第九章 线形系统的状态空间分析与综合

二、 线性系统的可控性与可观测性（1） 现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输 入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量， 二、 线性系统的可控性与可观测性（1） 现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输 入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量， 这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由 输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统 所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的 初态达到原点，则称系统是可控的，或者更确切地是状态可 控的。否则，就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可 控。相应地，如果系统所有状态变量地任意形式的运动均可 由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系统可 观测。

二、 线性系统的可控性与可观测性（2） 例： 给定系统的动态方程为 将其表示为标量方程组的形式，有

二、 线性系统的可控性与可观测性（3） 例：下图所示网络，设 ，输出 。 这表明状态变量 和 都可通过选择控制量 而由始点达到 二、 线性系统的可控性与可观测性（3） 这表明状态变量 和 都可通过选择控制量 而由始点达到 原点，因而系统完全可控。但是，输出 只能反映状态变量 ，而与状态变量 既无直接关系也无间接关系，所以系 统是不完全可观测的。 例：下图所示网络，设 ，输出 。

二、 线性系统的可控性与可观测性（4） 1、可控性 当 且初始状态 时，则不论将 输入 取为何种形式，对于所有 ，只能是 ， 二、 线性系统的可控性与可观测性（4） 当 且初始状态 时，则不论将 输入 取为何种形式，对于所有 ，只能是 ， 不可能做到 。也就是说，输入 能够做到使 和 同时转移到任意相同的目标值，但不能将 和 分别 转移到不同的目标值。这表明此电路不完全可控，简称电路 不可控。由于 ，故系统可观测。 1、可控性 考虑线性时变系统的状态方程

二、 线性系统的可控性与可观测性（5） 其中 为 维状态向量； 为 维输入向量； 为时间定义 区间； 和 分别为 和 矩阵。现对状态 二、 线性系统的可控性与可观测性（5） 其中 为 维状态向量； 为 维输入向量； 为时间定义 区间； 和 分别为 和 矩阵。现对状态 可控、系统可控和不可控分别定义如下： 状态可控： 对于上式所示线性时变系统，如果对取定 初始时刻 的一个非零初始状态 ，存在一个 时刻 和一个无约束的容许控制 ， 使状态由 转移到 时的 ，则称此 是 在 时刻可控的。

二、 线性系统的可控性与可观测性（6） 系统可控： 对于上式所示线性时变系统，如果状态空 间中的所有非零状态都是在 时刻可控的，则称系 二、 线性系统的可控性与可观测性（6） 系统可控： 对于上式所示线性时变系统，如果状态空 间中的所有非零状态都是在 时刻可控的，则称系 统在 时刻是完全可控的，简称系统在 时刻可控。若系统 在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。 系统不完全可控： 对于上式所示线性时变系统，取定 初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些非零状 态在 时刻是不可控的，则称系统在 时刻是不完全可控的， 也称为系统是不可控的。 可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。 必须 是容许控制，即 的每个分量均在时间 区间上平方可 积，即

二、 线性系统的可控性与可观测性（7） 此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻 的选取有 二、 线性系统的可控性与可观测性（7） 此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻 的选取有 关，是相对于 中的一个取定时刻来定义的。而对于线性定 常系统，其可控性与初始时刻 的选取无关。 状态与系统可达： 若存在能将状态 转移到 的控制作用，则称状态 是 时刻可达的。若 对所有时刻都是可达的，则称状态 为完全可达或一 致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是 时刻可 达的，则称该系统是 时刻状态完全可达的，或简称该系统 是 时刻可达的。 对于线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的。但 对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价的。

二、 线性系统的可控性与可观测性（8） 2、可观测性 可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考 虑系统的状态方程和输出方程 二、 线性系统的可控性与可观测性（8） 2、可观测性 可观测性表征状态可由输出完全反映的性能，所以应同时考 虑系统的状态方程和输出方程 其中， 分别为 的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程 的解为

二、 线性系统的可控性与可观测性（9） 其中 为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程， 可得输出响应为 若定义 则输出响应可写为 二、 线性系统的可控性与可观测性（9） 其中 为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程， 可得输出响应为 若定义 则输出响应可写为 这表明可观测性即是 可由 完全估计的性能。由于 和 可取任意值，所以这又等价于研究 时由 来估计 的 可能性，即研究零输入方程

二、 线性系统的可控性与可观测性（10） 的可观测性。输出响应成为 下面给出系统可观测性的有关定义。 二、 线性系统的可控性与可观测性（10） 的可观测性。输出响应成为 下面给出系统可观测性的有关定义。 系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ，对于所有 ， 系统的输出 能惟一确定状态向量 的初值，则称系统 在 内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切 系统都是可观测的，则称系统在 内完全可观测。

