第2章 电路的基本分析方法 2.1 支路电流法 2.2 回路电流法 2.3 节点电位法

2.1 支路电流法 2.1.1 支路电流法 (1)支路电流法 以支路电流变量为未知量, 根据各个元件上的VAR和电路各节点的KCL、回路的KVL约束关系,建立数目足够且相互独立的方程组,求解出各个支路的电流,进而根据电路的基本关系求得其它未知量,如电压、功率、电位等等。

（2）支路电流法的求解电路的具体步骤 以图2-1-2为例进行说明。 图 2-1-2

图2-1-2所示电路共有个四个节点,六条支路,三个网孔。我们把节点数记为n,支路数记为b,网孔数记为m。若该电路以支路电流为未知量,则共有六个未知量,分别是i1、i2、i3、 i4、i5、i6,其参考方向如图所示。要求得这六个未知数,必须建立六个相互独立的方程联立求解, 如何建立这六个相互独立的方程呢？ 首先,对电路的节点和支路进行编号。图2-1-2对四个节点分别用A、B、C、D进行编号。对各支路进行编号，设定各支路的电流参考方向,如i1、i2……i6。

其次,根据KCL对每一个节点列写一个节点电流方程。这里把流入节点的电流记为正,流出节点的电流记为负。注意：这里的正、负与电流的真实流向无关,仅由参考方向决定。 节点A -i1＋i3＋i4 = 0 (2-1-1) 节点B i1＋i2-i5 = 0 (2-1-2) 节点C -i2-i3＋i6 = 0 (2-1-3) 节点D -i4＋i5-i6 = 0 (2-1-4) 

将节点A、B、C的方程相加得 -i1＋i3＋i4＋i1＋i2-i5-i2-i3＋i6 = 0  即 i4-i5＋i6 = 0 -i4＋i5-i6 = 0 其结果与式(2-1-4)完全相同,所以,节点D的方程不是独立的方程,由此可以推论:具有n个节点的电路,可以列出(n-1)个独立的KCL方程。

再次,根据KVL,沿闭合回路列写电压方程。在列写KVL方程前,先假定所选回路的绕行方向,该电路有七个回路,我们选定三个网孔回路为列写对象,假定绕行方向均为顺时针方向,同时,把沿绕行方向的电压降取为正,电压升取为负。 说明两点:① 绕行方向的假定是任意的;② 这里的电压取正、取负与各电压的真实方向无关,仅由参考方向决定。

网孔回路ABDA包含i1、i4、i5三条支路,有 -us1＋i1R1＋i5R5＋i4R4＋us4= 0 (2-1-5)  网孔回路BCDB包含i2、i5、i6三条支路,有 -i2R2＋us2-i6R6-i5R5 = 0 (2-1-6) 网孔回路ADCA包含i3、i4、i6三条支路,有 -us4-i4R4＋i6R6-us3＋i3R3 = 0 (2-1-7)

至此,六条支路均已包含在三个方程中,如果再列一个回路方程就是非独立方程,例如对回路ABCDA(绕行方向为顺时针方向)可得方程 -us1＋i1R1-i2R2＋us2-i6 R6＋i4R4＋us4= 0  该方程可由式(2-1-5)和式(2-1-6)相加获得。由此可以推论：具有m个网孔的平面电路,可以列出m个独立的KVL方程。 最后,联立六个独立方程求解,即可计算出i1、i2、i3、i4、i5、 i6。

2.1.2 方程的独立性 利用支路电流法求解电路各支路电流时，对于不同的电路，所需列写的独立方程数目有所不同。 （1）对于一个不含电流源（理想电流源和受控电流源）的电路 若电路有n个节点,m个网孔,b条支路,使用支路电流去求解时则必须列写b个相互独立的方程,即  b = (n-1) ＋ m (2-1-8)

