第六节 可降阶的二阶微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程
一、 型的微分方程 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
例1. 解:
二、 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解
例２. 求解 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为
例３. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 弧段重力大小 ( : 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 两式相除得 故有
则得定解问题: 悬 链 线 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为
三、 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解
例４. 求解 解: 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: M : 地球质量 m : 物体质量 代入方程得 积分得
注意“－”号 两端积分得 因此有
由于 y = R 时 由原方程可得 因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为 解方程可得 问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
例６. 解初值问题 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 得 积分得 故所求特解为
例７. 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 积记为 为曲边的曲边梯形面积 满足的方程 . ( 99 考研 ) 解: 在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
利用 得 两边对 x 求导, 得 定解条件为 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 再利用 y (0) = 1 得
内容小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令
思考与练习 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 均可. 例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 或 均可. 例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
作业 P165 1 、(1) (３) (４) 2 、(１) (３) 3 、 4
备用题 设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (–1, 0 ) 出发, 速度 大小为 2v, 方向指向A , 试建立物体 B 的运动轨迹应满 足的微分方程及初始条件. 提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 去分母后两边对 x 求导, 得 ① 又由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束
代入 ① 式得所求微分方程: 其初始条件为 机动 目录 上页 下页 返回 结束