Systematic Analysis Methods

電路學的基本問題：求出每個元件的電壓及電流。 被動元件有電壓及電流兩個未知數； 主動元件(即電源)的電壓或電流已知，仍有另一個未知數。 因此含有 𝑠 個電源、𝑑 個被動元件的電路，一共有 𝑠+2𝑑 個未知數。一個複雜的電路含有相當多的未知數。 事實上不必要一次求解這麼多未知數。只要知道所有元件的電壓，其電流可以用歐姆律算出；或者只要知道所有元件的電流，其壓流可以用歐姆律算出。 因此未知數的數量可以大為減少。

再就電壓法說，也並不要同時求所有 𝑑 個元件的電壓；只要知道某幾個點的電壓，就可以求出所元件的電壓。因此又可以大量減少未知數的數目。 這些點稱為節點 (node) 。

補充說明 只連接兩個電阻的節點可忽略。 如下圖中的 𝐵 點不算節點，其電壓毋須另設為未知數。 這是因為以 𝐵 點連接的電阻為串聯，可以合併，其電流相等。 有些書把 𝐵 點稱為 nonessential (不必要) node 。 𝐴 𝐵

節點電壓法 辨識節點 (node) 選定地點 (datum node, ground)： 標定節點電壓： 𝑣 𝑚 計算兩點電壓： 𝑣 𝑛𝑚 = 𝑣 𝑛 − 𝑣 𝑚 用歐姆律求電流： 𝑖 𝑏 = 𝑣 𝑛𝑚 𝑅 𝑏 列電流方程式 (KCL)： 𝑖 leaving =0 注意：電壓源須與電阻串聯，否則用 supernode

Supernode 須知 1. 若節點之間僅有電壓源，不串聯其他電阻， 則將這些節點及電壓源視為 supernode； 2. 電壓源兩端節點僅需一個節點電壓未知數。 3. 每個 supernode 列一條電流方程式； 4. 經某元件流出(或流入) supernode 的電流 須用該元件的節點電壓。

流經某元件的電流只有兩種情形： 元件一端為地 元件兩端皆非地 經 𝑅 𝑎 由節點 1 流出的電流： 𝑖 𝑎 = 𝑣 1 𝑅 𝑎 經 𝑅 𝑏 由節點 1 流出的電流： 𝑖 𝑏 = 𝑣 1 − 𝑣 3 𝑅 𝑏 經 𝑅 𝑏 由節點 3 流出的電流： −𝑖 𝑏 = 𝑣 3 − 𝑣 1 𝑅 𝑏

Figure 4.2 只有一個節點電壓未知數： 𝑣 1 KCL 𝑣 1 𝑅 𝑎 + 𝑣 1 − − 𝑣 s 𝑅 𝑏 = 𝑖 s

Example 4.1 Figure 4.3

擇地點 標節點 標電壓 列方程 KCL at node 1: 𝑖 𝑎 − 𝑖 𝑏 − 𝑖 𝑐 =0 Branch currents: 𝑖 𝑎 − 𝑖 𝑏 − 𝑖 𝑐 =0 Branch currents: 𝑖 𝑎 = 18− 𝑣 1 6 , 𝑖 𝑏 = 𝑣 1 12 , 𝑖 𝑐 = 𝑣 1 +60 4 2× 18− 𝑣 1 − 𝑣 1 − 3× 𝑣 1 +60 =0 − 6 𝑣 1 =180−36

Exercise 4.1

Figure 4.5

KCL at node 1: 𝑣 1 −𝑣 𝑠 𝑅 𝑎 + 𝑣 1 𝑅 𝑏 + 𝑣 1 −𝑣 2 𝑅 𝑐 = 𝑖 𝑠 KCL at node 2: 𝑣 2 −𝑣 1 𝑅 𝑐 + 𝑣 2 𝑅 𝑑 + 𝑣 2 −𝑣 3 𝑅 𝑒 =0 KCL at node 3: 𝑣 3 −𝑣 2 𝑅 𝑒 + 𝑣 3 𝑅 𝑓 =− 𝑖 𝑠

