第五章 二次型 本章将向量空间具体化，给出欧氏空间的概念，然后讨论二次型化为标准形的问题。为此， 第五章 二次型 本章将向量空间具体化，给出欧氏空间的概念，然后讨论二次型化为标准形的问题。为此， 1.首先定义向量内积、长度、夹角、正交等概念； 2.以此为基础，讨论二次型化为标准形以及二次型正定性的判定等问题.

[x y]x1y1x2y2    xnyn 第一节 向量的内积 向量内积的定义 设有n维向量x(x1 x2    xn)T y(y1 y2    yn)T 令 [x y]x1y1x2y2    xnyn [x y]称为向量x与y的内积 说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用矩阵记号表示 当x与y都是列向量时 有[x y]xTy

[x y]x1y1x2y2    xnyn 第一节 向量的内积 向量内积的定义 设有n维向量x(x1 x2    xn)T y(y1 y2    yn)T 令 [x y]x1y1x2y2    xnyn [x y]称为向量x与y的内积 内积的性质 设x y z为n维向量 为实数 则 (1)[x y][y x] (2)[x y][x y] (3)[xy z][x z][y z] (4)当x0时 [x x]0 当x0时 [x x]0

||x||称为n维向量x的长度(或范数) 向量的长度 令 ||x||称为n维向量x的长度(或范数) 向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0 (2)齐次性 ||x||||•||x|| (3)三角不等式 ||xy||||x||||y||； (4) 柯西－许瓦兹不等式 ：|[x,y]|||x||•||y|| >>> 向量的单位化

当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向量都正交 向量间的夹角 称为n维向量x与y的夹角 当x0 y0时 向量的正交 当[x y]0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向量都正交 正交向量组 标准正交向量组 若n维向量a1 a2    ar是一组非零向量，且两两正交 则称其为正交向量组。 定理1 若n维向量a1 a2    ar是一正交向量组 则a1 a2    ar线性无关 >>> 定理的逆命题一般不成立.

例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T 正交 试求一个非零向量a3， 使a1 a2 a3两两正交 解 设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足 a1Ta30 a2Ta30 即a3应满足齐次线性方程组 得基础解系(1 0 1)T 取a3(1 0 1)T 

规范正交基 设n维向量e1 e2    er是向量空间V (VRn)的一个基 如果e1 e2    er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2    er是V的一个规范正交基 例如 向量组 是R4的一个规范正交基 注 当||x||1时 称x为单位向量

第二节 向量组的正交标准化 施密特正交化公式 设a1 a2    ar线性无关， 构造向量组 第二节 向量组的正交标准化 施密特正交化公式 设a1 a2    ar线性无关， 构造向量组 则b1 b2    br两两正交 且b1 b2    br与a1 a2    ar等价 把b1 b2    br单位化 即得标准正交向量组

例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化 令b1a1 解 再令 e1 e2 e3即为所求

由定理1的逆否命题知，线性相关的向量组一定不是正交向量组，而对于n维向量组来说，n+1个n维向量必定线性相关，因此n维向量空间中的正交向量组至多含有n个向量.

例3 已知a1(1 1 1)T 求一组非零向量a2 a3 使a1 a2 a3两两正交 解 a2 a3应满足方程a 1Tx0 即 x1x2x30 它的基础解系为 1(1 0 1)T 2(0 1 1)T 把基础解系正交化 即得所求 亦即取

正交矩阵 1.定义：如果n阶矩阵A满足ATAE (或AATE ) 那么称A为正交矩阵 简称正交阵 2. 性质：（1）A1AT  （2）可逆，|A|1 （3）方阵A为正交阵的充分必要条件是A的 列(行)向量组都是标准正交向量组 n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基 正交矩阵举例

1. 定义：若P为正交矩阵 则线性变换yPx称为正交变换 这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变) 这是正交变换的优良特性 一般地，正交变换不改变向量的内积. <<< 因此也就不改变向量的长度和夹角. 故用正交变换化二次型为标准形时，将不会改变曲线或曲面的形状.

小结： 向量的内积（定义、性质） 向量的度量（长度、夹角） 标准正交向量组（定义、性质、构造法） 正交矩阵（定义、性质） 正交变换（定义、性质）