笫四章 机械能守恒 目 录 ⒈ 功 动能定理 ⒉ 保守力做功与势能 ⒊ 机械能和机械能守恒定律 4. 两体碰撞

在笛卡儿提出动量守恒原理后42年，德国数学家莱布尼兹 提出了“活力”的概念及“活力”守恒原理。他认为宇宙中运动的 总量保持不变的，应该是 ，而不是 。两者争论一百 多年后，人们逐渐明白，这是两种不同的守恒规律，莱布尼兹 的活力守恒应归结为机械能守恒。 美国物理学家费曼指出：有一个事实，或者说，有一条定律，支配着至今所知的一切自然现象.关于这条定律没发现例外 就目前所知确乎如此.这条定律称作能量守恒.它指出有某一个量，我们称它能量，在自然界经历的多种多样的变化中它不变化.那是一个最为抽象的概念，因为它为一数学方面的原则，它表明有一种数量当某些事情发生时它不变.

㈠ 功 动能定律 一、变力的功 定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量 B A 单位:1焦耳(J)=1牛顿（N）.米（m） ㈠ 功 动能定律 一、变力的功 定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量 与位移大小的乘积. A B 功是力对空间的累积作用，它的重要意义在于功能决定能量 的变化。 单位:1焦耳(J)=1牛顿（N）.米（m）

说明： （1）功是标量，没有方向，但有正负. （2）几个力同时作用在物体上时，所作的功： 合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。 （3） 功率： 单位:焦耳/秒(瓦特)

例题4.1 物体由静止出发作直线运动，质量为m，受力bt，b为常量，求在T秒内，此力所作的功。 解：元功 根据牛顿定律和加速度的定义求

元功: m A 二、质点动能定理 力对物体作功，物体的运动状态要发生变化，它们之间的关系如何呢？ 质点由A到B这一过程中，力作总功为： B 定义为质点的动能

说明： 质点动能定理——合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量 （1）对质点而言，W为合外力的功。 （2）功与动能之间的区别和联系： 区别：功与物体的状态变化过程相联系，为过程量，动 能决定于质点的运动状态，动能是状态量。 联系：外力的功是动能变化的量度。 （3）功和动能具有相对性，但 具有相对不变性. （4）动能定理同样仅适用于惯性系。动能定理提供了一种 计算功的简便方法.

o x 例题4.2 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b,设 绳子总长度为L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率. 解：方法（1）：利用动能定理 b x o 建立坐标系，重力在dt内所作元功为： 由动能定理得：

方法（2）：利用牛顿定律 b x o 由牛顿定律得 两种方法结果相同

R O m 由动能定理： 例题4.3 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置h 落入洞中，求质点通过地心的速度。 解：矢径方向如图所示，设通过 地心的速度为 O m R 由动能定理：

质点在地球外受力为 质点在地球内受力为 故

三、质点系动能定理 设一个系统内有n个质点，作用于笫i个质点的力所作的 功分别为 ，由质点动能定理 对所有质点求和： 功分别为 ，由质点动能定理 对所有质点求和： 质点系的动能定理-----作用于质点系的力所作的功，等于该质点系总动能的增量。

说明： （1） 质点系所受的力分外力和内力。则 （2） 是每个质点所受外力（内力）作功 之和，而不是合力功之和. （3）质点系内力的功. （1） 质点系所受的力分外力和内力。则 （2） 是每个质点所受外力（内力）作功 之和，而不是合力功之和. （3）质点系内力的功. 研究两质点间作用力与反作用力元功之和为 即一对内力的所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积.

例题4.4 在光滑的水平面上，有一质量为 的静止物体B，在B上又有一质量为 的静止物体A，A受冲击，以 （相对于水平面〕向右运动，A和B之间的摩擦系数为 ，A逐渐带动B一起运动，问A从开始运动到相对于B静止时，在B上运动多远？ 解：取A和B组成的系统，根据动量守恒 A B 内力做功不为零，由系统的动能定理

例题4.5 如图，质量为M的卡车载一质量为m的木箱， 以速率v沿平直路面行驶.因故突然紧急刹车，车轮 立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在 卡车上相对于卡车滑行了 距离,卡车滑行了L距离. 求L和 .巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 ，卡 车轮与地面的滑动摩擦系数为 Mg N F mg mg L

解：解法一（用质点动能定理求解） 卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力 和地面对车的摩擦力F做功，三力 之受力质点位移各为 . F mg N F mg 卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力 和地面对车的摩擦力F做功，三力 之受力质点位移各为 . 根据质点动能定理得 mg 解得

解法二（用质点系动能定理求解） 视卡车与木箱为一质点系.外力F做功 ， 内力做功等于力与相对位移的标积，即 根据质点系动能定理，有 又视木箱为质点，得上面②式.②③联立得与上法相同结果. 注意：⑴卡车与木箱之间相互摩擦力做的功并不等值，表明 一对内力之功并不一定等值反号.⑵滑动摩擦力做正功 或负功，必须在搞清楚力和相对于一定参考受力点位 移的基础上作具体分析.但一对滑动摩擦力所做功的代 数和却总是负的.