Example 4.2

KCL at 1: −1+ 𝑣 1 − 𝑣 2 60∥12 + 𝑣 1 15 + 𝑣 1 −30 6 =0 KCL at 2: 1+ 𝑣 2 − 𝑣 1 60∥12 + 𝑣 2 −50 5 =0 60∥12=10 𝑣 1 − 𝑣 2 10 + 𝑣 1 15 + 𝑣 1 6 =6 𝑣 2 − 𝑣 1 10 + 𝑣 2 5 =9 3× 𝑣 1 − 𝑣 2 +7 𝑣 1 =6×30 𝑣 2 − 𝑣 1 +2 𝑣 2 =90 10 𝑣 1 −3 𝑣 2 =6×30 − 𝑣 1 +3 𝑣 2 =90 𝑣 1 =30 𝑣 2 =40

Example 4.3 𝑣 1 −30 2 + 𝑣 1 − 𝑣 2 10 + 𝑣 1 4 =3 𝑣 2 − 𝑣 1 10 + 𝑣 2 −𝑣 3 5 +1=0 𝑣 3 20 + 𝑣 3 −𝑣 2 5 +3=0 10 𝑣 1 +2 𝑣 1 − 𝑣 2 +5 𝑣 1 =18×20=360 𝑣 2 − 𝑣 1 + 2𝑣 2 −2 𝑣 3 =−10 4 𝑣 3 − 𝑣 2 + 𝑣 3 =−60

未與地點聯接的電壓源稱為 floating 電壓源。 釋義 基準節點 (reference node) 稱為「地點」(gound)。以中文理解，接地稱為「腳踏實地」，若不著地則是「飄浮無根」。 所以不接地的電壓源稱為「飄浮電壓源」(floating voltage source)。

Floating Voltage Sources 飄浮電壓源 未與地點聯接的電壓源稱為飄浮電壓源。 注意：所謂與地點聯接是指電壓源所在的分支 (branch) 與地點聯接，而無須直接聯接。 如原圖，取右邊節點為地，則 15 V 電壓源與 48 V 電壓源都接地。 但是若取左邊節點為地，只要把 48 V 電壓源與 6 kΩ 電阻對調，則 48 V 電壓源與24 V 電壓源也都接地。

漂浮電壓源有兩類，一類是所在分支有串聯電阻，第一類 (飄浮) 電壓源的兩端直接就是節點 。 遇到第一類飄浮電壓源，只要按照上述步驟列電 流方程式 (KCL) 即可。 第二類飄浮電壓源的電流未知，因此無法寫所在 節點的電流方程式。 為了規避此未知電流，將此電壓源及其兩端節點 視為 supernode，進出此 supernode 的電流與流經 此電壓源電流無關。

把第二類飄浮電壓源及兩端節點視為 supernode 有兩個優點：既無需考慮電壓源的電流，兩端節點僅需一個節點電壓未知數。

Supernode 之妙用在於無須考慮內藏電壓源的電流，只須考慮進出 supernode 的電流。

慎選基準節點可以減少未知節點電壓。 把聯接最多電壓源的節點選為基準點。

Example 4.4

Exercise 4.5

Figure 4.14

由節點 2 經 𝑅 𝑑 流出的電流： 由節點 2 經 𝑅 𝑏 流出的電流： 𝑣 2 𝑅 𝑑 𝑣 2 − 𝑣 1 𝑅 𝑏 𝑣 2 + 𝑣 𝑦 − 𝑣 1 𝑅 𝑐 由節點 3 經 𝑅 𝑐 流出的電流： 由節點 3 經 𝑅 𝑒 流出的電流： 𝑣 2 + 𝑣 𝑦 𝑅 𝑒

Example 4.5

Consistent units: 電阻：Ω 電流：A 電壓：V 辨識節點： 一個 supernode 及節點 2 KCL for supernode 𝑣 1 − 𝑣 2 10 + 𝑣 1 −50 5 + 𝑣 1 −30 − 𝑣 2 2 =1 KCL for node 2 𝑣 2 1 + 𝑣 2 − 𝑣 1 10 + 𝑣 2 − 𝑣 1 −30 2 =7