二、 线性系统的可控性与可观测性（11） 3、线性定常连续系统的可控性判据 系统不可观测： 对于线性时变系统，如果取定初始时 二、 线性系统的可控性与可观测性（11） 系统不可观测： 对于线性时变系统，如果取定初始时 刻 ，存在一个有限时刻 ，对于所有 ， 系统的输出 不能惟一确定所有状态 的 初值，即至少有一个状态的初值不能被 确定，则称系统在 时间区间 内是不完全可观测的，简称不可观测。 3、线性定常连续系统的可控性判据 考虑线性定常连续系统的状态方程 其中 为 维状态向量； 为 维输入向量； 和 分别为 和 常阵。

二、 线性系统的可控性与可观测性（12） 下面根据 和 给出系统可控性的常用判据。 格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可控的充分必 二、 线性系统的可控性与可观测性（12） 下面根据 和 给出系统可控性的常用判据。 格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可控的充分必 要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵： 为非奇异。 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统 可控性的常用判据是直接由矩阵 和 判断可控性的秩判据。 凯莱－哈密顿定理 设阶矩阵的特征多项式为

二、 线性系统的可控性与可观测性（13） 则 满足其特征方程，即 推论1 矩阵 的 次幂可表示为 的 阶多项式 二、 线性系统的可控性与可观测性（13） 则 满足其特征方程，即 推论1 矩阵 的 次幂可表示为 的 阶多项式 推论2 矩阵指数 可表示为 的 阶多项式 秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是 其中 为矩阵 的维数， 称为系统的 可控性判别阵。

二、 线性系统的可控性与可观测性（14） 例： 桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。 解： 该桥式电路的微分方程为 二、 线性系统的可控性与可观测性（14） 例： 桥式网络如图所示，试用可控性判据判断其可控性。 解： 该桥式电路的微分方程为 选取状态变量 ， 消去 ，可得状态方程

二、 线性系统的可控性与可观测性（15） 其可控性矩阵为

二、 线性系统的可控性与可观测性（16） 当 时， ，系统可控。 当电桥处于平衡状态，即 时， 及 成立，这时状态方程变为

二、 线性系统的可控性与可观测性（17） 可控性矩阵为 ，系统不可控， 不能控制 ， 是不可控 状态变量。 例： 判别下列系统的可控性：

二、 线性系统的可控性与可观测性（18） 解 可控性判别矩阵为 显见矩阵的第二行与第三行线性相关， ，系统 不可控。 二、 线性系统的可控性与可观测性（18） 解 可控性判别矩阵为 显见矩阵的第二行与第三行线性相关， ，系统 不可控。 PBH秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条 件是，对矩阵 的所有特征值 ， 均成立，或等价地表示为 即 和 是左互质的。

二、 线性系统的可控性与可观测性（19） 例： 已知线性定常系统的状态方程为 解： 根据状态方程可写出 二、 线性系统的可控性与可观测性（19） 由于这一判据是由波波夫和贝尔维奇首先提出，并由豪塔斯 最先指出其可广泛应用性，故称为PBH秩判据。 例： 已知线性定常系统的状态方程为 试判别系统的可控性。 解： 根据状态方程可写出

二、 线性系统的可控性与可观测性（20） 考虑到 的特征值为 ，所以只 需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算知，当 时，有

二、 线性系统的可控性与可观测性（21） 当 时，有 当 时，有 计算结果表明，系统完全可控。

二、 线性系统的可控性与可观测性（22） PBH特征向量判据 线性定常连续系统完全可控的充分 二、 线性系统的可控性与可观测性（22） PBH特征向量判据 线性定常连续系统完全可控的充分 必要条件是， 不能有与 的所有列相正交的非零左特征向 量。即 对的任一特征值 ，使同时满足 的特征向量 。 一般地说，PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特 别是线性系统的复频域分析中。 约当规范型判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要 条件分两种情况： 1）矩阵 的特征值 是两两相异的。

二、 线性系统的可控性与可观测性（23） 由线性变换可将状态方程变为对角线规范型 则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素 二、 线性系统的可控性与可观测性（23） 由线性变换可将状态方程变为对角线规范型 则系统完全可控的充分必要条件是，在上式中，不包含元素 全为零的行。 2）矩阵的特征值为 ，且 。

二、 线性系统的可控性与可观测性（24） 由线性变换化为约当规范型 其中

二、 线性系统的可控性与可观测性（25） 而 ，由 的最后一 行所组成的矩阵 对 均为行线性无关。

二、 线性系统的可控性与可观测性（26） 4、输出可控性 如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的 输出可控性。 二、 线性系统的可控性与可观测性（26） 4、输出可控性 如果系统需要控制的是输出量而不是状态，则需研究系统的 输出可控性。 输出可控性： 若在有限时间间隔 内，存在无约束 分段连续控制函数 ，能使任意初始输出 转 移到任意最终输出 ，则称此系统是输出完全可控，简称 输出可控。 输出可控性判据 设线性定常连续系统的状态方程和输 出方程为

