第二章 直流电路 §2-1 串联电路 §2-2 并联电路 §2-3 混联电路 §2-4 直流电桥 §2-5 基尔霍夫定律 §2-6 叠加原理 §2-7 电压源与电流源的等效变换 §2-8 戴维南定理

§2-1 串联电路

一、电阻的串联 把多个元件逐个顺次连接起来，就组成了串联电路。

电阻串联电路的特点 （1）电路中流过每个电阻的电流都相等。 （2）电路两端的总电压等于各电阻两端的分电压之和，即 U = U1 ＋ U2 ＋ … ＋ Un

电阻串联电路的特点 （3）电路的等效电阻（即总电阻）等于各串联电阻之和，即 R = R1 ＋ R2 ＋ … ＋ Rn

电阻串联电路的特点 （4）电路中各个电阻两端的电压与它的阻值成正比，即 上式表明，在串联电路中，阻值越大的电阻分配到的电压越大；反之电压越小。

电阻串联电路的特点 若已知R1和R2两个电阻串联，电路总电压为U,可得分压公式如下图所示

二、电阻串联电路的应用 a.获得较大阻值的电阻 b.限制和调节电路中电流

c.构成分压器 d. 扩大电压表量程

例题 有一只万用表，表头等效内阻Ra = 10 kΩ,满刻度电流（即允许通过的最大电流）Ia = 50 µA,如改装成量程为10 V的电压表，应串联多大的电阻？ 解： 按题意，当表头满刻度时，表头两端电压Ua为 Ua = IaRa = 50×10－6×10×103 = 0.5 V 设量程扩大到10V需要串入的电阻为Rx,则

三、电池的串联 当用电器的额定电压高于单个电池的电动势时，可以将多个电池串联起来使用，称串联电池组。

设串联电池组是由n个电动势都是E，内阻都是r的电池组成，则 串联电池组的总电动势 串联电池组的总内阻

§2-2 并联电路

一、并联电路 把多个元件并列地连接起来，由同一电压供电，就组成了并联电路。

电阻并联电路的特点 （1）电路中各电阻两端的电压相等，且等于电路两端的电压。 （2）电路的总电流等于流过各电阻的电流之和，即

电阻并联电路的特点 （3）电路的等效电阻（即总电阻）的倒数等于各并联电阻的倒数之和，即

电阻并联电路的特点 （4）电路中通过各支路的电流与支路的阻值成反比，即 上式表明，阻值越大的电阻所分配到的电流越小，反之电流越大。

电阻并联电路的特点 若已知和两个电阻并联，并联电路的总电流为I，可得分流公式如下：

二、电阻并联电路的应用 （1）凡是额定工作电压相同的负载都采用并联的工作方式。这样每个负载都是一个可独立控制的回路，任一负载的正常启动或关断都不影响其他负载的使用。 （2）获得较小阻值的电阻。 （3）扩大电流表的量程。

三、电池的并联 有些用电器需要电池能输出较大的电流，这时可用并联电池组。

设并联电池组是由n个电动势都是E，内阻都是r的电池组成，则 并联电池组的总电动势 并联电池组的总内阻

§2-3 混联电路

电路中元件既有串联又有并联的连接方式称为混联。 对于电阻混联电路的计算，只需根据电阻串、并联的规律逐步求解即可，但对于某些较为复杂的电阻混联电路，比较有效的方法就是画出等效电路图，然后计算其等效电阻。

例题 图中R1 = R2 = R3 = 2Ω，R4 = R5 = 4Ω，试求A、B间的等效电阻RAB。

解： 1. 按要求在原电路中标出字母C，如下左图所示。 2. 将A、B、C各点沿水平方向排列，并将R1-R5依次填入相应的字母之间。R1与R2串联在A、C间，R3在B、C之间，R4在A、B之间，R5在A、C之间，即可画出等效电路图，如上右图所示。

