第六章 能量與能量轉換

Ch06 能量和能量轉換

能量簡介 能量的概念在科學中是最重要的主題之一。 在宇宙間發生的每一種物理變化都包含了能量轉移或能量變換。 能量這個東西不太容易加以定義。 Ch06 能量和能量轉換

由能量切入來解題 在作用力不足定值的情形下，利用能量方式來描述運動行為十分有用。 包含能量以及能量之間轉換全盤性對問題的探討，將在後續逐步討論。 這些領域可涵蓋生物有機體、工業技術系統以及工程結構等。 Ch06 能量和能量轉換

6.1 系統和環境

系統 系統是指宇宙中的一小部分。 至於系統以外剩下的空間，我們不會對其細節詳加探討。 這種方法是一個簡化的模型。 比較關鍵的技巧是在於如何去界定系統。 Ch06 能量和能量轉換

系統的界定 一個系統可以是 單獨的一個物體或質點 一群物體或質點的集合 空間的某一區域 在大小及形狀上是可變的 Ch06 能量和能量轉換

周遭環境 這是一個將我們所界定的系統包圍起來的另一系統 系統邊界將宇宙分成了系統與環境二個部分 系統的邊界是一個虛構的表面 它不必與實際的邊界完全吻合 系統邊界將宇宙分成了系統與環境二個部分 (周遭)環境是宇宙中除去系統之後剩下的部分 Ch06 能量和能量轉換

6.2 定力所作的功

功 經由定力 F 對系統所做的功 W，它是由力的大小、力作用點所產生位移的大小，以及力與位移間夾角q 的餘弦函數 cosq 三者相乘而來。 Ch06 能量和能量轉換

功 位移是指力作用點所產生的位移 當作用力並沒有在位移的全程持續作用於該點時，則此力不做功 當力的作用方向與力作用點產生位移的方向垂直時，力不做功。 Ch06 能量和能量轉換

關於功的例題 右圖物體右移過程中，正向力 與重力 沒有對物體做功 至於力 則對物體有做功 cos q = cos 90° = 0 右圖物體右移過程中，正向力 與重力 沒有對物體做功 cos q = cos 90° = 0 至於力 則對物體有做功 Ch06 能量和能量轉換

功的單位 功是一種純量 功的單位為焦耳(J) 1 焦耳 = 1 牛頓‧1 公尺 J = N‧m Ch06 能量和能量轉換

其他與功有關的議題 在處理功的問題時，系統與環境需界定清楚 功的正、負取決於作用力 和位移 間的夾角 環境對系統做功 也可說對系統所做的功來自於環境 功的正、負取決於作用力 和位移 間的夾角 當力 沿位移 的分量是沿著位移方向時，功為正 當力 沿位移 的分量沿著位移的反方向時，功為負 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.1 圖6.3顯示了施力於物體上的四種情況。在這四種情形中，施力的大小都相同，且物體位移的大小也相等，並朝向右邊。試從力量對物體所作的功從正值 (最大) 排列到負值 (最小)。 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.1 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.1 (c)，(a)，(d)，(b)。在 (c) 部分的功是正的，而且是最大的值，因為力與位移的夾角為0。在 (a) 部分的功是0，因為力垂直位移。在 (b) 與 (d) 部分，施力作負功，因為力的分量與位移反方向。(b) 部分的功是負的最大值，因為力與位移的夾角是180°。 Ch06 能量和能量轉換

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例題6.1 一男人正以大小為 F = 50.0 N的力量推著吸塵器打掃他的公寓，如圖6.5這股力量和水平地面形成30.0° 的角度，且吸塵器向右移動了3.00 m，計算此50.0 N的力量對吸塵器所作的功。 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.1 Ch06 能量和能量轉換

6.3 兩個向量的純量乘積

二向量的純量積 二個向量 與 的純量積可寫成 它也可稱為「點」積 上式的q 角是向量 與向量 ，它們出發點重合後，二向量間的角度 二個向量 與 的純量積可寫成 它也可稱為「點」積 上式的q 角是向量 與向量 ，它們出發點重合後，二向量間的角度 Ch06 能量和能量轉換

