数字信号处理 (Digital Signal Processing) 国家电工电子实验示范中心 数字信号处理课程组

第5章 离散时间系统的相位、 结构与状态变量分析法 CUST 第5章 离散时间系统的相位、 结构与状态变量分析法 5.1 离散时间系统的相频响应； 5.2 FIR 系统的线性相位； 5.3 具有线性相位系统的零点分布； 5.4 全通系统和最小相位系统； 5.5 谱分解； 5.6 FIR 系统的结构； 5.7 离散时间系统的 Lattice 结构； 5.8 状态变量

CUST 5.1 离散时间系统的相频响应 幅频响应 相频响应 如果： 我们称其为线性相位。 若： 也称线性相位

CUST 假定： 对输入 ，有 所以： 输出是输入的简单移位，移位的大小正比于 因此不会发生失真。

CUST 例：令 具有线性相位 则： 没有发生相位失真

CUST 例：令 若： 则： 发生了相位失真

CUST

CUST 由于： 如果令： 则： 再令： 则：

CUST 定义： 为系统的相位延迟(Phase Delay, PD) 如果系统的相频响应不是线性的，那么系统的输出将不再是输入信号作线性移位后的组合，因此，输出将发生失真。 定义： 为系统的群延迟(Group Delay, GD)

CUST ？ 显然，若系统具有线性相位，则其GD为常数。 若： 则： 即：相位延迟 反映了载波信号的延迟， 而群延迟 反映了输出包络的延迟。 即：相位延迟 反映了载波信号的延迟， 而群延迟 反映了输出包络的延迟。 思考：如何实现对信号的零相位滤波？若 要保证系统是因果的，又如何实现？ ？

在绝大部分信号处理的场合，人们都期盼系统具有线性相位，但是，如何实现线性相位？ CUST 5.2 FIR 系统的线性相位 在绝大部分信号处理的场合，人们都期盼系统具有线性相位，但是，如何实现线性相位？ 对 FIR 系统，如果保证： 则该系统具有线性相位。

CUST 上述对称有四种情况： 偶对称 第一类 FIR 系统 奇对称 第二类 FIR 系统

CUST 第一类 FIR 系统 1. 为奇数 令： 并利用 的对称性，有

CUST 令： 实数 令：

CUST 最后有： 相位 增益 所以，只要保证滤波器的系数偶对称，该滤波器必然具有线性相位。

CUST 2. 为偶数 令： 则：

CUST 第二类 FIR 系统： 3. 为奇数

CUST 4. 为偶数 请掌握四种情况下线性相位表达式的推导方法。

CUST 说明： 第一类 FIR 系统是 的线性组合，在 时， 易取得最大 值，因此这一类滤波器易体现低通特性，且是 的线性组合，在 时， 易取得最大 值，因此这一类滤波器易体现低通特性，且是 偶函数。通过频率移位，又可体现高通、带通、 带阻特性。所以，经典的低通、高通、带通和 带阻滤波器的 都是偶对称的。

CUST 第二类 FIR 系统是 的线性组合，在 时， 的值为零，且是奇函数。这一类滤波器都是作为特殊形式的滤波器，如 Hilbert变换器、差分器等。 思考：四类滤波器的对称点在何处 ？ 最好取为奇数，以便以中心点为对称。

CUST 5.3 具有线性相位系统的零点分布 则： 令： 所以， 的零点也是 的零点, 反之亦然

的零点分布: CUST 零点分布可能有四种情况： 不在实轴也不在圆上，应是一对共轭零点，模<1; 不在实轴，但在圆上，也是一对共轭零点；模＝1； 在实轴但不在圆上，无共轭，角度＝0， 模<1; 在实轴，但在圆上，无共轭，角度＝0， 模＝1;

CUST 在单位圆内 四个零点同时存在, 构成四阶系统. 把该式展开，其系数也是对称的，是具有线性相位的子系统。

CUST 无共轭零点, 有镜象零点 无镜象对称零点, 有共轭零点.

CUST 无镜象零点, 也无共轭零点. 很容易证明，每一个子系统的系数都是对称的，因此它们都具有线性相位。 一个具有线性相位的FIR数字滤波器的转移函数可表示为上述四类 FIR 子系统的级联，即： 很容易证明，每一个子系统的系数都是对称的，因此它们都具有线性相位。

5.4 全通系统和最小相位系统 全通系统 CUST 如果一个系统的幅频响应对所有的 频率都等于1 (或一个常数), 即 5.4 全通系统和最小相位系统 全通系统 如果一个系统的幅频响应对所有的 频率都等于1 (或一个常数), 即 则称系统 为全通系统。 最简单的全通系统，纯延迟

CUST 一阶全通系统： 镜像对称

CUST 二阶全通系统： 一对位于单位圆内的共轭极点，一对共轭零点和极点以单位圆为镜像对称 。 高阶全通系统：

CUST 高阶全通系统的另一种表示形式： 即： 对该全通系统，请自己证明：

全通系统的特点： CUST CUST 1 . 是IIR系统(不考虑纯延迟形式）； 2. 极点数和零点数相等； 2. 极点数和零点数相等； 3. 极点和零点是以单位圆镜像对称的； 4. 极点都在单位圆内,零点都在单位圆外； 5. 全通系统的群延迟始终为正值。

