算 術 平 均 數 中 位 數 眾 數 與 全 距 自我評量

算術平均數 從報紙與網路上常可以看到一些生活上的平均資料，例如：民眾平均每月花357元買報紙、平均一天看報紙34.6分鐘、平均每月撥打手機803元、平均每天上網56.99分鐘。 再如：從表2-7中可以知道在民國94年每100個家庭有99.5臺彩色電視機；如果要你用一個數字來表示在民國94年每100個家庭有多少輛汽車，你的回答應該就是58.4輛。

表2-7 民國94年每100個家庭家用設備平均數量統計表 彩色電視機 冷暖氣機 汽車 機車 行動電話 家用電腦 每100個家庭 99.5 85.7 58.4 80.9 86.2 63.2 將所有資料的總和除以資料的總次數，稱為這組資料的算術平均數。

三年2班中的10位同學在周休二日的讀書時間如下表，試求這10位同學在周休二日的平均讀書時間。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 搭配習作P25基礎題1 1求算術平均數 三年2班中的10位同學在周休二日的讀書時間如下表，試求這10位同學在周休二日的平均讀書時間。 學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 讀書時間（小時）

解 ∵讀書時間的總和為 4＋2＋6＋9＋10＋4＋5＋6＋7＋6＝59 ∴平均讀書時間為59÷10＝5.9（小時）

正義網路公司在民國96年每個月的營業額如下表，試求該公司在民國96年每個月的平均營業額。 月分(月) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 營業額(萬元) 50 40 15 25 30 20 45 35 （50＋40＋15＋25＋30＋40＋5＋30＋20＋45＋35＋25）÷12＝30（萬元）

2 求算術平均數 右圖是心怡在民國96年 每個月所存金額的折線 圖，則心怡在民國96年 平均每個月存多少元？ 解 搭配習作P26基礎題4 2 求算術平均數 右圖是心怡在民國96年 每個月所存金額的折線 圖，則心怡在民國96年 平均每個月存多少元？ 解 ∵存錢的總和為6＋8＋8＋4＋8＋6＋8＋10＋6＋6＋12＋8＝90 ∴平均每個月存錢：90÷12＝7.5（百元）＝750（元）

右圖是大大速食店在民 國96年每個月營業額的 直方圖，試求大大速食 店在民國96年每個月的 平均營業額。 （10＋35＋10＋20＋25＋15＋30＋35＋15＋15＋20＋10）÷12 ＝20（萬元）

當資料數據非常多時，通常只會呈現整理過的次數分配表或折線圖等，因此，我們只能求出其算術平均數的近似值。 例如：正義國中全校學生體重次數分配表如 下：

表2-8 正義國中全校學生體重次數分配表 體重（公斤） 次數（人） 體重(公斤) 40∼45 30 65∼70 390 45∼50 140 70∼75 300 50∼55 200 75∼80 40 55∼60 250 80∼85 70 60∼65 320 合計 1740

…… 該校全體學生體重算術平均數的算法如下： 40∼45公斤的「組中點」為（40＋45） ÷2＝42.5；  步驟1先算出各組的組中點： 40∼45公斤的「組中點」為（40＋45） ÷2＝42.5； 45∼50公斤的「組中點」為（45＋50） ÷2＝47.5。 ……

步驟2 將各組的次數乘以組中點： 40∼45公斤的「次數×組中點」為 30×42.5＝1275； 45∼50公斤的「次數×組中點」為 140×47.5＝6650。 … 步驟3 將各組次數乘以組中點的數值相加得 其總和： 1275＋6650＋10500＋14375＋20000＋ 26325＋21750＋3100＋5775＝109750 將上述三個步驟的結果記錄在下一頁表2-9：

表2-9 正義國中全校學生體重次數分配表 體重(公斤) 次數（人） 組中點 次數×組中點 40∼45 30 42.5 1275 45∼50 140 47.5 6650 50∼55 200 52.5 10500 55∼60 250 57.5 14375 60∼65 320 62.5 20000 65∼70 390 67.5 26325 70∼75 300 72.5 21750 75∼80 40 77.5 3100 80∼85 70 82.5 5775 合計 1740 109750

 步驟4 將總和除以總次數即可得算術平均數：（四捨五入到小數第二位） 109750÷1740≒63.07（公斤）

搭配習作P26基礎題3 請完成三年乙班全班同學英文成績次數分配表，並求出英文成績的平均分數。 3000÷40＝75（分） 三年乙班全班同學英文成績次數分配表 成績(分） 次數（人） 組中點 次數×組中點 50∼60 6 60∼70 8 70∼80 10 80∼90 12 90∼100 4 合計 40 55 330 65 520 75 750 85 1020 95 380 3000