純量積 純量積具有可交換性 純量積遵守乘法的分配律 Ch06 能量和能量轉換

單位向量的點積 將 與 以分量形式表示: Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.2 關於兩向量大小的乘積和向量點乘積的關係中，下面那個敘述是正確的？(a) 比 AB 大；(b) 比 AB 小；(c) 可能比 AB 大或小，但需根據向量間的夾角；(d) 可能等於 AB 。 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.2 (d)。因為餘弦函數的值是介於 ±1 間，所以 的值是從 AB 到 – AB。 Ch06 能量和能量轉換

例題6.2 若 及 。 A.求 。 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.2(續) B.找出 及 的夾角 。 解答 Ch06 能量和能量轉換

6.4 變力所作的功

變力所做的功 假設在一段極小的位移 Dx 過程中，力 F 保持一定 對於這樣的一段位移，力所做的功 涵蓋整個區間，力所做的總功 Ch06 能量和能量轉換

變力所做的功 是故， 力所做的功等於右圖曲線下方(介於 x 之間)的面積 Ch06 能量和能量轉換

數力所做的功 若有一個以上的力作用在系統上，同時此系統又可簡化成一個質點時，所有力對系統做的功，也就是合力對系統所做的功。 Ch06 能量和能量轉換

數力所做的功 如果系統無法簡化成一個單一質點時，所有力對系統做的功，是為個別力對系統做功的代數和。 由個別力所做的功 Ch06 能量和能量轉換

虎克定律 來自於彈簧的作用力為 上式稱為虎克定律 相對於平衡點 (x = 0)而言，木塊的位移 x 為正 k 稱為彈力常數或力常數，它是從彈簧的強勁度量度而來 上式稱為虎克定律 Ch06 能量和能量轉換

虎克定律 當 x 為正(彈簧被拉長)，則 F 為負。 當 x 等於零(在平衡點位置)，則 F 為零。 Ch06 能量和能量轉換

虎克定律 彈簧對物體的作用力，永遠和自平衡點量起的物體位移反方向 F 稱作恢復力 當物體鬆手後，它會在二個最大位移 –xmax和 xmax 之間來回振盪 Ch06 能量和能量轉換

彈簧所做的功 把木塊視為一個系統 計算木塊自 xi = – xmax 到 xf = 0，彈簧對其所做的功 當木塊自–xmax移動到 xmax彈簧對它做功為零 Ch06 能量和能量轉換

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受外力作用的彈簧 設有一外力 Fapp把彈簧拉長 外力(拉力)的大小與彈力相同但方向相反 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.3 藉由推擠彈簧一段 d 之距離，一支飛鏢被裝載入一把裝有彈簧的玩具飛鏢槍中。在下次裝填時，彈簧被壓縮 2d 的距離。與第一次裝填比較，第二次填需要多少功？(a) 4倍；(b) 2倍；(c) 一樣；(d) 一半；(e) 四分之一。 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.3 (a)。因為壓縮彈簧所需作的功是正比於壓縮距離 x 的平方，所以當 x 變為兩倍，則需要4倍的功。 Ch06 能量和能量轉換

例題6.3 一水平彈簧 (k = 80 N/m) 一端固定，另一端由外力將它由 xA = 0 緩慢拉至 xB = 4.0 cm。 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.3(續) B.將彈簧從 xB = 4.0 cm移至 xC = 7.0 cm時，所作的功為何？ 解答 Ch06 能量和能量轉換

6.5 動能與功－動能定理

動能 動能是一質點運動時所具有的能量 當動能有改變時，有可能是外界對系統做了功，將能量輸入到系統中。 K = 1/2 mv2 K 代表動能 Ch06 能量和能量轉換

動能 由功的計算： Ch06 能量和能量轉換

功能－動能定理 功能定理說明了所有外力對系統做的功等於該系統的動能變化 SW = Kf – Ki = DK 有一種情況，外界對系統做功後，系統唯一的變化是它的速率改變了。我們可以說，由淨力對系統做的功等於該系統的動能變化。 對於動能我們也可以將其定義成 K = 1/2 mv2 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.4 藉由推擠彈一段 d 之距離，一支飛鏢被裝載入一把裝有彈簧的玩具飛鏢槍中。在下次裝填時，彈簧被壓縮 2d 的距離。與第一次的做比較，第二次裝填的飛鏢以多快的速度射出？(a) 4倍快；(b) 2倍快；(c) 一樣快；(d) 一半快；(e) 四分之一快。 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.4 (b)。因為作的功是正比於壓縮距離 x 的平方，而動能是正比於速率的平方。當壓縮距離加倍時速率也加倍。 Ch06 能量和能量轉換

