Time Series Analysis(一) 時間數列分析(一) Time Series Analysis(一) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列分析(一)—概要 何謂時間數列? 時間數列分析之方法與目的。 時間數列之性質與組成四成分。 時間數列之模型。 時間數列之古典分析法—相乘模型分解法。 例題練習。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列分析(二)—概要 移動平均模型。 加權移動平均模型--指數平滑法。 最小平方趨勢配置和預測 Holt-Winters 方法。 時間數列自我迴歸模型分析法。 兩種預測準則。 例題分析。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

何謂時間數列? 人類社會的各種活動所產生的資料，如以發生的時間來區分，則可分為橫斷面資料(cross section data) 及時間數列資料(time series data)兩種。 時間數列是依事件或資料發生的先後次序排列的一群統計數據 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

何謂時間數列? 時間數列資料指的是同一元素的同一特質(變數)於不同時點或不同期間的資料，包括逐日的日資料、週資料、月資料、季資料及年資料等。 例如 民國50年至87年每年台灣地區的國民所得資料l 1998年6月7日至9月23日每週的新台幣匯率資料 宏碁公司87年至88年每一季的電腦螢幕的銷售資料 87年8月4日至87年10月24日的每日台積電的股票交易資料 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

何謂時間數列? 分析時間數列是以時間為自變數(independent variable)，各時間點所發生事件的數值為因變數(dependent variable)。 時間數列一般表示為 Yt=f(t) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

圖例 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列分析方法 時間數列資料的分析方法約可分為 本文僅介紹前三種方法及自我迴歸模型 古典分析方法—分解法 平滑法 迴歸分析法 Box-Jenkins 方法—包括自我迴歸模型 計量經濟的方法 類神經網路的方法 本文僅介紹前三種方法及自我迴歸模型 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列分析之目的 時間數列分析的目的在於觀察及分析過去的資料，預測未來。以提供個人、企業乃至於政府的決策參考。 企業單位對未來有關生產、銷售及存貨的預測與計劃、新產品的發展、消費者的需求等。 政府部門對國民所得的估計、人力資源的規劃、利率及物價水準的預測、投資需求的估計等。 時間數列主要用來預測，預測準確的衡量指標為平均平方差及平均絕對差。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列的性質 時間數列中的觀察值是由四個影響分子組成 各個觀察值通常互有關聯性，為時間相隔愈長，關聯性愈小。 長期趨勢(trend) 循環變動(cyclical fluctuation) 季節變動(seasonal fluctuation) 不規則變動(irregular fluctuation) 各個觀察值通常互有關聯性，為時間相隔愈長，關聯性愈小。 時間數列應依先後次序排列，不可任意變更。 時間數列的時間單位可以是年、季、月、週、日等。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間序列的四個成分 Time-Series Trend Cyclical Seasonal Random © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢 定義:時間數列資料在長期間呈現上升或下降的持續變動的現象。 例如:銷售量、銷售收入、利潤、國民所得、人口數量、消費支出、投資、利率等在長期間大都會顯示出上升或下降的趨勢。 時間數列的長期趨勢可以用一條平滑的曲線來表示，稱為長期趨勢線。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

各種長期趨勢的圖形 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動 年資料的時間數列資料環繞著趨勢線的上下波動的情形稱為循環變動。 循環變動通常是指一年以上的某一時間，實際的時間數列觀察值高於趨勢線，而其他期間的實際時間數列觀察值低於趨勢線的現象。 循環變動並無一定的時間長短，如經濟景氣循環就是一個常見的、典型的循環變動。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動 循環變動包含了四個階段 上升或擴張(expansion) 高峰(peak) 下降或衰退(recession) 谷底(trough) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

圖例:循環變動 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動 一年內的時間數列資料依週、月或季呈現規則性的連續重複的變動稱為季節變動。 季節變動用來表示一年內連續重複的變動模式。 例如: 游泳池及海水浴場的營業收入集中於夏季。 百貨公司的營業收入在新年期間明顯高於其他季節 觀光旅遊集中於寒暑假 每月的平均雨量、平均溫度的變化 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

圖例:季節循環 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

不規則變動 數列資料隨機的變動稱為不規則變動。 不規則變動是去除長期趨勢、循環變動及季節變動三種成分後的殘差項。 不規則變動是不可預測的干活動。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列的模型 時間數列分析依據時間數列的四個組成份子的數學關係，可分為 相加模型(additive model) 相乘模型(multiple model) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