二、 线性系统的可控性与可观测性（27） 式中， 为 维输入向量； 为 维输出向量； 为 维状态 向量。状态方程的解为 则输出 二、 线性系统的可控性与可观测性（27） 式中， 为 维输入向量； 为 维输出向量； 为 维状态 向量。状态方程的解为 则输出 不失一般性，令 ，有

二、 线性系统的可控性与可观测性（28） 令 ，则

二、 线性系统的可控性与可观测性（29） 令 为 矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充 分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ， 二、 线性系统的可控性与可观测性（29） 令 为 矩阵，称为输出一矩阵。输出可控的充 分必要条件是，输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数 ， 即 注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没 有什么必然的联系。

二、 线性系统的可控性与可观测性（30） 例： 已知系统的状态方程和输出方程为 解： 系统的状态可控性矩阵为 二、 线性系统的可控性与可观测性（30） 例： 已知系统的状态方程和输出方程为 试判断系统的状态可控性和输出可控性。 解： 系统的状态可控性矩阵为 ，故状态不完全可控。

二、 线性系统的可控性与可观测性（31） 5、线性定常连续系统的可观测性判据 输出可控性矩阵为 ，输出可控。 二、 线性系统的可控性与可观测性（31） 输出可控性矩阵为 ，输出可控。 5、线性定常连续系统的可观测性判据 考虑输入 时系统的状态方程和输出方程 其中， 为 维状态向量； 为 维输出向量； 和 分别为 和 的常值矩阵。

二、 线性系统的可控性与可观测性（32） 格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可观测的充分 必要条件是，存在有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩 二、 线性系统的可控性与可观测性（32） 格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统完全可观测的充分 必要条件是，存在有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩 阵： 为非奇异。 秩判据 线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件 是

二、 线性系统的可控性与可观测性（33） 例： 判断下列系统的可观测性： 或 上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。 1） 二、 线性系统的可控性与可观测性（33） 或 上两式中的矩阵均称为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。 例： 判断下列系统的可观测性： 1） 2）

二、 线性系统的可控性与可观测性（34） 解：1） 故系统不可观测。 2） 故系统可观测。

二、 线性系统的可控性与可观测性（35） PHB秩判据 线性定常连续系统完全可观测的充分必要条 件是，对矩阵 的所有特征值 ，均有 二、 线性系统的可控性与可观测性（35） PHB秩判据 线性定常连续系统完全可观测的充分必要条 件是，对矩阵 的所有特征值 ，均有 或等价地表示为 也即 和 是右互质的。

二、 线性系统的可控性与可观测性（36） PBH特征向量判据 线性定常连续系统完全可观测的充 二、 线性系统的可控性与可观测性（36） PBH特征向量判据 线性定常连续系统完全可观测的充 分必要条件是， 没有与 的所有行相正交的非零右特征向 量。即对 的任一特征值 ，使同时满足 的特征向量 。 约当规范型判据 线性定常连续系统完全可观测的充分 必要条件分两种情况： 1）当矩阵 的特征值 两两相异时，由线性变换 导出的对角线规范型为

二、 线性系统的可控性与可观测性（37） 式中 不包含元素全为零的列。 2）当 矩阵的特征值为 ，且 时，对原式进行线性变换导出的约当 二、 线性系统的可控性与可观测性（37） 式中 不包含元素全为零的列。 2）当 矩阵的特征值为 ，且 时，对原式进行线性变换导出的约当 规范型为 其中

二、 线性系统的可控性与可观测性（38）

二、 线性系统的可控性与可观测性（39） 例：已知线性定常系统的对角线规范型为 解： 显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统 二、 线性系统的可控性与可观测性（39） 且 ，由 的第一 列所组成的矩阵 对 均为列线性无关。 例：已知线性定常系统的对角线规范型为 试判定系统的可观测性。 解： 显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统 为完全可观测。

二、 线性系统的可控性与可观测性（40） 6、线性离散系统的可控性和可观测性 （1）线性离散系统的可控性和可达性 二、 线性系统的可控性与可观测性（40） 6、线性离散系统的可控性和可观测性 （1）线性离散系统的可控性和可达性 设线性时变离散时间系统的状态方程为 其中 为离散时间定义区间。如果对初始时刻 和状态 空间中的所有非零状态 ，都存在时刻 ，和 对应的控制 ，使得 ，则称系统在时刻 为完 全可控。对应地，如果对初始时刻 和初始状态 ， 存在时刻 和相应的控制 ，使 可为状态 空间中的任意非零点，则称系统在时刻 为完全可达。