和竖直分速度分别为u和v，当炮弹到达最高点时， 其内部的炸药产生能量E，使炸药分成 及 两部 分.开始时两者仍沿原方向前进，试求它们落地时相 例题4.6 一炮弹的质量为 ，射出时的水平 和竖直分速度分别为u和v，当炮弹到达最高点时， 其内部的炸药产生能量E，使炸药分成 及 两部 分.开始时两者仍沿原方向前进，试求它们落地时相 隔的距离? 解：炮弹到达最高点在爆炸前具有水平速度u.爆炸后， 和 分别具有水平速度 .由动能定理可得 由动量守恒（x方向）可得

由①、②式可求得（舍去不合题意的一个解） 由最高点落下的时间为： 故 落地时相隔的距离为

y x ㈡ 保守力做功与势能 一、几种常见的力作功 1、重力作功 ㈡ 保守力做功与势能 y 一、几种常见的力作功 1、重力作功 x 重力作功只与质点的初终两处的高度差有关，而与所经过的路径无关。下降运动，重力做正功；反之做负功。

a 2、万有引力作功 如图，M不动，m由a经任一路径到b， 在平面极坐标系中 b 于是 引力作功只取决于质点的初终位置，与路径具体形迹无关。以力心为原点，质点运动由近至远，引力做负功；反之做正功。

x 3、弹性力作功 m 如图，o点为平衡位置，拉长到P点时，伸长量为x： 在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的初终位置决定 x m 在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的初终位置决定 ，而与形变的过程无关。弹簧形变程度加强，弹性力做负功， 反之做正功。

a c d b 二、保守力与非保守力 F 分析三种力 作功的特点 保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关的力。反之称为非保守力 保守力作功特点的数学描述： 物体沿不同路径从a 到 b，保守力作功

a c d b 沿闭合路径运动一周，保守力作功 保守力沿任意闭合路径作功为零。 非保守力分类：① 称为耗散力（如滑动摩擦力）， 非保守力分类：① 称为耗散力（如滑动摩擦力）， 将机械能转化为热能. ② （如爆炸力），将其他形态的能 （如化学能、电磁能）转化为机械能.

三、势 能 1。势能概念 动能变化定理应用于保守力场将分别得到 重力场 弹性力场 引力场 三、势 能 1。势能概念 动能变化定理应用于保守力场将分别得到 弹性力场 重力场 引力场 将等式两边同一时空点的量合并一起，出现了令人兴奋的方程

上述结论表明，保守力场中质点的运动存在一个“不变量” 已有定义的动能一量与尚未命名的一个新量之和。鉴于 新量与动能项处于平等地位，它的空间特性仅由质点位置决定 ，与质点运动的径迹无关，故称其为势能或位能，记作 。 保守力场 势能的普遍定义式是 即保守力场中，某点的势能等于将质点由该处沿任意路径迁移到某一参考位置，保守力所做的功。

说明： (1)势能总是与保守力相联系。当质点间存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。 (2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零.而势能零点可根据问题的需要任意选择. (3)势能既然与质点系各质点间相互作用的保守力相联系，因而为体系所共有。 (4)从现代物理学的观点来看，势能是比力更为基本的概念， 可以认为它表示质点间的相互作用，或更一般意义上的粒子 之间的相互作用。

2 三种势能： 重力势能 势能零点在地面 引力势能 势能零点在无穷远 弹性势能 势能零点在自然端点 保守力作功可用势能差表示： 2 三种势能： 重力势能 势能零点在地面 引力势能 势能零点在无穷远 弹性势能 势能零点在自然端点 保守力作功可用势能差表示： 即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。

3 势能曲线 r 当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数。 势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图: Ep mgh h  势能曲线的用途： ⑴ 求平衡位置及判断平衡的稳定性. ⑵ 由势能曲线求保守力.（力是矢量，而势能是标量，一 般情况下，确定标量函数比确定矢量要容易）

保守力与势能的关系：

㈢ 机械能守恒定律 一、质点系的功能原理 根据质点系动能定理 功能原理 质点系机械能的增量，等于外力与非保守内力对质点系作功之和

当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统机械能守恒。 二、机械能守恒定律 根据功能原理： 当 即 当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统机械能守恒。 或 或可写为：