3. 由等效电路可求出AB间的等效电阻，即：

除上述方法外，其他的方法还有利用电流的流向及电流的分、合，画出等效电路图方法；利用电路中各等电位点分析电路，画出等效电路等。 无论哪一种方法，都是将不易看清串、并联关系的电路，等效为可直接看出串、并联关系的电路，然后求出其等效电阻。

例题 灯泡A的额定电压U1 = 6V，额定电流I1 = 0 例题 灯泡A的额定电压U1 = 6V，额定电流I1 = 0.5A；灯泡B的额定电压U2 = 5V，额定电流I2 = 1A。现有的电源电压U = 12V，如何接入电阻使两个灯泡都能正常工作？ 解： 利用电阻串联的分压特点，将两个灯泡分别串上R3与R4再予以并联，然后接上电源，如右图所示。

下面分别求出使两个灯泡正常工作时，R3与R4的额定值。 所以，R3应选12Ω/3W的电阻。

（2）R4两端电压为： R4的阻值为：

R4的额定功率为： P4 = U4I2 = 7 × 1 = 7W 所以，R4应选7Ω/7W的电阻。 混联电路上功率关系是：电路中的总功率等于各电阻上的功率之和。

§2-4 直流电桥

电桥是测量技术中常用的一种电路形式。本节只介绍直流电桥。 一、直流电桥平衡条件 电桥是测量技术中常用的一种电路形式。本节只介绍直流电桥。 图中的四个电阻都称为桥臂，Rx是待测电阻。B、D间接入检流计G。

调整R1、R2、R三个已知电阻，直至检流计读数为零，这时称为电桥平衡。电桥平衡时B、D两点电位相等，即 UAB = UAD UBC = UDC 因此 R1I1 = RxI2 R2I1 = RI2 可得 R1R = R2Rx 电桥的平衡条件是：电桥对臂电阻的乘积相等。

利用直流电桥平衡条件可求出待测电阻Rx的值。 为了测量简便，R1与R2之比常采用十进制倍率，R则用多位十进制电阻箱使测量结果可以有多位有效数字，并且选用精度较高的标准电阻，所以测得的结果比较准确。

二、不平衡电桥 电桥的另一种用法是：当Rx为某一定值时将电桥调至平衡，使检流计指零。当Rx有微小变化时，电桥失去平衡，根据检流计的指示值及其与Rx间的对应关系，也可间接测知Rx的变化情况。同时它还可将电阻Rx的变化换成电压的变化，这在测量和控制技术中有着广泛的应用。

1. 利用电桥测量温度 把铂（或铜）电阻置于被测点，当温度变化时，电阻值也随之改变，用电桥测出电阻值的变化，即可间接得知温度的变化量。

2. 利用电桥测量质量 把电阻应变片紧贴在承重的部位，当受到力的作用时，电阻应变片的电阻就会发生变化，通过电桥电路可以把电阻的变化量转换成电压的变化量，经过电压放大器放大和处理后，最后显示出物体的质量。

§2-5 基尔霍夫定律

电路只有3个电阻，2个电源，似乎很简单，可是你试一试，能用电阻串、并联化简，并用欧姆定律求解吗？ 显然不能

如果要求计算不平衡的直流电桥，也会遇到同样的困难。 不能用电阻串、并联化简求解的电路称为复杂电路。 分析复杂电路要应用基尔霍夫定律。

电路的基本术语 支路 电路中的每一个分支称支路。它由一个或几个相互串联的电路元件所构成。含有电源的支路称有源支路，不含电源的支路称无源支路。 节点 3条或3条以上支路所汇成的交点称节点。 回路和网孔 电路中任一闭合路径都称回路。一个回路可能只含一条支路，也可能包含几条支路。其中，最简单的回路又称独立回路或网孔。

一、基尔霍夫第一定律 基尔霍夫第一定律又称节点电流定律。它指出：在任一瞬间，流进某一节点的电流之和恒等于流出该节点的电流之和，即 ∑I进 = ∑I出

对于节点O有 I1+ I2= I3+ I4 + I5 可将上式改写成 I1+ I2 -I3 - I4- I5 = 0 因此得到 ∑I = 0 即对任一节点来说，流入（或流出）该节点电流的代数和恒等于零。

