第七章 動能與功 7-2 能量是什麼？ 7-3 動能 7-4 功 7-5 功和動能 7-6 重力所作的功 7-7 彈力所作的功 7-2 能量是什麼？ 7-3 動能 7-4 功 7-5 功和動能 7-6 重力所作的功 7-7 彈力所作的功 7-8 變力所作的功 7-9 功率

7-2 能量是什麼？ 能量是和一個物體、系統有關的數量。 能量可以由一種形式轉換成另一種形式。

7-2 動能 動能 (Kinetic Energy): 和一物體運動狀態有關的能量。 其中 m 是物體質量， v 是速率。 動能的單位是焦耳 (Joule) 1 joule = 1 J = 1 kg˙m2/s2

例 7-1 當1986年在德州 Waco這個地方，Katy鐵路局的Willian Grush將兩個火車頭停在相距6.4km長的鐵軌兩端，然後發動它們，讓它們以全速於30,000個觀眾前正面碰撞。假設火車頭的重量為1.2×106 N，而碰撞前所保持著0.26 m/s2 的加速度，則兩個火車頭碰撞之前的剎那間，總動能為何？

例 7-1

7-4 功 功 W 是將一力作用在物體上，使能量轉移至物體或從物體轉移出來。 能量轉移至物體是正功。 從物體轉移出來是負功。

7-5 功和動能 力F 對物體所作的功為 W = F  d，其中d是物體受力後的位移向量， 是 F 和 d 之間的夾角。

7-5 功和動能 質點動能的變化  在質點所做的淨功

測試站 1： 一質點沿著 x 軸運動，在下列狀況下質點的動能會增加、減少或不變。速度改變(a) 從 -3m/s 到 -2m/s，(b) 從 -2m/s 到 2m/s，(c) 上述兩種情況中，對質點所作的功為正、負或零？

例 7-2 圖為兩個工業間諜正在推動一原為靜止的保險箱，保險箱之質量為225kg，兩間諜沿著直線將保險箱移動了8.50m。間諜1的推力F1=12.0N，方向為向下與水平夾30o角，間諜2的拉力F2=10.0N，方向為向上與水平面夾40o角。若兩間諜施力的方向於保險箱移動的過程中沒有改變，地板與保險箱之間亦無摩擦力。則(a) F1 和 F2 在保險箱位移d其間，對保險箱作的總功為何？(b)此段位移中，重力 Fg 對保險箱作的功 Wg 為何？地板之正向力 N 對保險箱作的 WN 功又為何？(c)保險箱由靜止至移動了8.50m的距離後，其速率 Vf 為何？

例 7-2 (a) (b) (c)

例 7-3 暴風中，一箱子於地板上移動。為使木箱的移動慢下來，風施了一個力F來推它。其中 ，在風推動的過程中，木箱移動的位移為 。則(a)在此位移的過程中，風施的力對木箱作了多少功？(b)若此木箱於位移d開始前具有動能10J，則其於位移後之動能為何？

例 7-3 (a) (b)

測試站 2： 下圖為力作用於盒子上的四種情形，盒子向右滑過無摩擦力的地板而有位移d。若力的大小是相同的，方向則如圖所示。試根據位移時力對盒子作功的情況，由大至小排列之。

垂直上升的物體 ( f = 180o ) Wg = －mgd 垂直掉落的物體 ( f = 0o ) W g = ＋m g d 7-6 重力所作的功 垂直上升的物體 ( f = 180o ) Wg = －mgd 垂直掉落的物體 ( f = 0o ) W g = ＋m g d

7-6 重力所作的功 Dy

例 ex-1 將一個五斗櫃推上一片長4.0 m的活動斜板，來搬上卡車。五斗櫃加上包裝材料的重量是1400 N。搬運工人必須決定要如何把五斗櫃從地面搬到1.0 m高的卡車底座上。 (a)若工人以恆速把五斗櫃直接舉高1.0 m，請求出工人在五斗櫃上做的功。 (b)若工人以恆速把五斗櫃推上4.0 m長的無摩擦力活動斜板，五斗櫃被推的方向與活動斜板平行，請求出工人所做的功。 (c)請求出以上兩種情形中，重力對五斗櫃所做的功。(d)請求出活動斜板的法線力對五斗櫃所做的功。假設所有的力都是恆定的 。