節點電壓矩陣方程式

以上的節點電壓方程式是多元一次聯立方程式。 這是因為我們只考慮線性電路，所有元件的電壓電流關係都是線性，所以當然是一次。 節點電壓的多元一次聯立方程式可用矩陣表示，稱為矩陣節點電壓方程式 (matrix node equation)，其通式為 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 其中係數矩陣 𝐺 由電導組成， 𝑣 由節點電壓未知數組成， 𝑖 𝑠 由電流源或等效電流源組成。

原則上，節點電壓矩陣方程式可用觀察法直接列出，但實際上仍有細微不易透徹了解的細節。 由電路中電壓源的位置 (或稱為拓樸 topology)，可以先依含不含受控電源分為兩大類。 包含受控電源的電路下一節再詳述。 不含受控電源的電路可再分為三種： 一、不含飄浮電壓源； 二、飄浮電壓源毋須用 supernode 三、含有須用 supernode 的飄浮電壓源。 只有第一種可以用觀察法直接列矩陣，第二種課本就用電源變換法，把電壓源變換微電流源。 第三種就根本避而不談。 以下討論這三種電路。

先前已經列出三個節點的電流方程式。因為電阻電流等於電壓除以電阻，為了簡潔起見，改寫為電壓乘以電導，例如： 𝑖 𝑏 = 𝐺 𝑏 𝑣 1 Figure 4.5 因此三個節點的電流方程式為： KCL at node 1: 𝐺 𝑎 𝑣 1 −𝑣 𝑠 + 𝐺 𝑏 𝑣 1 + 𝐺 𝑐 𝑣 1 −𝑣 2 = 𝑖 𝑠 KCL at node 2: 𝐺 𝑐 𝑣 2 −𝑣 1 + 𝐺 𝑑 𝑣 2 + 𝐺 𝑒 𝑣 2 −𝑣 3 =0 KCL at node 3: 𝐺 𝑒 𝑣 3 −𝑣 2 + 𝐺 𝑓 𝑣 3 =− 𝑖 𝑠

把以上聯立方程式依照電壓未知數改寫，例如第一式裡的 𝑣 1 項為： 把以上聯立方程式依照電壓未知數改寫，例如第一式裡的 𝑣 1 項為： 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 𝑣 1 Figure 4.5 因此三個節點的電流方程式再改寫為： KCL at node 1: 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 𝑣 1 − 𝐺 𝑐 𝑣 2 = 𝑖 𝑠 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 KCL at node 2: − 𝐺 𝑐 𝑣 1 + 𝐺 𝑐 + 𝐺 𝑑 + 𝐺 𝑒 𝑣 2 − 𝐺 𝑒 𝑣 3 =0 KCL at node 3: − 𝐺 𝑒 𝑣 2 + 𝐺 𝑒 + 𝐺 𝑓 𝑣 3 =− 𝑖 𝑠

最後用矩陣表示 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 其中 𝐺 = 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 − 𝐺 𝑐 0 − 𝐺 𝑐 𝐺 𝑐 + 𝐺 𝑑 + 𝐺 𝑒 − 𝐺 𝑒 0 − 𝐺 𝑒 𝐺 𝑒 + 𝐺 𝑓 𝑣 = 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 ， 𝑖 𝑠 = 𝑖 𝑠 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 0 − 𝑖 𝑠 Figure 4.5 係數矩陣 𝐺 由電導組成 常數矩陣 𝑖 𝑠 由電流源及電壓源組成。

其次，− 𝐺 𝑚𝑛 等於聯接第 𝑚 個節點與第 𝑛 個節點的總電導。 先討論電導矩陣： 𝐺 = 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 − 𝐺 𝑐 0 − 𝐺 𝑐 𝐺 𝑐 + 𝐺 𝑑 + 𝐺 𝑒 − 𝐺 𝑒 0 − 𝐺 𝑒 𝐺 𝑒 + 𝐺 𝑓 其中每個主對角元素是由所有聯接到某個節電的電導的總和。例如有三個電阻與第一個節點聯接，其電導總和為 𝐺 11 = 𝐺 𝑎 + 𝐺 𝑏 + 𝐺 𝑐 ；依此類推，可以由觀察直接寫出 𝐺 22 與 𝐺 33 。 其次，− 𝐺 𝑚𝑛 等於聯接第 𝑚 個節點與第 𝑛 個節點的總電導。 Figure 4.5 例如 2 與 3 兩個節點之間的電阻為 𝑅 𝑒 ，所以 − 𝐺 23 = 𝐺 𝑒

