第三章 近独立粒子的最概然分布

§3.1 粒子运动状态的经典描述 1. 粒子的状态描述 粒子是指组成物质系统的基本单元。 粒子的状态是指它的力学运动状态。 §3.1 粒子运动状态的经典描述 1. 粒子的状态描述 粒子是指组成物质系统的基本单元。 粒子的状态是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。

一、自由粒子 自由度： 3 能量: μ空间(q1,q2,q3,p1,p2,p3),维数： 6

μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨迹。

轨迹： 以一维自由粒子为例，以 为直角坐标，构成二维的 空间，设一维容器的长度为 。粒子的一个运动状态 可以用 空间在一定范围内的一点代表。

二、线性谐振子 质量为 的粒子在弹性力 作用下,将在原点附近作圆频率为 的简谐振动，称为线性谐振子。 自由度： 1 μ空间维数： 2 能量： 质量为 的粒子在弹性力 作用下,将在原点附近作圆频率为 的简谐振动，称为线性谐振子。 自由度： 1 μ空间维数： 2 能量： 能量椭圆

§3.2 粒子运动状态的量子描述 微观粒子普遍具有波粒二象性 （粒子性与波动性） 德布罗意关系： 测不准关系 其中

在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。 微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,称为能级.如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果一个能级只有量子态，该能级称为非简并的。

一、线性谐振子 圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为 所有能级等间距，均为 。能级为非简并。

考虑处于长度为 的一维容器中自由粒子的运动状态。周期性边界条件要求粒子可能的运动状态，其德布罗意波长 满足 二、自由粒子 一维自由粒子 考虑处于长度为 的一维容器中自由粒子的运动状态。周期性边界条件要求粒子可能的运动状态，其德布罗意波长 满足

因此，一维自由粒子的量子数：1个 基态能级为非简并，激发态为二度简并。

考虑处于长度为 的三维容器中自由粒子的运动状态。 三维自由粒子 考虑处于长度为 的三维容器中自由粒子的运动状态。 假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动，仿照一维粒子的情形，该粒子在三个方向动量的可能值为

量子数：3个 能量的可能值为 基态能级为非简并，激发态为6度简并。

（1）在微观体积下，粒子的动量值和能量值的分离性很显著，粒子运动状态由三个量子数表征。 对于 ，有 有六个量子态与之对应， 所以该能级为六度简并，而基态为非简并。 能量值决定于

（2）在宏观体积下，粒子的动量值和能量值是准连续的，这时往往考虑在体积 内，在一定的动量范围内的自由粒子量子态数。 （2）在宏观体积下，粒子的动量值和能量值是准连续的，这时往往考虑在体积 内，在一定的动量范围内的自由粒子量子态数。 求 内在 到 ， 到 ， 到 间的自由粒子的量子态数:

在 内，符合上式的量子态数： 这里 称相格。

微观粒子的运动必须遵守测不准关系，不可能同时 具有确定的动量和坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用坐标和动量来描述量子态，那么一个状态必然对应于 空间中的一个体积元，而不是一个点，这个体积元称为量子相格。自由度为1的粒子，相格大小为普朗克常数 如果自由度为： 相格大小为：

§3.3 系统微观运动状态的描述 一. 全同粒子与近独立粒子 1）全同粒子 2）近独立粒子（弱相互作用）

二. 经典物理中系统微观运动状态的描述 全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的 1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动） 二. 经典物理中系统微观运动状态的描述 1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动） 全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的 运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的）。 如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒 子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力 学运动状态是不同的。

2）描述方式： 单个粒子的经典运动状态，由 个坐标和 个动量来描述，当组成系统的 个粒子在某 一时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个 系统的在该时刻的运动状态。因此确定系统的 微观运动状态需要 这 个变量来确定。