其中， b条方程有n-1条KCL方程，有m条KVL方程。 列写节点电流方程时,从n个节点中任意选取n-1个节点。根据KCL依次列出这n-1个节点电流方程，这n-1个节点电流方程就是相互独立的。 列写回路电压方程时,对m个网孔的电路,从电路中选取m个回路,当每一个回路中有一条支路未被其它回路选定时,所列出的m个方程是相互独立的。 （2）对于含有电流源的电路 规律：若电路中有k条含有电流源的支路,则KVL方程减少k个就足可计算出各支路电流。 

例2-1-1 已知图2-1-4所示电路中,us1= 19 V,us2= 12 V,us3= 6 V,R1 = 3 Ω,R2 = 2 Ω,R3 = 3 Ω,R4 = 6 Ω,R5 = 2 Ω,R6 = 1 Ω,求各支路电流。 图 2-1-4

解：该电路共有四个节点A、B、C、D,n=4；三个网孔,m=3;六条支路,b=6。设各支路电流参考方向如图所示,根据KCL列写A、B、C各节点电流方程： 对A点 i1-i3-i4 = 0 对B点 i4-i5-i6 = 0 对C点 i2 ＋ i3 ＋ i5 = 0 根据KVL列写各网孔回路方程: ABDA网孔 i4 R4＋ i6R6＋i1R1-us1= 0 BCDB网孔 i5R5＋us2-i2R2 -i6R6 = 0 ABCA网孔 i4R4＋i5R5＋us3-i3R3= 0

代入数据并整理各方程,得 i1-i3-i4=0 i4-i5-i6=0 i2+i3+i5=0 3i1+6i4+i6=19 2i2-2i5+i6=12 3i3-6i4-2i5=6  解上述方程组,得： i1=3A; i2=1A; i3=2A; i4=1A; i5=-3A; i6 =4A

例2-1-2 已知图2-1-5所示电路中, μ=3,us1=6V, R1=1Ω,R2=12Ω,R3=1.5Ω,求各支路电流。 图 2-1-5

解：n = 2,m = 2, b = 3,各支路电流参考方向如图所示。根据KCL,对节点A有 i1-i2-i3 = 0 假定网孔回路绕行方向如图所示, 根据KVL有 网孔① us1-i1R1-i3R3 = 0 网孔② μu1-i2R2＋i3R3 = 0

代入数据,且考虑到u1= i1R1,整理方程式,得  i1-i2-i3=0 i1+1.5i3=6 3i1-12i2+1.5i3=0 解方程组得  i1 = 3 A,i2 = 1 A,i3 = 2 A  注意：应用支路电流法分析电路,列方程时特别要注意电阻上的电压与电流的参考方向认为是关联的。

小结 1．支路电流法是以完备的支路电流变量为未知量分析电路的一种方法。 2．n个节点,m个网孔,b条支路的电路需要列出b个独立的方程,其中n-1个节点电流方程,m个回路方程,即b = (n-1)＋m。 3．用支路电流法分析电路有四个步骤。 4．对于含有电流源支路的电路,可以用少于b个方程的方程组求得各支路电流。

2.2 回路电流法 2.2.1 网孔电流法 （1）网孔电流 假设有一个电流i在电路中某个网孔中顺时针（或逆时针）流动, 则该假设的电流i就称做网孔电流。 （2）自电阻和互电阻 网孔中只有一个网孔电流流过的电阻,称做该网孔的自电阻(self resistance)。 有两个网孔电流流过的电阻，是这两个网孔的公共电阻, 称做互电阻(mutual resistance),

ijRjj±∑ikRik=usjj (2-2-4) (3)网孔电流法方程： 该网孔电流×自电阻±相邻网孔电流×互电阻=该网孔电源电压代数和,即 ijRjj±∑ikRik=usjj (2-2-4) 式中下标j表示所选定的第j个网孔,k表示与网孔j相邻的第k个网孔（j≠k）。 应用网孔电流法计算出各网孔电流后,再根据支路电流与网孔电流的关系，计算各支路电流：在公共支路上,两网孔电流与支路电流方向相同时网孔电流相加等于支路电流,相反时相减,即支路电流等于网孔电流的代数和。