二、 线性系统的可控性与可观测性（41） 对于离散系统，不管是时变的还是定常的，其可控性和 二、 线性系统的可控性与可观测性（41） 对于离散系统，不管是时变的还是定常的，其可控性和 可达性只有在一定条件下才是等价的。其等价的条件分别为 1）线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要 条件是，系统矩阵 对所有 为非奇异； 2）线性定常离散时间系统 可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵 为非奇异。 3）如果离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模 型，则其可控性和可达性必是等价的。

二、 线性系统的可控性与可观测性（42） 线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离 散系统的状态方程为 二、 线性系统的可控性与可观测性（42） 线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离 散系统的状态方程为 其中 为 维状态向量； 为标量输入； 为 非奇异 矩阵。状态方程的解为 根据可控性定义，假定 时， ，将上式两端左 乘 ，则有

二、 线性系统的可控性与可观测性（43） 记 称 为 可控性矩阵。由线性方程组解的存在定理可 知，当矩阵 的秩与增广矩阵 的秩相等时，方 二、 线性系统的可控性与可观测性（43） 记 称 为 可控性矩阵。由线性方程组解的存在定理可 知，当矩阵 的秩与增广矩阵 的秩相等时，方 程组有解且为惟一解，否则无解。在 为任意的情况下， 使方程线有解的充分必要条件是矩阵 满秩，即

二、 线性系统的可控性与可观测性（44） 或矩阵 的行列式不为零 或矩阵 是非奇异的。 由于满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘其秩不变，故 二、 线性系统的可控性与可观测性（44） 或矩阵 的行列式不为零 或矩阵 是非奇异的。 由于满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘其秩不变，故 交换矩阵的列，且记为 ，其秩也不变，故有 在判断系统的可控性时，使用上式比较方便。 上面四式即为可控性判据。

二、 线性系统的可控性与可观测性（45） 当 时，系统不可控，表示不存在使任意 转移至 的控制。 以上研究了终态为 的情况，若令终态为任意 二、 线性系统的可控性与可观测性（45） 当 时，系统不可控，表示不存在使任意 转移至 的控制。 以上研究了终态为 的情况，若令终态为任意 给定状态 ，则状态方程的解变为 将上式两端左乘 ，有

二、 线性系统的可控性与可观测性（46） 当 满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状 二、 线性系统的可控性与可观测性（46） 当 满秩时，前式左端只不过是任一给定的另一初态，其状 态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。若令 ，上述结论同样成立。可见，当 为非奇异阵时， 系统的可控性和可达性是等价的。 上述研究单输入离散系统可控性的方法可推广到多输入系统。 设系统的状态方程为 所谓可控性问题，即是能否求出无约束控制向量序列 ，使 系统能从任意初态 转移至 。上式的解为

二、 线性系统的可控性与可观测性（47） 令 ，且方程两端左乘 ，有 记 为 矩阵，由子列向量 构成的控 二、 线性系统的可控性与可观测性（47） 令 ，且方程两端左乘 ，有 记 为 矩阵，由子列向量 构成的控 制列向量是 维的。上式含 个方程，但有 个待求的控 制量。

二、 线性系统的可控性与可观测性（48） 由于初态 可任意给定，根据解存在定理，矩阵 的秩 二、 线性系统的可控性与可观测性（48） 由于初态 可任意给定，根据解存在定理，矩阵 的秩 为 时，方程组才有解。于是多输入线性离散系统状态可 控的充分必要条件是 或

二、 线性系统的可控性与可观测性（49） 例： 双输入线性定常离散系统的状态方程为 解： 试判断可控性，并研究使 的可能性。 二、 线性系统的可控性与可观测性（49） 例： 双输入线性定常离散系统的状态方程为 试判断可控性，并研究使 的可能性。 解： 显然，由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故系统可控。

二、 线性系统的可控性与可观测性（50） 一定能求得控制序列使系统由任意初始状态三步内转移到原点。 由 可得 设初始状态为 ，由于

二、 线性系统的可控性与可观测性（51） 可求得 ，在一步内使系统由初始状态转移 到原点。设初始状态 ，也可使系统在 二、 线性系统的可控性与可观测性（51） 可求得 ，在一步内使系统由初始状态转移 到原点。设初始状态 ，也可使系统在 一步内由初始状态转移到原点，但 。本例 不能使系统由任意初始状态一步内转移到原点。 （2）线性离散系统的可观测性 设离散系统为

二、 线性系统的可控性与可观测性（52） 若对初始时刻 的任一非零初始状态 ，都存在 有限时刻 ，且可由 上的输出 惟一地 二、 线性系统的可控性与可观测性（52） 若对初始时刻 的任一非零初始状态 ，都存在 有限时刻 ，且可由 上的输出 惟一地 确定 ，则称系统在时刻 是完全可观测的。 线性定常离散系统的可观测性判据 设线性定常离散系 统的动态方程为 其中 为 维状态向量， 为 维输出向量，其解为