中位數 一組數值資料中有極端數據時，若只用算術平均數來表示所調查資料的平均值，不僅無法了解這群資料數值的實際分布情形，有時還會扭曲我們對調查對象的了解。例如：有11人在等公車，他們的年齡(單位：歲)分別如下： 11、12、12、12、13、13、17、17、18、18、77 平均年齡＝（11＋12＋12＋12＋13＋13＋17＋17＋18＋18＋77）÷11＝20（歲）

如果以平均年齡20歲做為這11人的年齡代表，可能會對整組數值資料產生錯誤的認知，如果將這11人的年齡由小到大排列，然後取最中央的年齡13歲做為這11人的年齡代表，似乎就比較合理，此時13歲就稱為這群人的中位數。

通常對於給定的一組資料，將資料的數值由小到大排列： (1)若資料的個數是奇數個，則最中央的一個資 料數值是中位數。 (2)若資料的個數是偶數個，則最中央的兩個資 料數值的平均值是中位數。

3 求中位數 試求數值資料6、14、3、32、20、43、10、23、28、9、18、30 的中位數。 把資料由小到大排列： 3、6、9、10、14、18、20、23、28、30、32、43共有12筆數值資料，12是偶數，最中央的兩筆資料是第6筆及第7筆，第6筆的資料是18，第7筆的資料是20，18與20的平均是19。 ∴這組資料的中位數是19。 解

試求數值資料11、15、3、1、17、23、5、31、9、18、27、29、21、7、13 的中位數。 由小排到大為：1、3、5、7、9、11、13、15、17、18、21、23、27、29、31共15 筆資料，最中央的資料是15，∴中位數是15。

三年3班共40人，每人投籃10次，進球數如下表，試求進球數的中位數。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 搭配習作P25基礎題2 4 求中位數 三年3班共40人，每人投籃10次，進球數如下表，試求進球數的中位數。 進球數（球） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 次數（人）

解 ∵三年3班共有40人，將進球數由小排到大，最 中央的兩筆資料是第20筆與第21筆， 第20筆與第21筆的進球數都是5球。 0、1、1、1、1、2、2、2、2、2、3、3、3、3、 4、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5、5、6、6、⋯ 第20筆與第21筆的進球數都是5球。 ∴進球數的中位數為5 球。 1人 4人 5人 4人 5人 7人 第20筆 第21筆

三年乙班每位同學家庭人口數的次數分配表如下表，試求該班同學家庭人口數的中位數。 3 4 5 6 7 8 9 10 12 2 1 家庭人口數（人） 3 4 5 6 7 8 9 10 戶數 12 2 1 共8＋12＋7＋4＋2＋2＋1＋1＝37（戶） 又第19戶的人數是4 人， 故家庭人口數的中位數是4 人。

右表是三年甲班體重次數分配表，試問該班同學體重的中位數在哪一組？ 三年甲班體重次數分配表 搭配習作P26基礎題3、4 5 求中位數 右表是三年甲班體重次數分配表，試問該班同學體重的中位數在哪一組？ 體重 (公斤) 次數(人) 45∼50 6 50∼55 8 55∼60 12 60∼65 65∼70 4 70∼75 3 75∼80 1 合計 40 三年甲班體重次數分配表

由累積次數表可知第20位與第21位的體重在55∼60公斤 解 體重 (公斤) 相對次數 (％) 累積相對次數 （％） 45∼50 6 50∼55 8 14 55∼60 12 26 60∼65 32 65∼70 4 36 70∼75 3 39 75∼80 1 40 合計 100 ∵全班共40人，故最中央的兩位是第20位與第21位 由累積次數表可知第20位與第21位的體重在55∼60公斤 ∴中位數在55 ∼ 60 公斤的那一組。

右表是三年丙班數學成績次數分配表，該班同學數學成績的中位數在哪一組？ 體重 (公斤) 次數(人) 30∼40 3 40∼50 5 50∼60 8 60∼70 9 70∼80 7 80∼90 90∼100 合計 40 共40 人， ∴最中央兩人是第20人與第21人， 又第20人與第21人的成績在60∼70分， 故中位數在60∼70分這一組

眾數與全距 百貨公司或零售商常常會記錄哪一個廠牌的銷售量最好，或哪一個型號的物品最暢銷，藉此做為下次進貨的依據。因此他們會統計一群資料中，有哪些出現的次數最多，而出現次數最多的資料，就稱為這群資料的眾數。

搭配習作P25基礎題1 6 求眾數 三年1班有20人，他們的體重（單位：公斤）分別為：42、53、58、78、47、51、53、65、67、72、53、50、55、53、68、49、70、63、65、51，則這群人體重的眾數是多少公斤？ 將這20人的體重由小到大依序排列為： 42、47、49、50、51、51、53、53、53、53、 55、58、63、65、65、67、68、70、72、78 出現最多次是53，故眾數是53公斤。 解