用 μ 空间中N个点描述 一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在 μ空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成的 系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用 N个点表示，那么如果交换两个代表点在μ空间 的位置，相应的系统的微观状态是不同的。

a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复 3）玻色子与费米子 a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复 合粒子。如：电子、质子、中子等。 b)玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或 复合粒子。 如：光子、Л介子等。

c）复合粒子的分类 ：凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。 如， 原子、 核、 核、 原子为玻色子 原子、 核、 核、 原子为费米子

d）泡利不相容原理： 对于含有多个全同近独立的费米子的系统中， 一个个体量子态最多能容纳一个费米子。 费米子遵从泡利不相容原理，即在含有多个 全同近独立费米子的系统中，占据一个个体量 子态的费米子不可能超过一个，而玻色子构成 的系统不受泡利不相容原理的约束。费米子和 玻色子遵从不同的统计。

4）玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统 玻耳兹曼系统: 由可分辨的全同近独立粒子组成，且处 在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 玻色系统: 把由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻色系统。

费米系统: 把由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的系统称作费米系统。

设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个， 如果这两个粒子分属玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统时，试分别讨论系统各有那些可能的微观状态？

对于玻耳兹曼系统可有9种不同的微观状态 量子态1 量子态2 量子态 3 1 AB 2 3 4 A B 5 6 7 8 9

对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态。 量子态1 量子态2 量子态3 1 AA 2 3 4 A 5 6

对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。 量子态1 量子态2 量子态3 1 A 2 3

玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的的微观状态数 粒子类别 量子态1 量子态2 量子态3 玻耳兹曼系统 A B A B A B A B 玻色系统 A A A A 费米系统

经典统计物理学 在经典力学基础上建立的统计物理学称为经 量子经典统计物理学 在量子力学基础上建立的统计物理学称为经 典统计物理学。 典统计物理学。两者在原理上相同，区别在于微 观状态的描述。

§3.4 等概率原理 宏观状态和微观状态的区别 宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如 N、 E、V。 微观状态：由坐标和动量或一组量子数表示。 为了研究系统的宏观性质，没必要也不可能追究 微观状态的复杂变化，只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。因此，确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。

等概率原理： 对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。既然这些微观状态都同样满足具有确定N、E、V 的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。 等概率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设。该原理不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种结论与客观实际相符而得到肯定。

§6.5 分布与微观状态数 一. 分布 设一个系统，有大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数 、能量 和体积 . 能级： 简并度： §6.5 分布与微观状态数 一. 分布 设一个系统，有大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数 、能量 和体积 . 能级： 简并度： 粒子数： 分布 必须满足：

给定了一个分布，只能确定处在每一个能级上的粒子数，它与系统的微观状态是两个性质不同的概念。 微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它反映的是粒子运动特征。例如：在某一能级上，假设有3个粒子，这三个粒子是如何占据该能级的量子态，也就是它的微观状态。

三种统计的微观状态数 同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统给出的微观状态数显然是不同的，下面分别加以讨论. 1. 玻耳兹曼系统 粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则 个粒子占据能级 上的 个量子态时，是彼此独立、互不关联的。分布相应的系统的微观状态数为：

分布相应的系统的微观状态数为： 得到：

可能方式。将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布相应的微观状态数为： 2. 玻色系统 粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。首先 个粒子占据能级 上的 个量子态有种 可能方式。将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布相应的微观状态数为：

3. 费米系统： 粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。 个粒子占据能级 上的个 量子态，相当于从 个量子态中挑出 个来为粒子所占据，有种可能的方式

将各能级的结果相乘，就得到费米系统与分布相应的微观状态数为：

经典极限条件 如果在玻色系统和费米系统中，任一能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即 （对所有能级） 称为满足经典极限条件，也称非简并性条件。经典极 限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。

此时有：

在玻色和费米系统中， 个粒子占据能级 上的 个量子态时本来是存在关联的，但在满足 经典极限条件的情形下，由于每个量子态上的粒 在玻色和费米系统中， 个粒子占据能级 上的 个量子态时本来是存在关联的，但在满足 经典极限条件的情形下，由于每个量子态上的粒 子数远小于1，粒子间的关联可以忽略。这时， 全同性的影响只表现在因子 上。

经典统计中的分布和微观状态数 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设 ，这时经典系统的一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小 表示经典系统的一个微观状态在 空间所占的体积，称为经典相格。这里 由测量精度决定，最小值为普朗克常量。