例2-2-1 图2-2-2是一惠登斯电桥电路,已知Us = 12 V,Ro = 1 Ω,R1 = 4 Ω,R2 = 2 Ω,R3 = 6 Ω,R4 = 2.9 Ω,Rg是电流计电阻,Rg = 1 Ω,求Rg上的电流Ig。 图 2-2-2

解：设各网孔电流方向如图所示。 网孔ABDA IA(R1＋Rg＋R2)＋IBRg-ICR2 = 0 网孔BCDB IB(R3＋Rg＋R4)＋IARg＋ICR4 = 0  网孔ADCA IC(R2＋R4＋Ro)-IAR2＋IBR4 = Us 代入数据整理后为 7IA＋IB-2IC = 0 IA＋9.9IB＋2.9IC = 0 -2IA＋2.9IB ＋5.9IC = 12 解上述方程组，得 IA=0.9300A； IB =-0.8317A；IC= IA + IB =0.0983A。

2.2.2 回路电流法 网孔是一种特殊的回路，把网孔电流法推广到一般情况就称做回路电流法(loop current method)。下面以图2-2-3为例介绍回路电流法。 图 2-2-3

回路电流法实际上是网孔电流法的扩展应用。在图2-2-3所示电路中,如果以网孔电流为未知量,则is应等于ABDA网孔和BCDB网孔电流之和,应对电流源两端的电压ux,需要列四个方程。 实际上is已知。我们假设有一个电流iB在ABCDA回路中流动,则另两个电流分别为在ABDA网孔中流动的iA和在ADCA网孔中流动的电流iC, 这样,iA=is 成了已知量,只需计算iB和iC即可。列方程的方法与网孔电流法完全相同。对回路ABCDA,有 iB(R1＋R3＋R4＋R2)＋iA（R1＋R2)-iC(R2＋R4) = 0 对网孔ADCA,有 iC(R2＋R4＋Ro)-iAR2-iB(R2＋R4) = us

代入iA = is,得 iB(R1+R2+R3+R4)-iC(R2+R4)=-is(R1+R2)=iC(R2+R4+Ro)-iB(R2+R4)=us+isR2 （2-2-5） 求出iB、iC后,流经Ro的电流为iC,流经R1的电流为is＋iB,流经R2的电流为is＋iB-iC,流经R3的电流为iB,流经R4的电流为iB-iC。 注意：回路电流仅对含有电流源支路的电路方程数可以减小,对不含电流源的电路与网孔电流法的方程数相等,不可少列方程,否则无法求解。

例2-2-2 已知图2-2-4所示电路中,Is = 260 A,R1 = R2 = 0. 5 Ω,R3 = 0 例2-2-2 已知图2-2-4所示电路中,Is = 260 A,R1 = R2 = 0.5 Ω,R3 = 0.6 Ω,R4 = 24 Ω,Us = 117 V,用回路电流法求各支路电流。  I1 I2 I3 I4 IA IS IB IC 图2-2-4

IB(R1＋R2＋R3)＋IAR1＋ICR3=UsIC(R3＋R4)＋IBR3 = Us 解：该电路共有三个节点,三个网孔,用支路电流法需要列五个方程,用网孔电流法需要列三个方程,但用回路电流法仅需列两个方程。设各回路电流方向如图所示。 由图知 IB(R1＋R2＋R3)＋IAR1＋ICR3=UsIC(R3＋R4)＋IBR3 = Us 代入数据,且考虑到IA = Is = 260 A,整理方程得   1.6IB＋0.6IC = -13 0.6IB＋24.6IC = 117

解方程组,得  IB =-10 A,IC = 5 A 设各支路电流参考方向如图中所标,则 I1=IA+IB=260+(-10)=250 A I2=-IB=-(-10)=10 A I3=-(IC+IB)=-(5-10)=5 A I4=IC=5 A