其次討論電源行矩陣： 𝑖 𝑠 = 𝑖 𝑠 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 0 − 𝑖 𝑠 𝑖 𝑠 = 𝑖 𝑠 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 0 − 𝑖 𝑠 先討論正負。由 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 ，方程式左邊是流出電流，所以右邊是流入電流，以流入為正。電流源 𝑖 𝑠 流入第一個節點，流出第三個節點，所以 𝑖 𝑠3 等於 − 𝑖 𝑠 ，而 𝑖 𝑠1 裡有 + 𝑖 𝑠 。 但是 𝑖 𝑠1 裡還有 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 ，這是電壓源 𝑣 𝑠 產生流經電阻 𝑅 𝑎 的電流。由主動元件的電流流向，這個電流流入第一個節點，等於 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 。 Figure 4.5

課本並未說明其中確定正負的原則。

此例中的電壓源一端接地，不是漂浮電源。 因此另一端電壓為已知定值 + 𝑣 𝑠 ，所以經電阻 𝑅 𝑎 流出第一個節點的電流等於 𝐺 𝑎 𝑣 1 − 𝑣 𝑠 ，其中 − 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 是電壓源的貢獻。 流出 − 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 等於流入 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 由此例可得到一個通則： 接地電壓源的另一端若為正極，其電壓乘以與其串聯的電阻，等於流入節點的電流，須加入電流行矩陣。 仍以第一個節點說明。 電壓源 𝑣 𝑠 所產生流經 𝑅 𝑎 的電流為 + 𝐺 𝑎 𝑣 𝑠 ，流入第一個節點，須加入 𝑖 𝑠1 。

先辨識節點，取基準點。 以右邊節點為基準接地。 並對調 30 V 電壓源與 6Ω 電阻，則兩個電壓源都不是漂浮。

用觀察法即可寫下電導矩陣 𝐺 = 1 60 + 1 12 + 1 15 + 1 6 − 1 60 − 1 12 − 1 60 − 1 12 1 60 + 1 12 + 1 5 其次寫下電源行矩陣 𝑖 𝑠 流入第一個節點的電流有二：電流源 1A 流入，電壓源 30V 經由電阻 6Ω 流入第一個節點。因此 𝑖 𝑠1 =1+ 1 6 × 30 流入第二個節點的電流有二：電流源 1A 流出，電壓源 50V 經由電阻 5Ω 流入第二個節點。因此 𝑖 𝑠2 =−1+ 1 5 × 50

其次寫下電源行矩陣 𝑖 𝑠 = 1+ 1 6 × 30 −1+ 1 5 × 50 因此矩陣節點電壓方程式為： 1 60 + 1 12 + 1 15 + 1 6 − 1 60 − 1 12 − 1 60 − 1 12 1 60 + 1 12 + 1 5 𝑣 1 𝑣 2 = 1+ 1 6 × 30 −1+ 1 5 × 50

1+5+4+10 60 − 1+5 60 − 1+5 60 1+5+12 60 𝑣 1 𝑣 2 = 6 9 20 60 − 6 60 − 6 60 18 60 𝑣 1 𝑣 2 = 6 9 1 3 − 1 10 − 1 10 3 10 𝑣 1 𝑣 2 = 6 9

1 3 − 1 10 − 1 10 3 10 𝑣 1 𝑣 2 = 6 9 10 −3 −3 9 𝑣 1 𝑣 2 = 180 270 ∆= 10 −3 −3 9 =81 ∆ 1 = 180 −3 270 9 =9×180+3×270=90× 18+9 =90×27 ∆ 2 = 10 180 −3 270 =2700+3×180=90× 30+6 =90×36

