电路基础 (Fundamentals of Electric Circuits, INF0120002.05) 2016年04月14日 唐长文 教授 zwtang@fudan.edu.cn http://rfic.fudan.edu.cn/Courses.htm 复旦大学/微电子学院/射频集成电路设计研究小组 版权©2016，版权保留，侵犯必究

第六章 正弦交流电路 正弦量的相量表示法 电路定理的相量形式 电路元件的相量形式 阻抗和导纳 正弦交流电路的相量分析法 正弦交流电路的功率 复功率 最大功率传输定理

正弦量的相量表示法 正弦量：泛指所有随时间按正弦变化的电路变量 瞬时值：电路变量在瞬间的量值 正弦量的三要素 振幅(或幅值)Am 初相φi 角频率ω(或频率f)， 相位(或相角)φ，周期T

相位差 两个同频正弦量的相位差就等于它们的初相位差。 v超前i v滞后i 同相 反相 正交

参考正弦量 初始相位为零的正弦量定义为参考正弦量。

有效值 设周期电压v = f(t)与直流V分别作用相同的电阻，若两者做功的平均效果相同，则将此直流值V的量值规定为周期电压v的有效值。 正弦电压的有效值(也称方均根值)：

例题1 如图所示，已知信号频率为50 Hz，纵坐标每格表示10 V。请写出各电压的瞬时表达式。 v1为参考相量

例题2 如图所示电路，电阻R = 1 Ω，电感L = 1 H，电容C = 1 F，电压源vS = cos(t)，试计算电压vR，vL和vC。 KVL方程 假设

利用欧拉公式求解 根据欧拉公式 RLC串联电路

正弦量的相量变换 相量变换 相量反变换 正弦量与相量的关系

相量变换的性质 线性叠加性 微分性 积分性

例题3 写出i1 = 2cos(ωt) A，i2 = 4cos(ωt − 120º) A，i3 = −4cos(ωt − 60º) A和i4 = 2sin(ωt + 45º) A的相量。

例题4 已知电压相量 ， 和 。角频率ω = 1，写出各电压相量所代表的正弦量。

电路定理的相量形式 基尔霍夫电流定律：在正弦交流电路中，流出节点的各支路电流相量的代数和等于零。 基尔霍夫电压定律：在正弦交流电路中，沿任一回路各支路电压相量的代数和等于零。

支路电流法 节点电压法 置换定理 叠加定理 等效电源定理 特勒根定理 互易定理 对偶原理

例题5 如图所示，v3 = 4cos(ωt + 30º) V，v5 = 2cos(ωt − 60º) V，i4 = 2cos(ωt − 120º) A，i5 = 2cos(ωt + 180º) A，求电压v2和电流i2。

根据KVL， 相量图解法

根据KCL， 相量图解法

电路元件的相量形式 电阻 电容 电感 电压源 电流源 受控源 耦合电感 理想变压器

电阻元件 相量模型 伏安特性 相量图和波形图

电容元件 相量模型 伏安特性 相量图和波形图 容抗：1/ωC

电感元件 相量模型 伏安特性 相量图和波形图 感抗：ωL

电压源 相量模型 伏安特性 电压相量 ，电流相量任意。 相量图和波形图

电流源 相量模型 伏安特性 电流相量 ，电压相量任意。 相量图和波形图

受控电压源 相量模型 伏安特性 电压控制电压源， 电流控制电压源， 受控电压源的电流任意。 v1和i1分别表示控制电压和控制电流，控制系数α是无量纲量，控制系数z的量纲是阻抗。

受控电流源 相量模型 伏安特性 电压控制电流源， 电流控制电流源， 受控电流源的电压任意。 v1和i1分别表示控制电压和控制电流，控制系数β是无量纲量，控制系数y的量纲是跨导。

耦合电感 相量模型 伏安特性

理想变压器 相量模型 伏安特性

例题6 如图所示中的仪表为交流电流表，其指示的读数为有效值。表A1的读数为1 A，表A2的读数为2 A,表A3的读数为3 A。求表A和表A4的读数。 有效值相量形式 参考相量 表A读数为1.414 A，表A4的读数为1 A。

例题7 如图所示电路，电阻R = 1 Ω，电感L = 1 H，电容C = 1 F，电压源vS = cos(t)，试计算电压vR，vL和vC。 KVL方程

阻抗和导纳 等效原理 一个不含独立源的一端口电路N,其端口特性可以等效为一个阻抗或者导纳。

阻抗 一端口电路N的端口电压相量与电流相量的比值定义为一端口电路N的(复)阻抗。 其中R为等效电阻分量，X为等效电抗分量。

感性阻抗和容性阻抗 X>0时Z称为感性阻抗，等效电感 X<0时Z称为容性阻抗，等效电容 感性 容性

RLC串联阻抗 ωL = 1/ωC时，感抗与容抗相互抵消,

导纳 一端口电路N的端口电流相量与电压相量的比值定义为一端口电路N的(复)导纳。 其中G为等效电导分量，B为等效电纳分量。

容性导纳和感性导纳 B>0时Y称为容性导纳，等效电容 B<0时Y称为感性导纳，等效电感 容性 感性

RLC并联导纳 ωC = 1/ωL时，容纳与感纳相互抵消,

阻抗和导纳的等效互换 一端口电路N的阻抗Z和导纳Y具有同等效用，彼此可以等效互换。 等效阻抗Z变换为等效导纳Y，即串联转并联等效 等效导纳Y变换为等效阻抗Z，即并联转串联等效