例2-2-3 求图2-2-5所示电路中的电流I1、I2、I3。 图 2-2-5

解：该电路含有两个电流源,其中一个是受控电流源,在第1章讲过,受控源在电路分析中与独立电源具有相同的特性。应用回路电流法求解该电路仅需列一个方程。设选定的回路电流参考方向如图中所示,则 IC = I1 = 15 A IB = 因为 U1 =（IB-IA）×3 所以 IB =  列IA网孔回路方程 IA(2＋3＋1)＋IC×2-IB×3 = 0

代入IC=15 A,IB= ,并整理方程得  6IA＋30+ = 0  解方程得 IA =-4 A, 故  I1 = IC = 15 A I2 = IA＋IC = 11 A I3 = IB＋IC = 17 A 

例2-2-4 求图2-2-6所示电路中的电流i。 图 2-2-6

解：该电路含有两个电压源,两个电流源,其中独立电源分别为一个独立电流源和一个独立电压源;受控电源分别为一个受控电压源和一个受控电流源。另外,该电路中的电阻以电导形式给出,列方程时要多加注意。 分析该电路, 最多应列四个回路方程, 但电路有两个电流源,故只需列两个方程即可求解,选择ABCDA回路和AEBA网孔、AEDA网孔以及CDEC网孔作为求解回路, 其电流参考方向如图所示。由图知 iB = 2 A,iD = 2i1,i1 = iB-iA故只需列iA和iC的回路方程。

ABCDA回路 AEDA网孔

代入iB = 2 A,iD = 2i1,i1 = iB-iA= 2-iA和uy = 1/1(iA＋iC)并整理两个方程,得 解方程得 iA = 3.5 A, 故 i = iA = 3.5 A

小结 1．网孔电流法是以假设的网孔电流为未知量,应用KVL列写网孔回路电压方程组分析电路的一种方法,其方程的一般形式为 ijRjj±∑ikR=usjj 2．回路电流法是以假设的回路电流为未知量分析电路的方法,其对于含有电流源支路的电路可以使方程数减少。 3．支路电流等于流经该支路的网孔电流（或回路电流）的代数和。 

2.3 节点电位法 2.3.1 节点电位法 （1）节点电位法： 先求出电路中各节点的电位,然后再根据各点电位后计算各支路电流。 （2）自电导和互电导 只与电路中某一节点直接相连的电导，称为该节点的自电导；与电路中两个节点直接相连的电导，称为这两个节点的互电导。

Gjjvj-∑Gjkvk=isjj（2-3-8） （3）写节点电位方程的一般形式 节点j的电位×与该节点相联的各支路电导之和-相邻节点电位×j节点与相邻节点之间公共支路的电导=流入j节点电流源电流的代数和,即 Gjjvj-∑Gjkvk=isjj（2-3-8） 式(2-3-8)中的下标j表示第j个节点,k表示与节点j有公共支路的第k个节点（j≠k）。 注意：等式左端的∑是求和的意思,右端的isjj是流入节点j的电流源的代数和,流入节点j的电流源取正号,流出节点j的电流源取负号。  

例2-3-1 已知图2-3-3所示电路中Is= 0.5 A,Us= 10 V,计算各电阻上的电流。

解：该电路共有五个节点,六个网孔, 应用回路电流法最少需要列四个方程,而应用节点电位法最少列三个方程,考虑本题电路特点选E点为参考点,则D点电位vD=Us成为已知, 只需列A、B、C三个节点的电位方程即可。  对A节点,自电导为  A与B节点之间的互电导为

A与D节点之间的互电导为 对B节点,自电导为 B与A节点之间的互电导为

B与C节点之间的互电导为 对C节点,自电导为 C与B节点之间的互电导为

C与D节点之间的互电导为 B与C节点之间的电流源支路电阻无穷大,电导等于零。列节点电位方程为： 节点A G11vA-G12vB-G14vD = 0 节点B G22vB-G21vA-G23vC = -Is 节点C G33\vC-G32vB-G34vD= Is