𝑣 1 = ∆ 1 ∆ = 90×27 81 =30V 𝑣 2 = ∆ 2 ∆ = 90×36 81 =40V 𝑖 𝑎 = 30− 𝑣 1 6 =0 𝑖 𝑏 = 50− 𝑣 2 5 =2A

Consistent units: mA， kΩ， V 𝐺 = 1 2 + 1 4 + 1 10 − 1 10 0 − 1 10 1 5 + 1 10 − 1 5 0 − 1 5 1 5 + 1 20

𝑖 𝑠 = 3+ 30 2 −1 −3 = 18 −1 −3 𝑣 = 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 2 𝐺 = 1 2 + 1 4 + 1 10 − 1 10 0 − 1 10 1 5 + 1 10 − 1 5 0 − 1 5 1 5 + 1 20 = 17 20 − 1 10 0 − 1 10 3 10 − 1 5 0 − 1 5 1 4 其實三階行列式並不會比較容易計算。 第一式 17 20 𝑣 1 − 1 10 𝑣 2 =18⟹ 𝑣 1 = 2 17 𝑣 2 + 360 17

第三式 − 1 5 𝑣 2 + 1 4 𝑣 3 =−3⟹ 𝑣 3 = 4 5 𝑣 2 −12 代入第二式 − 1 10 𝑣 1 + 3 10 𝑣 2 − 1 5 𝑣 3 =−1 − 𝑣 1 +3 𝑣 2 −2 𝑣 3 =−10 − 2 17 𝑣 2 + 360 17 +3 𝑣 2 −2 4 5 𝑣 2 −12 =−10 − 2 17 +3− 8 5 𝑣 2 = 360 17 −34 −2+51 17 − 8 5 𝑣 2 = 360 17 −34 49×5−17×8 𝑣 2 =5×360−34×17×5 109 𝑣 2 =−1090 ∴ 𝑣 2 =−10

𝑣 2 =−10 代入 𝑣 1 = 2 17 𝑣 2 + 360 17 𝑣 3 = 4 5 𝑣 2 −12 ∴ 𝑣 1 = 360−20 17 =20 ∴𝑣 3 =− 4 5 ×10−12=−20

先辨識節點，把右上角電壓源與電阻對調，讓上半的兩個電壓源聯接於共同節點。 取基準點接地。 因此只有兩個未知節點電壓： 𝑣 1 與 𝑣 2 最下方的 48 V 電壓源兩端未接地，因此是飄浮電壓源。

把下方的電壓源與電阻對調，則 6Ω 電阻左端的電壓為固定已知：+24V。 Consistent units: mA, kΩ, V. 𝑣 = 𝑣 1 𝑣 2 ， 𝐺 = 1 4 + 1 2 + 1 1 − 1 1 − 1 1 1 1 + 1 3 + 1 6 = 7 4 −1 −1 9 6 𝑖 𝑠 = − 1 4 ×24 + 1 6 ×24+ 1 3 ×15 = −6 9

7 4 −1 −1 9 6 𝑣 1 𝑣 2 = −6 9 7 −4 −4 6 𝑣 1 𝑣 2 =4× −6 9 ∆= 7 −4 −4 6 =26 ∆ 1 =4× −6 −4 9 6 =4×0=0 ∆ 2 =4× 7 −6 −4 9 =4×39 𝑣 1 = ∆ 1 ∆ =0， 𝑣 2 = ∆ 2 ∆ = 4×39 26 =6V 𝑖 𝑎 = 15− 𝑣 2 3 = 15−6 3 =3 mA， 𝑖 𝑎 = − 𝑣 1 2 =0mA

第三種是含有須用 supernode 的飄浮電壓源

此題雖然甚為簡單，但是可以推演出矩陣法的通則。 先依照未知數重新整理方程式： KCL for supernode 1 10 + 1 5 + 1 2 𝑣 1 − 1 10 + 1 2 𝑣 2 =1+ 50 5 + 30 2 KCL for node 2 − 1 10 + 1 2 𝑣 1 + 1 10 + 1 2 + 1 1 𝑣 2 =7+ −30 2