全通系统的应用： CUST IIR系统的 无限长，无法对称，即无法作 到线性相位。在实际中，可以用一个全通系统 对相频响应做矫正，使其接近线性相位。 全通系统还广泛应用在系统分析及一些特殊 滤波器的设计方面（如功率互补IIR滤波器组）

CUST 极－零图 幅频 一阶全通系统 相频 抽样响应

CUST 三阶全通系统

最小相位系统 CUST 一个离散系统，其极点必须在单位圆内，但对零点没有限制，如果： 所有的零点都在单位圆内： 最小相位系统； 2. 所有的零点都在单位圆外： 最大相位系统； 3. 单位圆内、外都有零点 ： 混合相位系统。 电子信息工程学院

最小相位系统的性质： CUST ？ 那一个是最小相位系统 在具有相同幅频响应的因果的稳定的滤波器 集合中, 最小相位滤波器具有最小的相位偏移； 例：作为作业，请证明如下两个系统具有相同 的幅频响应： 那一个是最小相位系统 ？

CUST 幅频 相频

CUST 在所有具有相同幅频响应的离散系统中, 最 小相位系统的 具有最小的延迟； 令： 累计能量 有： 小相位系统的 具有最小的延迟； 令： 累计能量 有： 所以，最小相位系统的单位抽样响应又称最小延迟序列。 思考： 具有线性相位的FIR系统是否是最小相位系统？

CUST 例. 三个系统： 它们具有相同的幅频响应，试判断，那一个是最小相位系统？最大相位系统？混合相位系统？ 例. 三个系统： 它们具有相同的幅频响应，试判断，那一个是最小相位系统？最大相位系统？混合相位系统？ 请注意：为保证系统具有相同的幅频响应（相同的定标）， 的表达式。

CUST

CUST 3. 设 为最小相位系统 令： 则： 和 构成一对Hilbert变换 复倒谱：Cepstrum

CUST 令： 的逆系统 记： Deconvolution(反卷积）System identification(系统辨识） 对于稳定因果系统，当且仅当其是最小相位 系统时, 该系统才有逆系统 （Inverse System)。 令： 的逆系统 记： Deconvolution(反卷积）System identification(系统辨识）

CUST 5. 任一非最小相位的因果系统的转移函数均可由 一个最小相位系统和一个全通系统 级联而成, 即： 5. 任一非最小相位的因果系统的转移函数均可由 一个最小相位系统和一个全通系统 级联而成, 即： 由于最小相位系统有着以上特殊的性质，因此有着广泛的应用，特别是在信号的建模与系统辨识方面。要理解，具有相同幅频响应的系统，它们所对应的转移函数可以是不相同的，区别就在于相位（或零点的位置）。那么，如何由一个最小相位系统得到具有相同幅频响应的最大相位、混合相位系统？

5.5 谱分解（Spectral factorization) CUST 5.5 谱分解（Spectral factorization) 令： 显然， 具有线性相位。将一个转移函 数的极－零点重新分配，得到两个转移函数， 这一过程（或方法）就称为“谱分解”。最常 用的是将具有线性相位系统的转移函数作分 解，并且往往是分解成两个具有相同幅频响 应的子系统。

例. 令 CUST 显然，该系统具有线性相位，共有12个零点： 例. 令 ={1.0000 ，4.0500，8.1000 ，14.9956，27.7248，43.2996，51.1831，43.2996，27.7248，14.9956，8.1000，4.0500，1.0000} 显然，该系统具有线性相位，共有12个零点：

CUST 谱分解的目的是想得到因果的、符合某种要求的系统，这在信号建模、特殊滤波器的设计中经常要用到。分解的一般方法是： 令一个系统是最小相位系统； 则另一个系统必然是最大相位系统。 这样，两个系统都有着相同的幅频响应。 另外一种分解方法是得到两个混合系统，目的是保证它们都具有线性相位。 下图是对 作谱分解的结果，可以看出， 分解后的两个系统具有相同的幅频响应。

CUST

CUST 5.6 FIR 系统的结构 一、 直接实现和级联实现 直接实现:

CUST 级联实现:

CUST 二、 具有线性相位的FIR系统的结构 乘法量减少一半

CUST 三、 FIR系统的递归实现及梳状滤波器 FIR 系统 该系统实际上是一个N点平均器。 IIR系统 ？

CUST IIR 实现 令 该系统可由一FIR系统和一个一阶IIR系统级联而成，极－零点抵消后，仍是一FIR系统。

CUST 梳状滤波器 N点平均器

CUST 四、 频率抽样实现 思路：用DFT系数 表示系统函数

CUST 令： 梳状滤波器 N个一阶IIR系统 则： 可按上述级联方式得到系统的信号流图：

CUST CUST 该结构一方面反映了 Z 变换、DTFT、DFT之间的关系，另一方面，给出了FIR 滤波器设计的一种有效方法。

5.7 离散时间系统的 Lattice 结构 CUST Lattice 结构又称“格形”结构，是一种非常新颖、有特色的结构，在基于模型的功率谱估计、语音信号处理、自适应滤波方面有着重要的应用。对一个FIR系统，其Lattice 结构是：