二、 线性系统的可控性与可观测性（53） 研究可观测性问题时， 均为已知，故不失 一般性，可将动态方程简化为 对应的解为 将 写成展开式

二、 线性系统的可控性与可观测性（54） 其向量－矩阵形式为 令

二、 线性系统的可控性与可观测性（55） 称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为 矩阵。 系统可观充分必要条件为 二、 线性系统的可控性与可观测性（55） 称为线性定常离散系统的可观测性矩阵，为 矩阵。 系统可观充分必要条件为 由于 ，故线性定常离散系统的可观测性判 据常表示为 （3）连续动态方程离散化后的可控性和可观测性 一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能 保持其可控性或可观测性。现举例来说明。

二、 线性系统的可控性与可观测性（56） 设连续系统动态方程为 由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观 测性判据有 二、 线性系统的可控性与可观测性（56） 设连续系统动态方程为 由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观 测性判据有 故系统可观测。

二、 线性系统的可控性与可观测性（57） 系统的状态转移矩阵为

二、 线性系统的可控性与可观测性（58） 系统离散化后的状态方程为 离散化后系统的可控性矩阵为

二、 线性系统的可控性与可观测性（59） 离散化后系统的可观测性矩阵为 当采样周期时 ，可控性矩阵 和可观测性 二、 线性系统的可控性与可观测性（59） 离散化后系统的可观测性矩阵为 当采样周期时 ，可控性矩阵 和可观测性 矩阵 均出现零行， ，系统不可 控也不可观测。这表明连续系统可控或可观测时，若采样周 期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测， 也有可能既不可控又不可观测。若连续系统不可控或不可观 测，不管采样周期 如何选择，离散化后的系统一定是不可 控或不可观测的。

三、 线性定常系统的线性变换（1） 1、状态空间表达式的线性变换 设系统动态方程为 令 式中 为非奇异线性变换矩阵，它将 变换为 ，变换后 三、 线性定常系统的线性变换（1） 1、状态空间表达式的线性变换 设系统动态方程为 令 式中 为非奇异线性变换矩阵，它将 变换为 ，变换后 的动态方程为 式中 并称为对系统进行变换。线性变换的目的在于使 阵规范化， 并不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。分析计算后， 再引入反变换关系 ，得出最终结果。

三、 线性定常系统的线性变换（2） 下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。 （1）化阵为对角型 三、 线性定常系统的线性变换（2） 下面概括给出本章中常用的几种线性变换关系。 （1）化阵为对角型 1）设 阵为任意形式的方阵，且有 个互异实数特征 值 ，则可由非奇异线性变换化为对角阵 。 阵由 阵的实数特征向量 组成

三、 线性定常系统的线性变换（3） 特征向量满足 2）若 阵为友矩阵，且有 个互异实数特征值 ， 则下列的范德蒙特 矩阵 可使 对角化：

三、 线性定常系统的线性变换（4） 3）设 阵具有 重实数特征值 ，其余为 个互异 实数特征值，但在求解 时仍有 个 三、 线性定常系统的线性变换（4） 3）设 阵具有 重实数特征值 ，其余为 个互异 实数特征值，但在求解 时仍有 个 独立实特征向量 ，则仍可使 阵化为对角阵 。

三、 线性定常系统的线性变换（5） 式中 是互异实数特征值对应的实特征向量。 （2）化 阵为约当阵 三、 线性定常系统的线性变换（5） 式中 是互异实数特征值对应的实特征向量。 （2）化 阵为约当阵 1）设 阵具有 重实特征值 ，其余为 个互异实特 征值，但在求解 时只有一个独立实特征向量 ， 只能化为约当阵 。

三、 线性定常系统的线性变换（6） 中虚线示出存在一个约当块。 式中 是广义实特征向量，满足 是互异特征值对应的实特征向量。

三、 线性定常系统的线性变换（7） 2）设 为友矩阵，具有 重实特征值 ，且只有一个独立 实特征向量 ，则使 约当化的 为 式中 三、 线性定常系统的线性变换（7） 2）设 为友矩阵，具有 重实特征值 ，且只有一个独立 实特征向量 ，则使 约当化的 为 式中 3）设 阵具有五重实特征值 ，但有两个独立实特征向量 ，其余为 个互异实特征值， 阵约当化的可 能形式是

三、 线性定常系统的线性变换（8）

三、 线性定常系统的线性变换（9） 中虚线示出存在两上约当块，其中 （3）化可控系统为可控标准型 三、 线性定常系统的线性变换（9） 中虚线示出存在两上约当块，其中 （3）化可控系统为可控标准型 在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输 入线性定常系统状态方程的可控标准型：

三、 线性定常系统的线性变换（10） 与该状态方程对应的可控性矩阵 是一个右下三角阵，其主 对角线元素均为1，故 ，系统一定可控，这就是形 三、 线性定常系统的线性变换（10） 与该状态方程对应的可控性矩阵 是一个右下三角阵，其主 对角线元素均为1，故 ，系统一定可控，这就是形 如上式中 的称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵 形如