相加模型 相加模型 Y=T+S+C+I Y 表示 t 期的時間數列值，T，S，C，I 分別表示四個組成份子:T 為長期趨勢，S 為季節變動，C 為循環變動，I 為不規則變動。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

相加模型的意義 若S>0(<0)表示季節變動對Y有正的(負的)影響 若C>0(<0)表示景氣循環正在繁榮(衰退) 若I>0(<0)顯示有些隨機事件對Y有正的(負的)影響 相加模型假設各個組成份子彼此獨立互不影響，為該模型的最大缺點。 在現實的世界裡，任一個份子的變動有時會影響其他份子的變動，因此在經濟活動中，此種模型並不適合。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

相乘模型 相乘模型 Y=T*C*S*I 模型中 T 以原始單位來表示，S，C，I 則以百分比來表示 相乘模型是假設時間數列資料的四個成分彼此相互影響，而非獨立。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

相乘模型 由於季節變動只發生於一年的期間，因此對於年資料沒有影響，故對年資料的相乘時間數列模型表示為: Y=T*C*I 若 S，C，I 中任何一個的數值大於 1，表示其相對效果高於趨勢值，若小於 1，表示其相對效果低於趨勢值。 就相加與相乘模型而言，通常會採用相乘模型。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

相乘模型例 根據大銘鞋店的會計資料，可得出1998年第一季銷售額的四個成分如下: T=215(萬元) ，C=0.75，S=1.1，I=0.9 根據乘法模型可得預測值為: Y=T*C*S*I=(215)*(0.75)*(1.1)*(0.9) =159.64 1998年第一季銷售額為159.64萬元，其中長期趨勢為215萬元，但經濟景氣變動為長期趨勢75%，季節因素高於趨勢10%，不規則變動則低於長期趨勢10%，四成分相乘得159.64萬元 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列之古典分析法 古典時間數列分析法式假設時間數列資料的四個組成份子可以被分解出來，並加以衡量的分析法。 分析時先設定四個組成份子的模型，再行分解。 回顧四個成分為: 長期趨勢 循環變動 季節變動 不規則變動 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢之分析 線性趨勢模型(linear trend model)是一個最常用的預測趨勢的方法。 簡單線性迴歸模型 Yt=α+βt+εt 其中Yt為時間數列值，t 代表時間，t=i表示時間數列的第 i個觀察值，εt 為殘差項，滿足迴歸方程式的假設條件。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢之分析--例題一 假設小傳科技80-90年的營業收入如下表。公司高層裕了解營業收入的長期趨勢，並預測92年的營業收入，應如何進行? © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢之分析--例題一(續) 時間 t 營業收入(單位:萬元)Yt 80 808 81 885 82 1,060 83 1,085 84 1,020 85 1,280 86 1,421 87 1,338 88 1,595 89 2,075 90 2,165 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢之分析--例題一(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢之分析--例題一(續) 時間 t 營收Yt (Yt-Ybar) t (t-tbar) SStt= (t-tbar)^2 SSty= (Yt-Ybar)(t-tbar) 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 808 885 1060 1085 1020 1280 1421 1338 1595 2075 2165 -531 -454 -279 -254 -319 -59 -1 256 736 826 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -5 -4 -3 -2 25 16 2655 1816 837 508 319 768 2944 4130 總和 平均數 14732 1339 66 110 14057 1278 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢之分析--例題一(續) β*=SSty/SStt=14057/110=127.8 α*=Ybar-β*tbar=1339-127.8*6=572.2 Yt’=572.2+127.8t 此一回歸線表示，從安80年起長期間隨著時間的變動，每增加一年，小傳科技營業收入平均增加127.8萬元新台幣。 預測小傳科技92年(t=13)的營業收入為新台幣2,233.6萬元(長期趨勢值) ，即: Yt’=572.2+127.8*13=2,233.6(萬元) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢之分析--例題一(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢之分析--例題二 利用Excel 某甲準備長期投資大銘科技公司的股票，於是收集了該公司81~90年的股利資料如下:問該公司股利的長期趨勢為何?可不可以做長期投資? 年 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 股利 0.77 0.88 1.13 1.36 1.6 1.84 2.0 2.1 2.52 3.0 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢之分析--例題二 利用Excel(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