代入已知数据并考虑vD=Us=10 V,得  1.2vA-vB-0.1×10=0 2.5vB-vA-0.5vC=-0.5 1.25vC-0.5vB-0.25×10=0.5 解该方程组得  vA =1.7 V,vB = 1.04 V,vC = 2.8 V 设各电流参考方向如图中所标,则各电阻电流分别为 

2.3.2 节点电位法的注意事项 节点电位法的注意事项如下： (1) 选择参考点时,其一,原则上选择任何一个节点均可以,但习惯上使参考点与尽可能多的节点相邻,这样,求出各节点电位后计算支路电流较方便;其二,若电路含有理想电压源支路,应选择理想电压源支路所连的两个节点之一作参考点,这样,另一点的电位等于理想电压源电压,使方程数减少。若二者发生矛盾,应优先考虑第二点。

(2) 与理想电流源串联的电阻对各节点电位不产生任何影响,这是因为理想电流源的等效内阻为无穷大的缘故。 (3) 与理想电压源并联的电阻两端电压恒定,对其它支路电流不产生任何影响,故也不影响各节点电位的大小。 (4) 对含有受控源的电路,在列写节点方程时先将受控源与独立源同样对待,需要时再将控制量用节点电位表示。 (5) 节点电位法和回路电流法都能减少方程数,简化计算过程,而且规律性较强,对一个电路选用节点电位法还是回路电流法,要视电路而定。一般来说,节点数小于网孔数时,选节点电位法;反之选回路电流法。但是,当电路中具有公共节点的理想电压源,且支路较多时,选节点电位法;若电路中含电流源支路较多时,应选用回路电流法。

(6) 前面所讨论的是具有三个和三个以上节点的电路,若电路中仅有两个节点(如图2-3-4所示电路),应用节点电位法最为简单,该电路的电位方程为 vA(G1＋G2＋G4) = us1G1-us2G2＋Is＋us3G4 可直接计算出vA,这一特殊情况下的节点电位法称做弥尔曼定理(Millman's theorem)。

图 2-3-4

例2-3-2 用节点电位法重解例2-1-2。  图 2-3-5

解：该电路具有两个节点,两个网孔,显然,用节点电位法计算较为简单。为了方便,将电路重画于图2-3-5,选B为参考点。 考虑到u1= us1-vA,则方程为

整理方程得 代入数据解得vA = 3 V, 故

例2-3-3 应用节点电位法重解例2-2-2。 图 2-3-6

解：为了方便将其重画于图2-3-6,且选C点为参考点,方程为： 节点A 代入数据并整理方程组,得 4vA-2vB = 260 89vB-48vA = 4680 

解方程组得  vA = 125 V, vB = 120 V 设各支路电流参考方向如图中所标,则

例2-3-4 计算图2-3-7所示电路中通过检流计的电流Ig。 解：该电路共有四个节点,三个网孔,应用节点电位法选择B点或D点为参考点,仅需要列写A点和C点的节点电位方程即可求解。以D点为参考点。 vB = Us = 6 V 对A点  

图2-3-7

则方程为 vAG11-vBG12-vCG13=0 vCG33-vAG31-vBG32= 0 代入数据并整理后,得 23vA-3vC = 30 19vC-4vA = 60 解方程组得

小结 1．节点电位法是以电路中某一节点为参考点,根据KCL列出其它节点电位方程,联立求解各节点电位,再利用欧姆定律和KVL计算支路电流的一种分析方法。 2．在节点电位法方程中,等式左端的给定节点电位乘自电导取正号,相邻节点电位乘互电导取负号,等式右端为流入给定节点电流源电流的代数和。 3．应用节点电位法分析电路时需注意六个方面的问题,以列出尽可能少的方程,使计算过程简化。