例题8 RLC并联电路，G = 1 mS，L = 2 H，C = 3 μF。试求频率分别为50 Hz和500 Hz的串联等效电路。

正弦交流电路的相量分析法 将电阻推广为阻抗，电导推广为导纳，电压源和电流源推广为电压源和电流源相量，元件模型转换为元件相量模型，就可以按照直流电路的方法来计算正弦交流电路，所列的方程为复系数线性代数方程。根据相量与正弦量的变换，由相量解答即可得到待求电压和电流的幅值和初相，进而得到他们的正弦量表达式。

例题9 如图所示电路，电压源 ,电流源 ，求电流iL。 节点电压法，回路电流法，叠加定理，戴维南等效电路

解法1：节点电压法

解法2：回路电流法

解法3：叠加定理

解法4：戴维南等效电路

例题10 求如图所示电路的戴维南等效电路。

解法1：开路电压VOC 节点电压法

等效阻抗ZEQ

解法2：一步求解法 节点电压法

例题11 列写如图所示电路的回路电流方程和节点电压方程。

回路电流方程 补充方程

节点电压方程 补充方程

例题12 如图所示电路，计算互感一次侧的等效阻抗。

例题13 列写如图所示电路的节点电压方程。

正弦交流电路的功率 瞬时功率

平均功率 功率因数λ和功率因数角φ

功率三角形 有功功率P,单位瓦[特],W 无功功率Q,单位乏，var 视在功率S，单位伏安，VA 有功功率：active power 无功功率：reactive power 视在功率：apparent power

电阻的功率 有功功率：P = VI = V2/R = I2R，无功功率：Q = 0 视在功率：S = P， 功率因数：λ = 1 功率因数角：φ = 0º

电感的功率 有功功率：P = 0 无功功率：Q = VI = V2/ωL = I2ωL > 0 视在功率：S = Q， 功率因数：λ = 0 功率因数角：φ = 90º

电容的功率 有功功率：P = 0 无功功率：Q = −VI = −V2ωC = −I2/ωC < 0 视在功率：S = |Q|， 功率因数：λ = 0 功率因数角：φ = −90º

(串联)阻抗的功率 有功功率：P = I2R， 无功功率：Q = I2X 视在功率：S = VI， 功率因数：λ = cos φz

(并联)导纳的功率 有功功率：P = V2G， 无功功率：Q = −V2B 视在功率：S = VI， 功率因数：λ = cos (−φy) 功率因数角：φ = −φy

RLC串联电路的功率 ωL = 1/ωC时，感抗与容抗相互抵消,

RLC并联电路的功率 ωC = 1/ωL时，容纳与感纳相互抵消,

功率因数的提高：无功补偿 工程上的负责多为感性，为了提高功率因数可以在感性负载两端并联电容。这种利用容性无功功率抵消部分感性无功功率的做法称为无功补偿。 有功功率保持不变。无功功率之差等于补偿电容的无功功率。

例题14 在工频条件下测得某电路的端口电压、电流和功率分别为200 V，3 A和400 W。求此电路的功率因数和串联等效电路。

例题15 感性负载接于220 V 50 Hz市电上，负载的平均功率和功率因数分别为2200 W和0.7。 1. 求负载电流，无功功率和视在功率。 2. 功率因数提高到0.9，需要并联多大的电容？求并联后总负载电流，无功功率和视在功率。

复功率 复功率等于电压相量与电流相量共轭的乘积。

复功率守恒定律 一个电路中各支路吸收复功率的代数和等于零。即，有功功率的代数和等于零；无功功率的代数和也等于零。

例题16 如图所示电路，电压 ， 电流 。求各元件复功率，并判断元件类型。

元件1“发出”复功率 元件1是RC串联 元件2“发出”复功率 元件2是容性电源， 元件3“吸收”复功率 元件3是容性电源， 元件4“吸收”复功率 元件3是电感 复功率守恒

最大功率传输定理 含有内阻的正弦电源 给一个负载供电，负 载获得的功率

获得最大功率的条件: 当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载获得最大功率。也称最大功率匹配，或称共轭匹配。 获得的最大功率： 负载吸收的功率与电源内阻消耗的功率相等。

负载阻抗角不变,模可变的最大功率 负载阻抗 的模 可以改变，而阻抗角不能改变。

获得最大功率的条件: 当只有负载阻抗的模可以改变时，负载获得最大功率的条件是负载阻抗的模等于电源内阻抗的模。 获得的最大功率：

例题17 如图所示，源电压 , 内阻抗 1.图(a)中负载阻抗任意，求负载获得的最大功率。 2.图(b)中通过理想变压器接一电阻负载，RL = 20 Ω，问变比n为多少时，负载RL可以获得最大功率。

1.当 时，负载获得最大功率 2. 戴维南等效电路 当 负载获得的最大功率