自由度n-2之tα/2(n-2)值得到 2.262（即E6之=TINV(E4,E3)） 由 或由E8以 =TDIST(ABS(E7),E4,2) 因為t為負值故取其絕對值 計算之P值為0.01＜α=0.05。均得判斷出應棄卻母相關係數為0之虛無假設， 亦即成績與打工時數間存有顯著之負相關：

母相關係數之檢定（大樣本） 若母體為常態分配，於樣本數n＞30，母相關係數ρ之檢定是以標準常 態分配進行，其虛無假設與對立假設為： H0: ρ=0（無關） H1: ρ≠0（相關） 於求得樣本之相關係數（r）後，若 得棄卻虛無假設；若 則無法棄卻虛無假設。

而此Zα/2值，可直接以 =NORMSINV(1-α/2) 求得。如α=0. 05，Zα/2值為1. 96：（詳範例Ch13 而此Zα/2值，可直接以 =NORMSINV(1-α/2) 求得。如α=0.05，Zα/2值為1.96：（詳範例Ch13.xlsx『Z值』工作表）

範例Ch13.xlsx『軟體x操控性』工作表，為消費者對數位相機『與電腦配合 執行的軟體』與『操控性(穩定度、速度等)』兩屬性之注重程度，於α=0.05、 Zα/2值為1.96、n=98、r=0.651代入 由所計算之 故得棄卻母相關係數為0之虛無假設；也就是數位相機之『與電腦配合執行的 軟體』與『操控性(穩定度、速度等)』兩屬性之注重程度間存有顯著相關：

馬上練習 範例Ch13.xlsx『清晰X速度』工作表之內容，為消費者對數位相機 『畫素色彩是否清晰』與『內建記憶體容量及速度』兩屬性之注重程 度： 求兩者之相關係數，並檢定其是否存有相關：

第十三章 結束 謝謝！