例 ex-1 (a) 在此f=0，因為力和位移的方向是一致的(向上)。 (b) (c) (d)

測試站 3： 假設我們以相同的高度h但較長的斜坡抬起五斗櫃(如上例)，則(a)此時工人所作的功較先前為大、小或相同？(b)此時移動五斗櫃工人所需之力較先前為大、小或相同？

例 7-6 一質量m = 500 kg的升降機正以vi = 4.0 m/s的速率下降，此時控制它的纜繩開始滑動，使它以固定的加速度a = g/5 下降。則(a)當其落下一段距離 d = 12m 時，重力 Fg 對機廂所作的功Wg為何？(b)落下12m時，升降機的纜繩作用於機廂的向上拉力T對機廂所作的功WT為何？(c)在落下過程中，作用於機廂的淨功為何？(d)下落12m的最後，機廂的動能為何？

例 7-6 (a) (b)

例 7-6 (c) (d)

7-7 彈力所作的功 虎克定律 (Hooke’s Law): 彈簧所施的力 正比於彈簧的位移 F =  k d k 稱為力常數 (force constant)。 d -F x kd

7-7 彈力所作的功 若木塊初始的位置為 xi 且移動後末位置為 xf，則 彈力所作的功 xi △x Fj xf x -F kx

測試站 4： 下圖中，木塊沿著x軸的初位置和末位置分別為(a) -3cm , 2cm (b) 2cm, 3cm (c) -2cm, 2cm。上述這些情形，彈力對木塊所作的功為正值、負值或為零？

例 7-8 一質量m = 0.4 kg的木塊在一無摩擦的水平面上以v = 0.5m/s的固定速率滑動。在其行進路徑上，將由於壓縮彈簧而暫時靜止。則彈簧被壓縮的距離d為何？設彈力常數k為 750 N/m。

例 7-8

例 ex-2 在一把射飛標的槍裡(如圖)，當裝上飛標(質量20.0 g) 時，一根k=400.0N/m的彈簧被擠短了80.0 cm。當彈簧被放開時(如圖6.10(b)) 飛標在槍口的速率是多少？ W壓縮彈簧= K飛鏢

7-8 變力所作的功 當一力在作功時並不保持一定(變力),我們並不能直接將其乘上位移來求功. 要求功,首先須將位移分成許多小段,而在這些小位移內,力幾乎可以視為常數,然後將這些小路徑的所有的功加總,以求得全部的功(其實這就是積分).

7-8 變力所作的功

習題 36 當一沿著正x方向的水平力F作用於一重1.5kg的木塊上，木塊最初靜止置於無摩擦力的平面上。若此力的大小為 ，此處x以公尺為單位且木塊的初始位置為x = 0。則(a)當經過x=2.0m時，木塊之動能為何？(b)物體由x = 0運動至x = 2.0m的過程中，木塊之最大動能為何？ (a) (b)

7-9 功率 功率乃能量轉換率或是作功的速率. 在SI單位制下,功率的單位為瓦 (W). 單位: 瓦特 (W) 1 瓦特 = 1 W = 1 J/s 1 馬力 = 1hp = 746 W。 對一沿著直線運動的物體，若有定力 F 作用其上使其運動速率為 v (F 和直線的夾角為 )，則施力的功率為

測試站 5： 一木塊做等速率圓周運動，而繫住木塊繩索另一端被固定於圓的中心。則繩索中心部分對木塊施力的功率為正值、負值或零？ 因施力方向與木塊移動之方向永遠成90o，故所作之功為零，所以功率即為零。

例 7-11 如圖一盒子於無摩擦的地板向滑動時，有力 F1 與 F2 作用其上，其中 F1 是水平的，其大小為2.0N；F2 大小為4.0N，方向向上與地面夾60o角。盒子在某一瞬間的速率為3m/s。(a)於此瞬間每一力作用於盒子上所造成的功率為何？淨功率為何？在那瞬間淨功率是否有改變？(b)若 F2 的大小改為6.0N，現在淨功率為何？淨功率是否有改變？ For F1： For F2： (能量轉移的淨速率為零) 盒子沒有動能變化，因其速率、所受的力皆無變化，所一淨功率亦無變化。

例 7-11 因淨功率為正直，故動能會增加，即表示盒子的速率會增加，故只有速率為3m/s時之瞬間功率為3W。

問：4, 6, 10 習： 2, 11,17, 25, 37, 40