三、 线性定常系统的线性变换（11） 一个可控系统，当 不具有可控标准型，一定可以 选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为 三、 线性定常系统的线性变换（11） 一个可控系统，当 不具有可控标准型，一定可以 选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为 进行 变换，即令 变换为 要求

三、 线性定常系统的线性变换（12） 下面具体推导变换矩阵 ： 设变换矩阵 为 根据 阵变换要求， 应满足变换要求，有 展开为

三、 线性定常系统的线性变换（13） 经整理有

三、 线性定常系统的线性变换（14） 由此可得变换矩阵 又根据 阵变换要求， 应有 即

三、 线性定常系统的线性变换（15） 故 该式表明 是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出 变换矩阵 的求法如下： 1）计算可控性矩阵 ； 三、 线性定常系统的线性变换（15） 故 该式表明 是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出 变换矩阵 的求法如下： 1）计算可控性矩阵 ； 2）计算可控性矩阵的逆阵 ，设一般形式为 3）取出 的最后一行（即第 行）构成 行向量

三、 线性定常系统的线性变换（16） 2、对偶原理 4）构造阵 5） 便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。 三、 线性定常系统的线性变换（16） 4）构造阵 5） 便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。 2、对偶原理 在研究系统的可控性和可观测性时，利用对偶原理常常 带来许多方便。

三、 线性定常系统的线性变换（17） 设系统为 ，则系统 为系统 的对偶系统。其动态方程分别为 三、 线性定常系统的线性变换（17） 设系统为 ，则系统 为系统 的对偶系统。其动态方程分别为 其中， 均为 维状态向量； 均为 维向量； 均为 维向量。注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量 的维数是相交换的。当 为 的对偶系统时， 也是 的对 偶系统 。不难验证，系统 的可控性矩阵 与对偶系统 可观测性矩阵 完全相同；

三、 线性定常系统的线性变换（18） 系统 的可观测性矩阵 与对 偶系统 的可控性矩阵 完全相同。 三、 线性定常系统的线性变换（18） 系统 的可观测性矩阵 与对 偶系统 的可控性矩阵 完全相同。 应用对偶原理，把可观测的单输入－单输出系统化为可 观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问 题。设单输入－单输出系统动态方程为 系统可观测，但 不是可观测标准型。其对偶系统动态方 程为 对偶系统一定可控，但不是可控标准型。可利用已知的化为 可控标准型，再一次使用对偶原理，便可获得可观测标准型。 下面仅给出其计算步骤：

三、 线性定常系统的线性变换（19） 1）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵 ） 2）求 的逆阵 ，且记为行向量组 三、 线性定常系统的线性变换（19） 1）列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵 ） 2）求 的逆阵 ，且记为行向量组 3）取 的第 行 ，并按下列规则构造变换矩阵

三、 线性定常系统的线性变换（20） 4）求 的逆阵 ，并引入 变换即 ，变换后 记方程为 三、 线性定常系统的线性变换（20） 4）求 的逆阵 ，并引入 变换即 ，变换后 记方程为 5）对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测 标准型，结果为 与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标 准型需要进行 变换，即令

三、 线性定常系统的线性变换（21） 3、非奇异线性变换的不变特性 其中 为原系统可观测性矩阵的逆阵中第 行的转置。 三、 线性定常系统的线性变换（21） 其中 为原系统可观测性矩阵的逆阵中第 行的转置。 3、非奇异线性变换的不变特性 通过研究将会表明，系统经过非奇异线性变换，系统 的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持 不变。下面以 变换为例进行论证。 设系统动态方程为 令 ，变换后动态方程为

三、 线性定常系统的线性变换（22） （1）变换后系统特征值不变 变换后系统的特征值为 可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于 三、 线性定常系统的线性变换（22） （1）变换后系统特征值不变 变换后系统的特征值为 可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于 非奇异线性变换，系统特征值具有不变性。

三、 线性定常系统的线性变换（23） （2）变换后系统传递矩阵不变 变换后系统的传递矩阵为 三、 线性定常系统的线性变换（23） （2）变换后系统传递矩阵不变 变换后系统的传递矩阵为 这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传 递矩阵对于非奇异线性变换具有不变性。

三、 线性定常系统的线性变换（24） （3）变换后系统可控性不变 变换后系统可控性矩阵的秩为 三、 线性定常系统的线性变换（24） （3）变换后系统可控性不变 变换后系统可控性矩阵的秩为 其中， 为变换后系统的可控性矩阵； 为变换前系统的 可控性矩阵。可见，变换后与变换前系统可控性矩阵的秩相 等，根据系统可控性的秩判据可知，对于非奇异线性变换， 系统的可控性不变。