在应用基尔霍夫第一定律求解未知电流时，可先任意假设支路电流的参考方向，列出节点电流方程。 通常可将流进节点的电流取正，流出节点的电 流取负，再根据计算值的正负来确定未知电流的 实际方向。 有些支路的电流可能是负，这是由于所假设 的电流方向与实际方向相反。

例题 下图电路中，I1= 2A，I2= -3A， I3 = -2A，试求I4。

式中括号外正负号是由基尔霍夫第一定律根据电流的参考方向确定的，括号内数字前的负号则是表示实际电流方向和参考方向相反。 解： 由基尔霍夫第一定律可知 I1－I2 + I3 －I4 = 0 代入已知值 2－（－3）+（－2）－I4 = 0 可得 I4 = 3 A 式中括号外正负号是由基尔霍夫第一定律根据电流的参考方向确定的，括号内数字前的负号则是表示实际电流方向和参考方向相反。

例题 电路如下图所示，求电流I3。

解： 对A节点： 因为 ，所以 。 同理，对B节点： 因为 ，也得 。 由此可知，没有构成闭合回路的单支路电流为零。

基尔霍夫第一定律可以推广应用于任一假设的闭合面（广义节点）。 上图电路中闭合面所包围的是一个三角形电路，它有3个节点。

应用基尔霍夫第一定律可以列出 IA = IAB-ICA IB = IBC-IAB IC = ICA-IBC 上面三式相加得 IA＋IB＋IC = 0 或 ∑I = 0 即流入此闭合面的电流恒等于流出该闭合面的电流。

基尔霍夫第二定律又称回路电压定律。它指出：在任一闭合回路中，各段电路电压降的代数和恒等于零。 二、基尔霍夫第二定律 基尔霍夫第二定律又称回路电压定律。它指出：在任一闭合回路中，各段电路电压降的代数和恒等于零。 用公式表示为 ∑U = 0

电源电动势之和 = 电路电压降之和 攀登总高度 = 下降总高度

按虚线方向循环一周，根据电压与电流的参考方向可列出 UAB + UBC + UCD + UDA = 0 即 E1－I1R1 ＋E2－I2R2 = 0 或 E1 + E2 = I1R1 + I2R2 由此，可得到基尔霍夫第二定律的另一种表示形式 ∑E = ∑IR 即在任一回路循环方向上，回路中电动势的代数和恒等于电阻上电压降的代数和。

在用式∑U = 0时，凡电流的参考方向与回路循环方向一致者，该电流在电阻上所产生的电压降取正，反之取负。电动势也作为电压来处理，即从电源的正极到负极电压取正，反之取负。 在用式∑E = ∑IR时，电阻上电压的规定与用式∑U = 0时相同，而电动势的正负号则恰好相反。

基尔霍夫第二定律也可以推广应用于不完全由实际元件构成的假想回路。 上图电路中，A、B两点并不闭合，但仍可将A、B两点间电压列入回路电压方程，可得 ∑U = UAB + I2R2 - I1R1 = 0

例题 下图电路中，E1 = E2 = 17V，R1 = 2Ω，R2 = 1Ω，R3 = 5Ω，求各支路电流。

1. 标出各支路电流参考方向和独立回路的绕行方向，应用基尔霍夫第一定律列出节点电流方程 I1 + I2 = I3 2. 应用基尔霍夫第二定律列出回路电压方程 对于回路1有 E1 = I1R1 + I3R3 对于回路2有 E2 = I2R2 + I3 R3

整理得联立方程 I2= I3 －I1 2I1 + 5I3 = 17 I2 + 5I3 = 17 3. 解联立方程得 I1 = 1A I2 = 2A I3 = 3A 电流方向都和假设方向相同。

这种以支路电流为未知量，依据基尔霍夫定律列出节点电流方程和回路电压方程，然后联立求解的方法称为支路电流法。 支路电流参考方向和独立回路绕行方向可以任意假设，绕行方向一般取与电动势方向一致，对具有两个以上电动势的回路，则取电动势大的为绕行方向。