KCL for supernode 1 10 + 1 5 + 1 2 𝑣 1 − 1 10 + 1 2 𝑣 2 =1+ 50 5 + 30 2 此式左邊的係數為電阻，分為兩類： 所有與 supernode 點聯接的電阻組成 𝑣 1 的係數，聯接此點與第二個節點的電阻組成 𝑣 2 的係數，這是因為由此節點向第二個節點流出的電流為 𝑣 1 − 𝑣 2 𝑅 𝑛 因為此式中的節點是 supernode，所以有兩個電阻與第二個節點聯接： 10Ω 與 2Ω。

KCL for supernode 1 10 + 1 5 + 1 2 𝑣 1 − 1 10 + 1 2 𝑣 2 =1+ 50 5 + 30 2 但是 𝑣 1 還有一個係數 1 5 ，這是經由 5Ω 電阻聯接已知電壓為 50V 的節點。 此項的來源為 𝑣 1 −50V 5Ω

KCL for supernode 1 10 + 1 5 + 1 2 𝑣 1 − 1 10 + 1 2 𝑣 2 =1+ 50 5 + 30 2 此式右邊為電流或等效電流，分為兩類： 第一類是與 supernode 點聯接的電流源 1A，以流入為正。

KCL for supernode 1 10 + 1 5 + 1 2 𝑣 1 − 1 10 + 1 2 𝑣 2 =1+ 50 5 + 30 2 右邊電流的第二類是經由 5Ω 電阻與已知電壓 (50 V) 的節點聯接，電壓源的等效電流為 50 5 𝐴，以流入節點為正。這種項來源為 𝑣 1 −50V 5Ω

KCL for supernode 1 10 + 1 5 + 1 2 𝑣 1 − 1 10 + 1 2 𝑣 2 =1+ 50 5 + 30 2 右邊電流還有一項也屬於第二類，是經由 2Ω 電阻的電流，這是因為 supernode 裡面包含 30 V 的電壓源，因為流入節點故為正。這種項來源為 𝑣 1 −30V − 𝑣 2 2Ω

𝐺 = 1 5 + 1 10 + 1 2 − 1 10 − 1 2 − 1 10 − 1 2 1 1 + 1 2 + 1 10 = 8 10 − 6 10 − 6 10 16 10 = 1 5 4 −3 −3 8 𝑖 𝑠 = 1+ +30 2 + 50 5 7+ −30 2 = 26 −8 ∆= 1 25 4 −3 −3 8 = 23 25 ∆ 1 = 1 5 26 −3 −8 8 = 184 5 ∆ 2 = 1 5 4 26 −3 −8 = 46 5

𝑣 1 = ∆ 1 ∆ = 184 5 ∙ 25 23 =40 V 𝑣 2 = ∆ 2 ∆ = 46 5 ∙ 25 23 =10 V

節點電壓矩陣方程式 (總結) 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 電導係數矩陣 𝐺 主對角元素 𝐺 𝑛𝑛 是所有與第 𝑛 個節點連接的電導的總和。 非對角元素 − 𝐺 𝑛𝑚 是所有連接第 𝑛 個節點與第 𝑚 個節點的電導的總和。 電源行矩陣 𝑖 𝑠 其第 𝑛 個分量 𝑖 𝑠𝑛 是所有流入第 𝑛 個節點的電流源與等效電流源的總和。有三種： 一、沒有飄浮電壓源 二、有飄浮電壓源但毋須 supernode 三、飄浮電壓源須用 supernode

節點電壓矩陣方程式 (評論) 𝐺 𝑣 = 𝑖 𝑠 直接用觀察可以寫下電導係數矩陣 𝐺 與第一種電流源行矩陣。 第二種與第三種電流源行矩陣其實不容易只用觀察。課本用電源變換法處理第二種，其實是畫蛇添足；第三種根本避而不談矩陣法。 最好的方法仍然是用最基本的 KCL，對每一個節點列流出電流，其物理意義最簡單明瞭。

Exercise 4.6