现将 空间划分为许多体积元 ，以 表示运 动状态处在 内的粒子所具有的能量， 内粒子的运动状态数为: 这样， 个粒子处在各 的分布可表示为 能级： 简并度： 粒子数： 体 积 元:

由于经典粒子可以分辨，处在一个相格内的粒子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳兹曼系统的统计规律，所以与分布 相应的经典系统的微观状态数为：

玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统 经典系统 微观状态

§6.6 玻耳兹曼分布 在上一讲中，我们得到了与一个分布相对应的系统的微观状态数, 而且举例说明了对于一个孤立系统的约束条件不变的条件下，即E、N、V=const, 对于不同的分布系统的微观状态数是不同的。可能存在这样一个分布 ,它使系统的微观状态数最多。

根据等几率原理，对处于平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态数的几率是相等的。因此，微观状态数最多的分布，出现的几率最大，称为最可几分布（最概然分布）。下面推导玻耳兹曼系统（定域系统）粒子的最概然分布——玻耳兹曼分布。

三种分布的推导 斯特令（Stirling）公式： 当足够大时,第二项与第一项相比可以忽略.这时

玻耳兹曼分布 两边取对数得： 对 若假设N>>1，al>>1 ， ωl>>1,可得到：

两边关于 求变分， 但这些 不完全是独立的，必须满足约束条件： 则必须满足：

考虑使用拉格朗日乘数法， 取未定因子为a和β分别乘以前面约束条件两式，有 求在此约束条件下的最大值: 则有： 即， 考虑使用拉格朗日乘数法， 取未定因子为a和β分别乘以前面约束条件两式，有

玻耳兹曼分布也可表示为处在能量为 的量子态上的平均粒子数 上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布， 称为玻耳兹曼分布。 a和b分别由下面条件决定

说明： （1） 取极大值的条件不仅要求 同时要求 证明：对 关于 再求变分，有 所以满足取极大值的条件。

（2）一个处在宏观平衡态的孤立系统可能给出的微观状态数为各种分布对应的微观状态数的总和，其中最概然分布给出的微观状态数比其他分布给出的微观状态数大得多，因此可以用最概然分布给出的微观状态数来近似系统总的微观状态数。

现将玻耳兹曼分布的微观状态数 与对玻耳兹曼分布有偏离 的一个分布的微观状态数 加以比较。对 作泰勒展开，

假设对玻耳兹曼分布的相对偏离为 则 对于 的宏观系统，

这个估计说明，即使对最概然分布仅有极小偏离的 分布，它的微观状态数与最概然分布给出的微观状态数相比也接近于零。 这个估计说明，即使对最概然分布仅有极小偏离的 分布，它的微观状态数与最概然分布给出的微观状态数相比也接近于零。 （3）斯特令公式要求，实际情况往往不满足。 （4）以上理论可以推广到含有多个组元的情形。

经典统计中玻耳兹曼分布的表达式 a和b分别由下面条件决定

§ 6.7 玻色分布和费米分布 同理可以求出玻色系统和费米系统中粒子的最概然布。 对 两边取对数得： § 6.7 玻色分布和费米分布 同理可以求出玻色系统和费米系统中粒子的最概然布。 对 两边取对数得： 若假设N>>1，al>>1 ， ωl>>1,可得到：

两边关于 求变分， 则必须满足： 但这些 不完全是独立的，必须满足约束条件：

为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为a和β分别乘以上面两式，有 则有： 即，

同理可导出费米分布为 上式给出了玻色系统粒子的最概然分布，称为玻色分布。 a和b分别由下面条件决定

玻色分布和费米分布分布也可表示为处在能量为 的量子态 上的平均粒子数 a和b分别由下面条件决定

§ 6.8 三种分布的关系 玻耳兹曼分布： 玻色分布： 费米分布：

如果参数a 满足条件 则玻色分布和费米分布过渡到玻耳兹曼分布。即满足经典极限条件的玻色(费米)系统遵从玻耳兹曼系统同样的分布。由于

对所有能级等价，所以两者均称为经典极限条件，或非简并性条件。经典极限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。

当满足经典极限条件时，微观状态数和分布退化的规律