§2-6 叠加原理

分析a中电路，两个电源的电动势分别为E1和E2，根据基尔霍夫第二定律可得 I(R1 + R2 + R3) = E1 - E2

再假设E2单独作用，而将E1置零（图c），则电路中电流为 我们现在换一个思路，假设E1单独作用，而将E2置零（图b），则电路中电流为 再假设E2单独作用，而将E1置零（图c），则电路中电流为 电路中的实际电流应为两个电源共同作用的结果，即 I = I´-I〞= 1.5 - 0.5 = 1A （方向与Iˊ相同）

启示 解含有几个电源的复杂电路时，可将其分解为几个简单电路来研究，然后将计算结果叠加，求得原电路的实际电流、电压，这一原理称为叠加原理。 叠加原理只适用于线性电路，即电路的参数不随外加电压及通过其中的电流而变化的电路；而且叠加原理只能用来计算电流和电压，不能直接用于计算功率。

例题 电路如下图所示,用叠加原理求各支路电流。

解: （1）将原电路分解为E1和E2分别作用的两个简单电路，并标出电流参考方向，如下图所示。

（2）分别求出各电源单独作用时各支路电流 在上面左图中，E1单独作用时

在上面右图中，E2单独作用时

（3） 将各支路电流叠加（即求出代数和），得 I1 = I1′- I1″=10-4=6A （方向与I1′相同） I2 = I2″-I2′=5-8=-3A （方向与I2′相同） I3 = I3′+I3″=2+1=3A （方向与I3′、I3″均相同）

§2-7 电压源与电流源的等效变换

电路中的电源既提供电压，也提供电流。 将电源看作是电压源或是电流源，主要是依据电源内阻的大小。 为了分析电路的方便，在一定条件下电压源和电流源可以等效变换。

一、电压源 具有较低内阻的电源输出的电压较为恒定，常用电压源来表征。电压源可分为直流电压源和交流电压源。 实际电压源可以用恒定电动势E和内阻r串联起来表示。

实际电压源以输出电压的形式向负载供电，输出电压（端电压）的大小为U = E－Ir，在输出相同电流的条件下，电源内阻r越大，输出电压越小。若电源内阻r = 0，则端电压U = E，而与输出电流 的大小无关。 我们把内阻为 零的电压源称为 理想电压源，又 称恒压源。

一般用电设备所需的电源，多数是需要它输出较为稳定的电压，这要求电源的内阻越小越好，也就是要求实际电源的特性与理想电压源尽量接近。

具有较高内阻的电源输出的电流较为恒定，常用电流源来表征。 二、电流源 具有较高内阻的电源输出的电流较为恒定，常用电流源来表征。 实际使用的稳流电源、光电池等可视为电流源。 内阻无穷大的电源称为理想电流源，又称恒流源。

实际电流源简称电流源。电流源以输出电流的形式向负载供电，电源输出电流IS在内阻上分流为I0，在负载RL上的分流为IL。

三、电压源与电流源的等效变换 实际电源既可用电压源表示，也可用电流源表示。在满足一定条件时，电压源与电流源可以等效变换。

例题 试将左图中的电压源转换为电流源，将右图中的电流源转换为电压源。

解： （1）将电压源转换为电流源 电流源电流的参考方向与电压源正负极参考方向一致。

（2）将电流源转换为电压源 电压源正负极参考方向与电流源电流的参考方向一致。

注意 电压源与电流源等效变换时，应注意： 1. 电压源正负极参考方向与电流源电流的参考方向在变换前后应保持一致。 2. 两种实际电源模型等效变换是指外部等效，对外部电路各部分的计算是等效的，但对电源内部的计算是不等效的。 3. 理想电压源与理想电流源不能进行等效变换。

例题 电路如下图所示，试用电源变换的方法求R3支路的电流。

（1）将两个电压源分别等效变换成电流源 IS1 = = = 18A IS2 = = = 9A 这两个电流源的内阻仍为R1、R2，两等效电流则分别为 IS1 = = = 18A IS2 = = = 9A

