通信原理

通信原理 第3章 随机过程

第3章 随机过程 3.1 随机过程的基本概念 一、定义 随机过程是一类随时间作随机变化的过程 3.1 随机过程的基本概念 一、定义 随机过程是一类随时间作随机变化的过程 它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看： 角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。

第3章 随机过程 【例】n台示波器同时观测并记录 n 台接收机（性能相同，工作条件相同）的输出噪声波形 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。 随机过程： (t) ={1 (t), 2 (t), …, n (t)} 是全部样本函数的集合。

第3章 随机过程 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n}是一个随机变量，记为 (t1)。 换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。

第3章 随机过程 二、随机过程的分布函数 设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。 随机过程 (t)的一维分布函数： 随机过程 (t)的一维概率密度函数： 若上式中的偏导存在的话。

第3章 随机过程 随机过程 (t) 的二维分布函数： 随机过程 (t)的二维概率密度函数： 若上式中的偏导存在的话。 随机过程 (t) 的n维分布函数： 随机过程 (t) 的n维概率密度函数：

第3章 随机过程 三、 随机过程的数字特征 均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值 式中 f (x1, t1) －  (t1)的概率密度函数 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为 t，x1改为 x，这样上式就变为

第3章 随机过程  (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :

第3章 随机过程 方差 方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。 因为 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。 均方值 均值平方

第3章 随机过程 相关函数与协方差函数 （自）相关函数 式中，  (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 协方差函数 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) －  (t)的二维概率密度函数。

第3章 随机过程 相关函数和协方差函数之间的关系 若a(t1) = a(t2)= 0，则B(t1, t2) = R(t1, t2) 互相关函数 式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。

第3章 随机过程 3.2 平稳随机过程 一、平稳随机过程的定义 定义： 3.2 平稳随机过程 一、平稳随机过程的定义 定义： 若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。

第3章 随机过程 性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变 数字特征： 可见，（1）其均值与 t 无关，为常数a； 　　　该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变 它的一维分布函数与时间 t 无关： 而二维分布函数只与时间间隔  = t2 – t1 有关： 数字特征： 可见，（1）其均值与 t 无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔  有关。

第3章 随机过程 广义平稳： 根据严平稳的数字特征， （1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。 　　　根据严平稳的数字特征， （1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。

第3章 随机过程 二、各态历经性 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数 x(t) 来决定平稳过程的数字特征? 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 下面，我们来讨论各态历经性的条件。

第3章 随机过程 各态历经性条件 设：x(t)是平稳过程 (t) 的任意一次实现（样本）， 则其时间均值和时间相关函数分别定义为： 如果平稳过程使下式成立 则称该平稳过程具有各态历经性。

第3章 随机过程 “各态历经”的含义是： 随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经性的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。

第3章 随机过程 [例3-1] 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【解】(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望

第3章 随机过程 自相关函数 令t2 – t1 = ，得到 可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。

第3章 随机过程 (2) 求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。

第3章 随机过程 证明某过程满足各态历经性的一般方法： 　1、先证明是广义平稳的 a. b. 　2、再证明其满足各态历经性（求时间均值）

第3章 随机过程 三、平稳过程的自相关函数 平稳过程自相关函数的定义： 平稳过程自相关函数的性质 — (t) 的平均功率 —  的偶函数 — R() 的上界 即自相关函数 R() 在  = 0 有最大值。 — (t) 的直流功率 表示平稳过程 (t) 的交流功率。当均值为 0 时，有 R(0) = 2 。

第3章 随机过程 四、平稳过程的功率谱密度 定义： 对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为 式中，FT ( f )是f (t)的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数

第3章 随机过程 对于平稳随机过程 (t) ，可以把f (t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，故 (t)的功率谱密度可以定义为

第3章 随机过程 功率谱密度的计算 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有 维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有 简记为 以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。

第3章 随机过程 在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论： 对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率： 上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。 【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即 两边取傅里叶变换： 即 式中

第3章 随机过程 功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有 和 这与R()的实偶性相对应。

第3章 随机过程 [例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct +  )的自相关函数和功率谱密度。 【解】在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为 因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有 以及由于有 所以，功率谱密度为 平均功率为

第3章 随机过程 功率谱密度的意义 可用来描述随机过程的频域特性 可用来描述通信系统中的滤波器及其它器件对信号与噪声的影响 PSD的积分面积等于平稳过程的总功率 与相关函数构成一对傅里叶变换，从而建立起频域与时域之间的联系