几点说明 （1）当摩擦力作为体系外力时，对体系可能做正功，也可能做负功（也可能不做功）。而摩擦力作为体系内力时，必定是成对出现的。因摩擦力总是与两物体的相对位移反方向，因而，动摩擦总是消耗体系的机械能，是一种耗散力，而静摩擦力不同，它不消耗体系的机械能。 (2)尽管在任何惯性系中动能定理、功能原理和机械能守恒定律都可应用，但力所做的功、体系的动能和机械能的数值在不同的参考系中并不相同。而且，一个体系在一个参考系内机械能守恒，在另一个参考系机械能未必守恒。 (3)可以说，机械能守恒及其条件的确立，在物理学中开创了关于不同形式能量之间的转换与守恒新天地，从而在更大的范畴中确立了能量的转换与守恒规律。

三、柯尼希（Konig）定理 对孤立质点系，在质心系里，体系的动量恒为零，质心系 是惯性系，功能原理和机械能守恒定律照样适用.但相对质心系 和其它惯性系（如实验室参照系），功和能未必相同。具体地 说，外力的功和体系的动能相对两个参照系的值不一定相同。 相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和 设 为质点系的质心速度， 为笫i个质点相对质心系的速 度，则有 代入上式得

柯尼希定理－体系动能等于质心动能和体系相对质心系 其中笫三项中 于是 质心相对惯性系动能 体系相对质 心系动能 柯尼希定理－体系动能等于质心动能和体系相对质心系 的动能之和.

四、三种宇宙速度 笫一宇宙速度－人造卫星 飞行物在地球引力作用下，环绕地球运行，成为人造卫星. 笫二宇宙速度－人造行星（太阳系） 飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度. 分别考虑r处和无穷远处的机械能

应当满足机械能守恒，即 ，于是 取其等于零，得笫二宇宙速度 笫三宇宙速度－人造行星(银河系) 飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星. 根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的 笫三宇宙速度

其中太阳质量 （地球质量） ，日地 平均距离 （地球半径），故 这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕 太阳的公转速度 ，两者相减 这是地球参考系看来，飞行器冲出地球引力范围时，应有的 速度.再追溯到地面附近h高度，发射速度 应当满足机械能守 恒，即

综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定高度，物体在水平方向上的三个特征速度： 注意到 ，故 最后得出笫三宇宙速度 综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定高度，物体在水平方向上的三个特征速度： 当 ，发射体环绕地球作椭园轨道运行； 当 ，发射体环绕太阳作椭圆轨道运行； 当 ，发射体将沿双曲线轨道离开太阳系.

㈣ 两体碰撞 所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的 一、正碰－对心碰撞（一维碰撞） ㈣ 两体碰撞 所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的 现象.碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用. 一、正碰－对心碰撞（一维碰撞） 碰撞前两球速度均沿两球中心 连线.满足： ①动量守恒定律 ②碰撞定律 恢复系数 说明： ① e=0 完全非弹性碰撞 ② 0<e<1 非弹性碰撞 ③ e=1 完全弹性碰撞

讨论： ⑴当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得 碰撞过程中损失的动能为 由此可知，对于完全弹性碰撞，e=1，动能守恒；

⑵ 质心系中的正碰撞 上面讨论的是在实验室系（L系）中正碰撞.而在质心系 （c系）中，由于对质量中心的动量之和永远为零，故在 质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰. 在L系中，质心速度为 在c系中，设碰撞前后两质点的速度分别为 和 则 由这两方程可得

二、弹性斜碰撞（二维碰撞） 在c系中，碰撞损失的动能为 思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系? 提示： 碰撞前两球的速度 不在两球中心连线上的碰撞叫 斜碰.一般情况下，斜碰为三维问题.若 ，则变为二维 问题.

在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有 b 如图，取 的方向为x轴，则上 面笫一式化为 式中 称为散射角.另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中 心在y方向上的距离b有关.b称为瞄准距离.b=0时即为正碰. 通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才 能求出其余三个未知数.

例题4.7 如图，质量为M的物块A在离平板为h的高度 处自由下落.落在质量也为M的平板B上.已知轻质弹 簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞， 求碰撞后弹簧的最大压缩量. 解：本题可分为三个物理过程 A h ⑴物块A下落 B ⑵物块A与平板B发生碰撞 ⑶碰撞后弹簧被压缩 机械能守恒

弹簧被最大压缩时 h B 如图，取弹簧不承载平板 的平衡位置为坐标原点0.则 平板B放上后位移为 ，物 块A碰撞后位移为 ，则 根据机械守恒式，得 而

将①、②、④式代入③式，整理后得 解之得 因 ，故应将负根舍去.得碰撞后弹簧最大压缩量为

本章基本要求 ⒈ 掌握功的定义及变力做功的计算方法. ⒉ 理解质点和质点系的动能定理的意义及其应用. ⒊ 掌握保守力和由之定义的势能的概念.掌握重力势能、 万有引力势能和弹性势能的概念和计算方法,特别注意 势能零点的选择. ⒋ 熟练掌握机械守恒定律，并能联系动量守恒定律解决 一些问题. ⒌ 初步掌握质心系的特征，理解柯尼希定理及应用. ⒍ 掌握两体碰撞的基本规律及应用.