（2）将两个电流源合并成一个电流源。 其等效电流和内阻分别为 IS = IS1 +IS2 = 27A R = R1//R2 = 0.5Ω

（3）最后可求得R3上电流为

例题 如下图所示电路中，既有电压源，又有电流源，并有多条支路，但只有两个节点，求解这 一类电路时，可以 先求出两个节点间 的电压，然后再求 各支路电流，并不 需要去解联立方程。

解: 节点A、B间的电压为：

由此可计算出各支路电流： 上述解法称为节点电压法，用于计算只有两个节点的电路，十分方便。

§2-8 戴维南定理

一、戴维南定理 电压源电动势 E = ISR = 27×0.5 = 13.5V 内阻 R = 0.5Ω R3支路的电流

启示 如果一个复杂电路，并不需要求所有支路的电流，而只要求某一支路的电流，在这种情况下，可以先把待求支路移开，而把其余部分等效为一个电压源，这样运算就很简便了。 戴维南定理所给出的正是这种方法，所以戴维南定理又称等效电压源定理。这种等效电压源电路也称戴维南等效电路。

任何具有两个引出端的电路（也称网络）都可称为二端网络。若在这部分电路中含有电源，就称为有源二端网络，否则称无源二端网络。

戴维南定理指出： 任何有源二端网络都可以用一个等效电压源来代替，电压源的电动势等于二端网络的开路电压，其内阻等于有源二端网络内所有电源不起作用时，网络两端的等效电阻。

注意 1. 戴维南定理只适用于线性有源二端网络，若有源二端网络内含有非线性电阻，则不能应用戴维南定理。 2. 在画等效电路时，电压源的参考方向应与选定的有源二端网络开路电压参考方向一致。

例题 以电桥电路为例，试用戴维南定理求解。 电桥电路如下图所示，已知R1 = 10Ω，R2 = 2.5Ω，R3 = 5Ω，R4=20Ω， E = 2.5V （内阻不计）， R5 = 69Ω，试求 电阻R5上 通过的电流。

解：（1）先移开R5支路，求开路电压UAB

（2）再求等效电阻RAB（注意要将电源除去）

（3）画出等效电路，并将R5接入，则

二、电源向负载输出的功率 电源接上负载后，电源要向负载输送功率，负载要从电源吸收功率。由于电源内阻的存在，电源输出的总功率由电源内阻消耗的功率与外接负载获得的功率两部分组成。如果内阻上的功率较大，负载上获得的功率就较小。那么，在什么情况下，负载才能获得最大功率呢？

设电源电动势为E，内阻为r，负载为纯电阻R，则有 利用（R+r）2 = （R－r）2+4Rr，上式可写成

当R = r 时，上式分母值最小，P值最大，所以负载获得最大功率的条件是：负载电阻与电源的内阻相等，即R=r0，这时负载获得的最大功率为 由于负载获得最大功率也就是电源输出最大功率，因而这一条件也是电源输出最大功率的条件。

当电动势和内阻均为恒定时，负载功率P随负载电阻R变化的关系曲线如下图所示。 以上结论并不仅限于实际电源，而且适用于有源二端网络变换而来的等效电压源。

例题 下图电路中，电源电动势E = 6V，内阻r = 10Ω，电阻R1 = 10Ω，要使R2获得最大功率，R2应为多大？这时R2获得的功率是多少？

解: （1）移开R2支路，将左边电路看成有源二端网络。 （2）将有源二端网络等效变换成电压源。

(3)R2=r0=5Ω时，R2可获得最大功率

当负载电阻与电源内阻相等时，称为负载与电源匹配。这时负载上和电源内阻上消耗的功率相等，电源的效率即负载功率与电源输出总功率之比只有50%。 在电子电路中，因为信号一般很弱，常要求从信号源获得最大功率，因而必须满足匹配条件。但在电力系统中，输送功率很大，如何提高效率就显得非常重要，必须使电源内阻远小于负载电阻，以减小损耗，提高效率。