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長期趨勢之分析--例題二 利用Excel(續) 配適回歸線為 Yt’=0.435+0.234t 民國81年起，大銘科技公司的股票長期隨時間變動，每增加一年，股利平均增加0.234元。 根據上式，可預測民國94年時，即t=14，股利的長期趨勢值為: Y14’=0.435+0.234*14=3.711 小結:大銘科技應可投資。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析 循環變動是指一年以上的某一期間上下波動的情形。 估計循環變動成分時，通常以年資料來估計。 年資料的時間數列包括長期趨勢、循環變動及不規則變動三成分。 相乘模型為: Y=T*C*I © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析(續) 利用長期趨勢的估計值Yt’代替上面的趨勢成分T，得到循環變動及不規則變動的百分比為: Ct*It=Yt/Yt’ 衡量單位為百分比(不是原始單位) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析—例題 依前例小傳科技營業收入的時間數列資料，試計算循環變動的成分。 解:前面已解出長期趨勢的配適迴歸線為: Yt’=572.2+127.8t 可依次求出t=1,2,…11的長期趨勢配適值 最後，再求出循環—不規則變動Yt/Yt’ 如下表: © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析—例題(續) 長期趨勢Yt’ Ct*It=Yt/Yt’ 700 1.154 827.8 1.069 955.6 1.109 80 808 700 1.154 81 885 827.8 1.069 82 1,060 955.6 1.109 83 1,085 1083.4 1.001 84 1,020 1211.2 0.842 85 1,280 1339 0.956 86 1,421 1466.8 0.969 87 1,338 1594.6 0.839 88 1,595 1722.4 0.926 89 2,075 1850.2 1.121 90 2,165 1978 1.094 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析—例題(續) 民國80年其循環—不規則變動成分為1.154，表示80年的營業收入由循環與不規則因子的原因高於長期趨勢(平均值)15.4%。 民國84年則低於長期趨勢15.8%。 高於1表示循環—不規則有正影響，小於1則有負影響。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析—例題 利用Excel © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析—例題 利用Excel(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析—例題 利用Excel(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析—例題 利用Excel(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

循環變動之分析—例題 利用Excel(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析 研究季節變動的目的主要是讓人們能充分了解及評估季節因素對經濟活動及企業行為的影響。 季節變動的估計方法是利用比率移動平均法(ratio-to-moving average method)去計算季節指數(seasonal index) ，用以分析及預測經濟活動。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析(續) 季節變動可依循下列步驟計算之 計算K期移動總和 計算K期移動平均值 求中央移動平均數 (T*C) 前三項主要算出移動平均數 求季節不規則成分 S*I=Y/(T*C) 求季節因子(季節及不規則成分的平均值) 計算季節指數 後三項求去除移動平均後的季節因素 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題 大富電器行過去六年每季電器產品的銷售資料如下: 根據資料，請幫老闆算算每季的銷售額? 年別 春季 夏季 秋季 冬季 81 48 62 40 50 82 52 68 44 58 83 46 38 84 54 70 42 85 60 76 86 66 80 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

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季節變動之分析—例題(續) K期移動平均法(K-periods moving average)是依序計算K個連續的觀察值的平均數，再計算每一個連續的K期移動平均時，先將計算上一期移動平均數的第一個觀察值拿掉，再往下順序移動加入下一個觀察值，而後再求平均數。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題(續) 計算K期移動總和，在本例中因一年有四季，故採四季(K=4)的移動總和。 第一個4期的移動總和為81年四季的銷售值總和 48+62+40+50=200 它的中央位置在夏季與秋季之間。 第二個4期的移動總和為81年夏秋冬季與82年春季銷售值總和 62+40+50+52=204 中央位置在秋季與冬季之間。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題(續) 計算K期移動平均值 第一個4期移動平均值 MA1=(48+62+40+50)/4=50 第二個4期移動平均值 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題(續) 求中央移動平均數(T*C) 由於期數為偶數，並無中央季節，必須進一步求出中央移動平均數。 (MA1+MA2)/2=(50+51)/2=50.5 作為81年第3季的中央移動平均值。 註:若期數為奇數時，則無須做調整。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題(續) 年 季 銷售額 四季總和 四季MA 中央MA 81 春 48 夏 62 200 50 秋 40 50.5 204 51 冬 51.75 210 52.5 82 52 68 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