随机过程(t)的任一样本（属于功率型确定信号） 第3章 随机过程 功率谱密度的求法 直接法：由定义求 间接法：先求自相关函数，再进行傅里叶变换 求统计平均 fT( t ) 的频谱函数 f ( t ) 的截短函数 随机过程(t)的任一样本（属于功率型确定信号）

第3章 随机过程 3.3 高斯随机过程（正态随机过程） 3.3.1 定义 3.3 高斯随机过程（正态随机过程） 3.3.1 定义 如果随机过程  (t) 的任意 n 维（n =1,2,...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。 n 维正态概率密度函数表示式为： 式中

第3章 随机过程 式中 |B| － 归一化协方差矩阵的行列式，即 |B|jk －行列式|B|中元素bjk的代数余因子

第3章 随机过程 3.3.2 重要性质 1、由高斯过程的定义式可以看出，高斯过程的 n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差（一阶统计特性）和归一化协方差（二阶统计特性）。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。 2、广义平稳的高斯过程也是严平稳的。 因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的 n 维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。

第3章 随机过程 3、如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的 4、高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有 j  k，有bjk =0，则其概率密度可以简化为 4、高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程 也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。

第3章 随机过程 3.3.3 高斯随机变量 一维概率密度函数 3.3.3 高斯随机变量 一维概率密度函数 定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为 式中 a － 均值  2 － 方差 曲线如右图：

第3章 随机过程 性质 f (x)对称于直线 x = a，即

第3章 随机过程 一维分布函数——正态分布函数 在数字系统的抗噪声性能分析中，有时需要计算高斯随机变量 ξ 小于或等于某一取值 x 的概率 P(ξ ≤x)。它就等于概率密度函数 f (x) 的积分， 　即 这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数表示，然后用查表的方法求出。

第3章 随机过程 用误差函数表示 正态分布函数 a、误差函数 令 则有 于是 式中 ——误差函数，可以查表（P473）求出其值 erf (x) 是增函数， erf (0)=0， erf (∞)=1，且 erf (−x)= −erf (x) (x ≥ a )

第3章 随机过程 b、互补误差函数 式中 当 x > 2时可取近似， 　erfc (x) 是减函数， erfc (0)=1， erfc (∞)=0， 且 erfc(− x)= 2−erfc (x) x ≤ a

第3章 随机过程 还可以用 Q 函数来表示，处理方法与误差函数类似，请大家自己看书。 于是，用误差函数表示 正态分布函数为 　于是，用误差函数表示 正态分布函数为 　用误差函数表示 F(x)的好处是便于数值计算，它特性简明，有助于分析通信系统的抗噪声性能。 还可以用 Q 函数来表示，处理方法与误差函数类似，请大家自己看书。

第3章 随机过程 用Q函数表示正态分布函数： Q函数定义： Q函数和erfc函数的关系： Q函数和分布函数F(x)的关系：

第3章 随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 确知信号通过线性系统（复习） ： 随机信号通过线性系统： 3.4 平稳随机过程通过线性系统 确知信号通过线性系统（复习） ： 式中 vi － 输入信号， vo － 输出信号 对应的傅里叶变换关系： 随机信号通过线性系统： 假设：i(t) －是输入，为平稳随机过程， a －均值， Ri() － 自相关函数， Pi() － 功率谱密度； 求输出过程o(t)的统计特性，即它的均值、自相关函数、功率谱以及概率分布。

第3章 随机过程 输出过程 o(t) 的均值 对下式两边取统计平均： 得到 设输入过程是平稳的 ，则有 式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。相对于输入放大了H(0)倍。

第3章 随机过程 输出过程o(t)的自相关函数：根据自相关函数的定义 根据输入过程的平稳性，有 于是 上式表明，输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。

第3章 随机过程 输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换（维纳-辛钦关系） ： 得出 令  =  +  - ，代入上式，得到 即 结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。 应用：由Po( f )的反傅里叶变换求Ro()

第3章 随机过程 输出过程o(t)的概率分布 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。 因为从积分原理看， 可以表示为： 由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和” 也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。 注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征可能不同。

第3章 随机过程 3.5 窄带随机过程 一、什么是窄带随机过程？ 若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f << fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。 　　　可表示为

第3章 随机过程 典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数

第3章 随机过程 二、窄带随机过程的表示式 包络 – 相位形式（准正弦表示式） 式中， a (t) —— 随机包络， c 　 —— 中心角频率 a (t)和 (t)的变化相对于载波 cosct 的变化要缓慢得多。