1. 全零点系统(FIR)的Lattice结构 CUST 1. 全零点系统(FIR)的Lattice结构 反射系数 Lattice 结构的基本单元

CUST Lattice结构中的基本关系 ？ 如何实现滤波器系数和 的相互转换 定义：

CUST ：是Lattice 结构中第 m 个上、下结点相对输入端的转移函数。 得到由低阶倒高阶，或由高到低的递推关系。

CUST 得到时域递推关系： 低到高阶 高到低阶 MATLAB中有相应的 m 文件。

CUST 例：

2. 全极点系统(IIR)的Lattice结构 CUST 2. 全极点系统(IIR)的Lattice结构 看作是FIR系统的逆形式。

CUST 基本单元逆形式

CUST 系数 及 的求解方式同FIR系统Lattice结构的计算方 法, 只是将多项式的系数 换成 . 注意：在递推求解的过程中，反射系数 法, 只是将多项式的系数 换成 . 注意：在递推求解的过程中，反射系数 有关反射系数的更多讨论见第12章信号建模。

CUST CUST 3. 极－零系统的Lattice结构

CUST 两组Lattice系数 上半部对应全极系统 下半部对应全零系统 求出同全极系统； 递推求解

CUST 5.8 离散系统的状态变量描述 1. LSI系统的状态变量与状态方程 描述：差分方程、转移函数、线性卷积

CUST 转移函数、差分方程、中间变量的关系

CUST 作为系统的状态。 状态变量描述法的特点: “状态”指系统内一组变量, 它包含了系统全部 过去的信息, 由这一组变量和现在与将来的 输入，可求出现系统现在和将来的全部输出； 2. 可用于分析多输入、多输出系统； 如何选择状态变量？有着不同的方法。方法之 一是选择 作为系统的状态。

CUST 定义一组新的变量 相互关系 状态方程

CUST 输出方程

CUST 上述内容讨论了如何由差分方程转换为状态方程。当然，反过来也可以。

CUST 2.由状态方程求系统的转移函数 两边取Z变换：

CUST 3.由状态方程求输出及单位抽样响应 状态方程 输出方程

CUST 零输入解 零状态解 抽样响应为： {

CUST 例 对系统， 当 时， 即是系统的单位抽样响应 ，显然， ，该序列称为Fibonacci序列。试利用状态方程求 。 解：

与本章内容有关的MATLAB文件 CUST 1．fiftfilt.m 本文件实现零相位滤波。其调用格式是：y=filtfilt(B, A, x) 。式中B是 的分子多项式，A是分母多项式，x是待滤波信号，y是滤波后的信号。 2．grpdelay.m 求系统的群延迟。调用格式 [gd w]=grpdelay(B, A, N) , 或 [gd F]=grpdelay(B, A, N, FS) 式中B和A仍是 的分子、分母多项式，gd是群延迟，w、F是频率分点，二者的维数均为N；FS为抽样频率，单位为Hz。

CUST 3．tf2latc.m 和latc2tf.m：实现转移函数和Lattice 系数之间的相互转换。tf2latc的调用格式是：(1) k=tf2latc(b), (2) k=tf2latc(1,a), (3) [k, c]=tf2latc(b,a), 其中（1）对应全零系统，（2）对应全极系统，（3）对应极－零系统。latc2tf的调用格式和tf2latc正好相反。需要说明的是，tf2latc求出的Lattice系数k和本书求出的k差一个负号，这是由于我们在图中用的是－k。

CUST 4. latcfilt.m 用来实现Lattice 结构下的信号滤波。调用格式是： (1)    [y, g]=latcfilt(k, x)： 对应全零系统 (2) [y, g]=latcfilt(k, 1, x)：对应全极系统 (3) [y, g]=latcfilt(k, c, x)：对应极－零系统 x是待滤波的信号，y是用Lattice 结构作正向滤波的输出，g是作反向滤波的输出。若输入x是 则输出y是 的系数； g 是 的系数。

CUST 5. tf2ss.m 和 ss2tf.m 实现转移函数和相应状态变量之间的转换。二者的调用格式分别是： [A, B, C, D]=tf2ss(b, a), [b, a]=ss2tf(A, B, C, D)。式中b, a 分别是 分子、分母多项式的系数向量，A, B, C及D的定义见 书。 6.sos2ss.m 实现由转移函数的二阶级联形式转换为状态变量表示。调用格式： [A, B, C, D]=sos2ss(sos, g), A, B, C, D的定义见书。有关sos和g的说明见2.8节关于tf2sos.m的说明。