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季節變動之分析—例題(續) 求季節不規則成分 S*I=Y/(T*C) ，此一數值稱為比率移動平均或稱為原時間數列與移動平均之比例。 如81年秋季之比率移動平均為 S3*I3=40/50.5=0.79 81年冬季之比率移動平均為 S4*I4=50/51.75=0.97 等 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題(續) 求季節因子 年別 春 夏 秋 冬 81 0.79 0.97 82 0.98 1.25 0.80 1.10 83 0.91 1.18 0.77 1.00 84 1.27 0.74 85 1.24 86 1.02 1.23 合計 4.91 6.17 3.90 5.04 季節因子 0.982 1.234 0.78 1.008 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題(續) 計算季節指數(季節因子的修正) 因為0.982+1.234+0.78+1.008=4.004 不為 4，所以須做調整 春季的季節指數: (0.982/4.004)*4=0.981 夏季的季節指數: (1.234/4.004)*4=1.233 秋季的季節指數: (0.780/4.004)*4=0.779 冬季的季節指數: (1.008/4.004)*4=1.007 春季銷售收入低於所有四季平均銷售的1.9% 夏季銷售收入高於四季平均銷售的23.3%等 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

季節變動之分析—例題(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動之結合分析 求出季節因子 消除季節因子的時間數列 T*C*I=Y/S 求消除季節因子後的長期趨 Yt’=α+βt + ε 結合長期趨勢與季節變動預測未來 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-計算季節因子 求出季節因子 春季的季節指數: (0.982/4.004)*4=0.981 夏季的季節指數: (1.234/4.004)*4=1.233 秋季的季節指數: (0.780/4.004)*4=0.779 冬季的季節指數: (1.008/4.004)*4=1.007 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-消除季節因子 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-消除季節因子 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-計算長期趨勢 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-計算長期趨勢 因此時間數列長期趨勢的迴歸估計式為: Yt’=47.15+0.727t 87年四季的銷售之長期趨勢的預測 87年第一季:Y25’=47.15+0.727*25=63.33 87年第二季:Y26’=47.15+0.727*26=66.05 87年第三季:Y27’=47.15+0.727*27=66.78 87年第四季:Y28’=47.15+0.727*28=67.51 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-計算長期趨勢 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-預測 預測87年各季的銷售收入，將趨勢值乘上季節指數即可。 季節 趨勢值 季節指數 預測值 春 65.33 0.981 64.09 夏 66.05 1.233 81.44 秋 66.78 0.779 52.02 冬 67.51 1.007 67.98 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-預測 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-結論 大富電器行的銷售受到季節的影響。 夏天生意最好，冬天次之，春天第三，秋天最差。 季節指數分別為1.233，1.007，0.981，0.779。 長期趨勢為Yt’=47.15+0.727t。 由此可算出87年各季的銷售預測分別為64.09，81.44，52.02，67.98萬元。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

長期趨勢與季節變動-大富電器行例題(續)-結論 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

不規則變動 不規則變動的產生主要是因為像戰爭、罷工、天災人禍或其他不可抗拒或無法預知的干擾所造成的。 不規則變動因為是隨機的，所以無法預測。 在時間數列分析中，被視為殘差項而無法有系統的分析出來。 不規則變動在長期中可能相互抵消。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 下表示某製造業1985年~ 1989年每季稅前利潤: 年 季 稅前利潤 1985 1 168.7 1987 196.6 2 162.1 207.9 3 170.6 224.6 4 174.2 211.6 1986 155.9 1988 228.4 167.2 240.5 176.2 240.4 191.0 246.6 1989 246.3 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一(續) 請利用比率移動平均法，求各季之季節指數。 請求除去季節影響之利潤值。 請求除去季節變動後的趨勢線。 請求1989年第二季利潤的預測值。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—計算季節指數(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—計算季節指數(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—計算季節指數(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—計算季節指數(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—消除季節指數 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—消除季節指數(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—計算長期趨勢 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—計算長期趨勢(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—計算預測值 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題一 解答—計算預測值(續) © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題二 設某地區1987年到1996年共40季的資料計算得除去季節因素後的醫療保健費長期趨勢的迴歸估計式為 Yt’=7.58+0.052t 各季的季節指數依次為1.145，1.022，0.917，1.052，試求1997年各季的趨勢值與預測值。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題二 解答 第一季趨勢: Y41’=7.58+0.052*41=9.712 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列古典分析之例題二 解答(續) 季節 趨勢值 季節指數 預測值 一 9.712 1.145 11.12 二 9.764 1.022 9.98 三 9.816 0.917 9.00 四 9.868 1.052 10.38 © 2002 Prentice-Hall, Inc.

時間數列分析(一)—總結 介紹時間數列。 時間數列分析之方法與目的。 時間數列之性質與組成四成分。 時間數列之模型。 時間數列之古典分析法—相乘模型分解法。 例題練習。 © 2002 Prentice-Hall, Inc.