第3章 随机过程 同相 – 正交形式（莱斯表示式） 将前述准正弦表示式展开 可以展开为 式中 － (t)的同相分量 － (t)的正交分量 同相 – 正交形式（莱斯表示式） 将前述准正弦表示式展开 可以展开为 式中 － (t)的同相分量 － (t)的正交分量 可以看出： (t)的统计特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特性确定。若(t)的统计特性已知，则a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。

第3章 随机过程 三、1. c(t)和s(t)的统计特性 下面假设(t) 均值为 0，方差为 2 数学期望：对下式求数学期望： 得到 因为(t)平稳且均值为零，故对于任意的时间t，都有E[(t)] = 0 ，所以

第3章 随机过程 (t)的自相关函数：由自相关函数的定义式 式中 因为(t)是平稳的，故有

第3章 随机过程 因与时间 t 无关，以下二式自然成立 所以，上式变为 再令 t = π/2c，同理可以求得 所以， R (t)与时间起点无关，只与时间间隔  有关。 由以上分析可知 ，若窄带过程 (t) 是平稳的，则c(t)和s(t)也必然是平稳的。

第3章 随机过程 进一步分析，下两式 应同时成立，故有 上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相关函数。 根据互相关函数的性质，应有 代入上式，得到 上式表明Rsc()是 的奇函数，所以 同理可证

第3章 随机过程 将 代入下两式 得到 即 上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。

第3章 随机过程 根据平稳性，过程的特性与变量 t 无关，故由式 得到 因为(t)是高斯过程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯随机变量，从而c(t) 、 s(t)也是高斯过程。 根据 可知， c(t) 与s(t)在 = 0处互不相关，又由于它们是高斯型的，因此c(t) 与s(t)也是统计独立的。

第3章 随机过程 结论 1 　一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。即有：

第3章 随机过程 三、2. a(t)和(t)的统计特性 联合概率密度函数 f (a ,  ) 根据概率论知识有 由 可以求得

第3章 随机过程 于是有 式中 a  0,  = (0 ~ 2π)

第3章 随机过程 a的一维概率密度函数 可见， a服从瑞利(Rayleigh)分布。

第3章 随机过程 的一维概率密度函数 可见， 服从均匀分布。

第3章 随机过程 结论 2 一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， a(t)与(t)是统计独立的 ，即有

第3章 随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 一、正弦波加窄带高斯噪声的表示式 式中 － 窄带高斯噪声  － 正弦波的随机相位，均匀分布在0 ～2间 A和c － 确知振幅和角频率 于是有

第3章 随机过程 正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式 包络： 相位：

第3章 随机过程 二、正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性 1、包络的概率密度函数 f (z) 利用上一节的结果，如果 值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有 所以，在给定相位 的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为

第3章 随机过程 利用与上一节分析a和相似的方法，根据zc，zs与z，之间的随机变量关系 然后求给定条件下的边际分布， 即

第3章 随机过程 由于 故有 式中 I0(x) － 第一类零阶修正贝塞尔函数 因此 由上式可见，f (, z)与无关，故包络z的概率密度函数为 －称为广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布。

第3章 随机过程 讨论 小信号时，即A  0时，上式中(Az/n2)很小， I0 (Az/n2)  1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。 大信号时，(Az/n2)很大，有 这时上式近似为高斯分布，即

第3章 随机过程 包络概率密度函数 f (z)曲线

第3章 随机过程 正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性 F()

第3章 随机过程 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 白噪声 n (t) 定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 － 双边功率谱密度 或 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 白噪声 n (t) 定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 － 双边功率谱密度 或 － 单边功率谱密度 式中 n0 － 正常数

第3章 随机过程 白噪声的自相关函数 对双边功率谱密度取傅里叶反变换

第3章 随机过程 白噪声的功率 由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即 或 　因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。

第3章 随机过程 讨论 白噪声只有在 τ = 0（同一时刻）时才相关，而在其它任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。 实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它看作白噪声。 如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。 高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

第3章 随机过程 低通白噪声 定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。 功率谱密度 自相关函数 功率谱密度被限制在 | f |  fH 内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。 自相关函数

第3章 随机过程 功率谱密度和自相关函数曲线 由曲线看出，这种带限白噪声只有在 上得到的随机变量才不相关。

第3章 随机过程 带通白噪声 定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。 功率谱密度 设理想带通滤波器的传输特性为 式中 fc － 中心频率，B － 通带宽度 则其输出噪声的功率谱密度为

第3章 随机过程 自相关函数

第3章 随机过程 带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线

第3章 随机过程 窄带高斯白噪声 通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。 窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节窄带随机过程。 平均功率

3.8 小节

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