公園裡有一群人，他們的年齡（單位：歲）分別為：42、13、25、9、51、18、17、19、18、12、42、23、65、18、54、11、8、38、68、33，則這群人年齡的眾數是幾歲？ ∵18 歲出現的次數最多，∴眾數是18 歲。

校慶運動會時，三年4班訂做班服，套量衣服時，得到班上訂購各種型號的數量如下表，則該班訂做班服型號的眾數是哪一個？ S M L XL XXL 7 求眾數 校慶運動會時，三年4班訂做班服，套量衣服時，得到班上訂購各種型號的數量如下表，則該班訂做班服型號的眾數是哪一個？ 型號 S M L XL XXL 數量（件） 4 8 15 10 3 從表中可知，型號L的數量為15件最多， 故該班訂做班服型號的眾數是型號L 。 解

三年5班訂購午餐的數量如下表，則該班訂購午餐的眾數是哪一種？ 種類 雞排飯 排骨飯 牛肉飯 滷肉飯 咖哩飯 素食 數量(人) 7 12 8 6 4 3 ∵ 訂排骨飯有12 人最多， ∴ 眾數是排骨飯。

一般而言，在全部數值資料中，最大數值與最小數值的差稱為全距，全距愈大表示這筆資料數值的差異性愈大。 8 求全距 怡如班上男生投籃進球數一覽表如下，試求進球數的全距。

座號 進球數(球) 1 7 3 13 2 4 8 14 5 9 15 6 10 16 11 17 12 18 進球數最多為8球，最少為0球， 8－0＝8， 故進球數的全距是8球。 解

電池工廠的測試員取了10個電池，若以小時為單位，測試使用壽命的結果（單位：小時）分別為42、13、25、9、51、18、17、12、23、65，則這10個電池使用壽命的全距是多少小時？ 由小排到大為：9、12、13、17、18、23、25、42、51、65， ∴最多是65 小時，最少是9小時， 故電池使用壽命的全距是65－9＝56（小時）

從前面的例子可以知道大部分數值資料的算術平均數、中位數與眾數，這三者的數據非常接近，甚至相等。但若有極端資料（即距離中位數非常遙遠的數據）時，這三者就會有一些差距。我們來看下面的一些例子： 班上13位男生，他們口袋裡的零錢（單位：元）分別為：5、10、20、30、50、50、50、60、60、65、75、80、95，則其算術平均數、中位數與眾數都是50元。

班上13位女生，她們口袋裡的零錢（單位：元）分別為：5、8、10、12、15、20、20、20、30、50、50、60、350。則其算術平均數為50元、中位數為20元、眾數為20元，這三個數據就會出現很大的差異。（因為有極端資料350 元）

1.算術平均數： 將一組數值資料的總和除以這組資料的總次數，稱為這組資料的算術平均數。 2.中位數： 將資料的數值由小到大排列， (1)若資料的個數是奇數個，則最中央的資 料數值是中位數。 (2)若資料的個數是偶數個，則最中央的兩 個資料數值的平均值是中位數。

3.眾數： 一群資料中出現次數最多的資料稱為這群資料的眾數。 4.全距： 全部數值資料中，最大數值與最小數值的差稱為全距。

(1)平均體重是多少公斤？（個位以下四捨五 入） (2)全距是多少公斤？ 2-2 自我評量 1.有15人的體重（單位：公斤）分別如下： 56、67、87、45、46、60、45、72、52、58、 56、45、63、50、60回答下列問題： (1)平均體重是多少公斤？（個位以下四捨五 入） (2)全距是多少公斤？

由小排到大為：45、45、45、46、50、52、56、56、58、60、60、63、67、72、87， (1)平均體重＝（45×3＋46＋50＋52＋56×2＋ 58＋60×2＋63＋67＋72＋87）÷15 ≒57（公 斤） (2)全距＝87－45＝42（公斤）

2.右表是雅慧班上同學國文成績的次數分配表，則該班同學國文成績的中位數在哪一組？ 成績(分) 次數(人) 40∼50 5 50∼60 8 60∼70 9 70∼80 12 80∼90 7 90∼100 合計 50 共50人， 又第25人與第26人在70∼80分，故中位數在70∼80分這一組。

3.下圖是仁傑班上同學星期假日上網時間次數分配折線圖，則平均上網時間是多少小時？ 平均上網時間＝（0.5×1＋1.5×3＋2.5×6＋3.5×5＋4.5×6＋5.5×8＋6.5×5＋7.5×4＋8.5×2）÷40＝4.7（小時）

4.三年2班學生購買參考書籍的數量表如下，回答下列問題： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 數量(本) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 次數(人) 1 (1)中位數是多少本？ (2)眾數是多少本？ (1)共50人，第25人與第26人購買的數量都是7本，∴中位數是7 本。 (2)購買7本的人數有9人最多∴眾數是7 本。