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第四节 一阶线性微分方程 线性微分方程 伯努利方程 小结、作业 1/17
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一、线性微分方程 ——n阶线性微分方程。 齐次的； 非齐次的。 一阶线性微分方程的标准形式: 例如 线性的; 非线性的. 2/17
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一阶线性微分方程的解法 (可分离变量) 1.齐次线性方程 一阶齐次线性微分方程的通解（公式）: 3/17
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2.非齐次线性方程 用常数变易法（因变量代换）： 为非齐次线性方程的解 4/17
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一阶非齐次线性微分方程 通解（公式）: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 5/17
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例1 解 6/17
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7/17
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*例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线y=f (x) 与 y=x3 截下的线段PQ 之长等于阴影部分的面积, 求曲线 y=f (x) .
解 两边求导, 得 解此微分方程： 8/17
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解此微分方程： 所求曲线为 9/17
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二、伯努利(Bernoulli)方程 标准形式 解法: 经过因变量代换化为线性微分方程. 原方程化为 10/17
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例 3 解 11/17
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例4 解微分方程 解 所求通解为 12/17
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利用变量代换将所求微分方程化为会解的微分方程。 求解微分方程的基本方法：
原方程化为 原方程的通解为 13/17
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例6 解微分方程 解 代入原式得 由分离变量法得 得所求通解 14/17
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例6 解微分方程 另解 15/17
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*例7 解微分方程 解 由分离变量法得 得所求通解为 16/17
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三、小结 1. 齐次线性微分方程通解公式 2. 非齐次线性微分方程通解公式 3. 伯努利方程 17/17
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作 业 习题12-4 1-(2)(8) (5) (3)
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