三、 线性定常系统的线性变换（25） （4）变换后系统可观测性不变 设变换后系统的可观测性矩阵为 ，变换前系统的可观测 性矩阵为 ，则有 三、 线性定常系统的线性变换（25） （4）变换后系统可观测性不变 设变换后系统的可观测性矩阵为 ，变换前系统的可观测 性矩阵为 ，则有 可见，变换后与变换前系统的可观测性矩阵的秩相等，故系 统的可观测性不变。

三、 线性定常系统的线性变换（26） 4、线性定常系统的结构分解 从可控性和可观测性出发，状态变量便可分为可控可观 三、 线性定常系统的线性变换（26） 4、线性定常系统的结构分解 从可控性和可观测性出发，状态变量便可分为可控可观 测 、可控不可观测 、不可控可观测 、不可控不 可观测 四类。由对应状态变量构成的子空间也分为四类， 因而系统也对应分成了四类子系统，称为系统的结构分解， 也有的参考文献称此为系统的规范分解。 研究方法是选取一种特殊的线性变换，使原来的状态向 量 变换成 ，相应地使原动态方程 中的矩阵 变换成某种标准构造的形式。

三、 线性定常系统的线性变换（27） （1）系统按可控性的结构分解 设不可控系统的动态方程为 若系统可控性矩阵的秩为 ，则可从可控性矩阵中 三、 线性定常系统的线性变换（27） （1）系统按可控性的结构分解 设不可控系统的动态方程为 若系统可控性矩阵的秩为 ，则可从可控性矩阵中 选出 个线性无关的列向量 ，另外再任意选取 尽可能简单的 个 维列向量 ，使它 们与 线性无关，则就可以构成非奇异变换矩阵 对动态方程进行非奇异线性变换

三、 线性定常系统的线性变换（28） 方程便变换为下列的规范表达式： 式中， 为 维可控状态子向量； 为 维不可控状 态子向量，并且

三、 线性定常系统的线性变换（29） 展开规范表达式，有 将输出向量进行分解，令 ，则可得子系统动态 方程，其中可控子系统动态方程为 三、 线性定常系统的线性变换（29） 展开规范表达式，有 将输出向量进行分解，令 ，则可得子系统动态 方程，其中可控子系统动态方程为 不可控子系统动态方程为

三、 线性定常系统的线性变换（30） 上述系统结构分解方式称之为可控性规范分解，系统方块图 如图所示。

三、 线性定常系统的线性变换（31） 系统结构的可控性规范分解具有下列特点： 1）由于

三、 线性定常系统的线性变换（32）

三、 线性定常系统的线性变换（33） 因而 维系统 是可控的，并且和系统 具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统 三、 线性定常系统的线性变换（33） 因而 维系统 是可控的，并且和系统 具有相同的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统 时，可以等价地用分析子系统 来代替， 由于后者维数降低了很多，可能会使分析变变得简单。 2）输入 只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子 系统无关，故 至 之间的传递函数矩阵描述不能反映不可 控部分的特性，这就从物理意义上进一步说明了可控子系统 和系统 具有相同的传递函数矩阵。

三、 线性定常系统的线性变换（34） 但是，不可控子系统对整个系统的影响是存在的，不可忽视。 三、 线性定常系统的线性变换（34） 但是，不可控子系统对整个系统的影响是存在的，不可忽视。 因而要求 仅含稳定特征值，以保证整个系统稳定，并且 考虑到可控子系统的状态响应 和整个系统的输出响应 均与不可控子系统的状态 有关。 3）由于选取非奇异变换阵 的列向量 及 的非惟一性，虽然系统可控性规范分解的形式 不变，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是惟一的。 设一个可控性规范分解系统为 ，

三、 线性定常系统的线性变换（35） 另一个可控性规范分解系统为 ， 则 与 的阶数均为 。这是因为

三、 线性定常系统的线性变换（36） 4）由于 故 的稳定性完全由 的特征值 决定； 的 稳定性完全由 的特征值 决定，而 三、 线性定常系统的线性变换（36） 4）由于 故 的稳定性完全由 的特征值 决定； 的 稳定性完全由 的特征值 决定，而 都是 的特征值。 称为系统的可控因子或可控振型， 称为不可控因子或不可控振型。对于不同的分解， 如 和 ，虽然诸系数矩阵不相同，但可 控因子和不可控因子是相同的，这是由于非奇异线性变换不 改变系统特征值的缘故。

三、 线性定常系统的线性变换（37） 5）可控性规范分解表达式也为系统的可控性判别提供了一 三、 线性定常系统的线性变换（37） 5）可控性规范分解表达式也为系统的可控性判别提供了一 个准则，即线性定常系统完全可控的充分必要条件是，系统 经过非奇异线性变换不能化成规范表达式的形状，其中 的阶数 。按照上面所述的非奇异线性变换阵 的选 取方法，利用计算机进行线性变换计算，可以比较容易地确 定系统 的可控性。对于维数较大系统的可控性判 别，这是一种较好的方法。

