1.2.1 充分条件与必要条件
一、命题的定义：能判断真假的陈述句． 二、命题的结构： 若p，则q 三、四种命题及其关系 互 逆 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 互 逆 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若 则 逆否命题 若 则 互 否 互 否 互为 逆否 互为 逆否 互 逆
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 假 四种命题的真假性关系如下： 1.两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 2.两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。
判断下列两个命题的真假： （1）若x>a2＋b2, 则x>2ab （2）若ab=0，则a=0 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可推出q，记作 p⇒q ， 并且说p是q的充分条件（sufficient condition），q是p的必要条件（necessary condition）。
【例1】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？ （1）若x=1，则x2－4x+3=0； （2）若a>b，则ac2>bc2; （3）若x为无理数，则x2为无理数。
【例2】指出下列各组命题中，p是q的什么条件， q是p的什么条件： （1）p：x－1=0； q：(x－1)(x＋2)=0. （2）p：两条直线平行； q：内错角相等. （3）p：a>b； q：a2>b2 （4）p：四边形的四条边相等； q：四边形是正四边形. （5）p： q： 方法小结：（1）直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. （条件与结论是相对的） （2）利用等价命题关系判断：“p⇒q”的等价命题是“┐q⇒┐p”。即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”
说明： 一般地，如果既有p⇒q ，又有q ⇒ p，就记作 p ⇔ q 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）。 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。 说明： 1、“p是q的充要条件”也说成“p等价于q”、“q当且仅当p”等； 作业及练习 2、充要条件是非常好的一种条件，因为可以相互等价转化。
条件p与结论q的四种关系 p⇒q，但q⇒p q⇒p，但p⇒q p⇒q，q⇒p，即p⇔q p⇒q，q⇒p p是q成立的充分不必要条件
从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要条件”中选出适当的一种填空。 （1）b=0是函数f(x)=ax2＋bx＋c是偶函数的__________条件； 充 要 充分不必要 （2）x>0，y>0是xy>0的____________条件； （3）a>b是a+c>b+c的__________条件； 充 要 （4）“一个整数的末位数字为0”是这个数可被5整除的___________条件； 充分不必要 （5）“|a|<b”成立的______________条件是“a<b”； 充分不必要
【例3】已知x、y是非零实数，且x>y，求证：1/x<1/y的充分必要条件是xy>0. 说明：证明p是q的充要条件，既要证明命题“p ⇒q”为真， 又要证明命题“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明 的是必要性．
引申 从命题角度看 （一）“若p，则q”是真命题,那么p是q的充分条件； q是p的必要条件. （二）“若p，则q”是真命题，“若q，则p”为假命题,那么p是q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. （三）“若p，则q”，“若q，则p”都是真命题,那么p是q的充要条件 （四）“若p，则q”，“若q，则p”都是假命题,那么p是q的既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必要条件.
②从集合角度看 命题“若p，则q” 已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件p} 1）A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 2）A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； 3）A=B，则p是q的充要条件； 4）A B，且A B则p是q的既不充分也不必要条件；
【例4】使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分非必要条件是( ) A．x<0 B．x≥0 C．x∈{－1,3,5} D． 或 变式：设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( ) A．x>1 B．x<1 C．x>3 D．x<3