三、 线性定常系统的线性变换（38） 例： 已知系统 ，其中 试按可控性分解为规范形式。 解： 系统可控性矩阵为 故系统不可控。

三、 线性定常系统的线性变换（39） 从可控性矩阵中选出两个线性无关的列向量 和 ，附加任意列向量 ，构成非奇异变 换阵 三、 线性定常系统的线性变换（39） 从可控性矩阵中选出两个线性无关的列向量 和 ，附加任意列向量 ，构成非奇异变 换阵 计算矩阵 和变换后的各矩阵

三、 线性定常系统的线性变换（40） 可控子系统动态方程为 不可控子系统动态方程为

三、 线性定常系统的线性变换（41） （2）系统按可观测性的结构分解 系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可 三、 线性定常系统的线性变换（41） （2）系统按可观测性的结构分解 系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可 控性结构分解的结果。设不可观测系统的动态方程为 系统的可观测性矩阵为 ，在 中任意选取 个线性无关的行向量 。

三、 线性定常系统的线性变换（42） 此外再选取 个与之线性无关的行向量 ，构成 非奇异线性变换阵 对不可观测系统进行非奇异线性变换

三、 线性定常系统的线性变换（43） 可得系统结构按可观测性分解的规范表达式 式中， 为 维可观测状态子向量； 为 维不可观测 三、 线性定常系统的线性变换（43） 可得系统结构按可观测性分解的规范表达式 式中， 为 维可观测状态子向量； 为 维不可观测 状态子向量，并且

三、 线性定常系统的线性变换（44） 展开上式，有 可观测子系统动态方程为 不可观测子系统动态方程为

三、 线性定常系统的线性变换（45） 系统的结构方块图如图所示。

三、 线性定常系统的线性变换（46） 设 与可控性规范分解相类似，称系统 为系统 的可观测规范分解。可观测性规范分解也有与可控性规范分 三、 线性定常系统的线性变换（46） 设 与可控性规范分解相类似，称系统 为系统 的可观测规范分解。可观测性规范分解也有与可控性规范分 解相类似的分析和结论。

三、 线性定常系统的线性变换（47） 例： 已知系统 ，其中 试将系统按可观测性分解为规范形。 解：系统的可观测性矩阵为

三、 线性定常系统的线性变换（48） 故系统不可观测。从可观测性矩阵中选取两个线性无关行向 量 和 ，再选取一个与之线性无关的行 三、 线性定常系统的线性变换（48） 故系统不可观测。从可观测性矩阵中选取两个线性无关行向 量 和 ，再选取一个与之线性无关的行 向量 ，构成非奇异变换矩阵 ， 计算变换后各矩阵

三、 线性定常系统的线性变换（49） 可观测子系统记方程为 不可观测子系统动态方程为

三、 线性定常系统的线性变换（50） （3）系统结构的规范分解 对于不可控和不可观测的线性定常系统 三、 线性定常系统的线性变换（50） （3）系统结构的规范分解 对于不可控和不可观测的线性定常系统 通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其变换 关系推导如下： 先对系统进行可控性分解，即引入状态变换 式中 基于系统可控性矩阵来构造。

三、 线性定常系统的线性变换（51） 继而对可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换 式中 基于可控子系统的可观测性矩阵来构造。最后对不 三、 线性定常系统的线性变换（51） 继而对可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换 式中 基于可控子系统的可观测性矩阵来构造。最后对不 可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换 其 基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。

三、 线性定常系统的线性变换（52） 综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系： 引入 变换后，可将不可控和不可观测系统变换为下列规 三、 线性定常系统的线性变换（52） 综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系： 引入 变换后，可将不可控和不可观测系统变换为下列规 范构造形式：

三、 线性定常系统的线性变换（53） 展开上两式，可得可控、可观测子系统动态方程 可控、不可观测子系统动态方程 不可控、可观测子系统动态方程

三、 线性定常系统的线性变换（54） 不可控、不可观测子系统动态方程 系统的特征值由 矩阵的特征值集合 而成。系统的传递函数矩阵为

三、 线性定常系统的线性变换（55） 式中“ ”表示因比较复杂而未具体写出的矩阵表达式。 三、 线性定常系统的线性变换（55） 式中“ ”表示因比较复杂而未具体写出的矩阵表达式。 由前分析可知，整个线性定常系统的传递函数矩阵与可控、 可观测子系统的传递函数矩阵相同，这就是说，对于不可控 又不可观测的线性定常系统，其输入－输出描述即传递函数 矩阵只能描述系统中可控且可观测的那一部分，是对系统结 构的一种不完全描述。只有当系统可控且可观测时，输入－ 输出描述才足以表征系统的结构，即描述是完全的。