功能－動能定理－例題 右圖物體在移動過程中，正向力( )和重力( )並不做功，這是因為二者 都與位移垂直 Ch06 能量和能量轉換

例題6.4 一6.00 kg的方塊原先靜止於無摩擦的水平面上，現被一定力12.0 N拉向右，如圖6.12所示，試求方塊移動3.00 m時的速率。 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.4(續) Ch06 能量和能量轉換

例題6.5 如圖6.13，一具有 力常數的彈簧以垂直位置放在桌上，一質量1.60 kg的方塊被拿到距彈簧頂端1.00 m的地方。放開方塊使它垂直掉至彈簧，則彈簧被壓縮的長度為何？ 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.5(續) Ch06 能量和能量轉換

6.6 非孤立系統

非孤立系統 一個非孤立系統，是指該系統會和周遭環境產生交互作用或是會受到周遭環境對其產生影響 這是一個新的分析模型 孤立系統它不會和周遭環境發生相互作用 功能－功能定理也可以用在非孤立系統上 Ch06 能量和能量轉換

能量轉移 做功是能量轉移的一種方法 功所產生的效應是使能量在系統與周遭環境間轉移 若對系統做正功，此時能量是加入系統中 若為負功，則指能量由系統流至周遭環境 Ch06 能量和能量轉換

內能 若能量是伴隨著溫度出現的，這種能量稱為內能，Eint 摩擦力做功後，會增加二物接觸面的溫度 Ch06 能量和能量轉換

將能量移入或移出系統的方法 利用做功 – 施一個力，並使力作用點產生位移 利用機械波 – 在介質中透過擾動來傳遞能量 利用熱的傳遞 – 透過空間兩個二不同溫度區域間的熱量流動來運送能量 Ch06 能量和能量轉換

其他各種能量移入或移出系統的方法 藉由物質傳輸 – 實質上若有物質越過系統的邊界，它也同時攜帶著能量 靠著電荷傳送– 能量藉由電流轉移 靠著電荷傳送– 能量藉由電流轉移 透過電磁輻射 – 利用電磁輻射來傳送能量 Ch06 能量和能量轉換

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能量守恆 能量是守恆的 這意謂著能量不可能無中生有，也不可能平白消失 如果系統內的總能量有改變時，唯一的可能就是，能量透過某種的傳輸方式越過了系統的邊界 Ch06 能量和能量轉換

能量守恆 以數學式表示， 功能－動能定理是能量守恆現象中的一個特殊例子 Esystem 表示系統內的總能量 T 表示越過系統邊界的能量 T 的能量形式以符號分類：Twork = W 且 Theat = Q 其他的能量傳輸方式並無慣用的表示法 功能－動能定理是能量守恆現象中的一個特殊例子 Ch06 能量和能量轉換

連續方程式 上述能量守恆關係是連續方程式中的一例 它是針對能量所導出的連續方程式 系統中某一個物理量的改變，它僅僅是由於該物理量越過系統的邊界而導致，那麼針對這一物理量就形成一連續方程式。 Ch06 能量和能量轉換

能量守恆總整理 針對一非孤立系統而言，其能量的關係可表為 若等號右邊的每一項均為0時，系統即為孤立系統。 功能－動能定理是上述更為一般性的能量守恆式的特例。 Ch06 能量和能量轉換

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簡答題 6.5 以下是透過什麼機制使能量進入與離開 (a) 電視裝置；(b) 靠汽發動的割草機；(c) 手搖削鉛筆機？ Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.5 (a) 對於電視機其能量進入的方式有：電傳導 (透過電源線) 以及電磁輻射 (電視訊號)；離開的方式有：熱 (從熱表面散逸到空中)，力學波 (從喇叭出來的聲音) 以及電磁輻射 (從螢幕)。(b) 對於割草機其能量進入的方式有：物質轉換 (汽油)；離開的方式有：熱 (從熱表面散逸到空中)，力學波 (聲音) 以及功 (在草上)。(c) 對於手搖削鉛筆機其能量進入的方式有：功 (當你轉動它)；離開的方式有：力學波 (聲音)、功 (在鉛筆上) 以及熱 (由摩擦力造成的溫度上升)。 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.6 考慮一個在有摩擦的水平面滑動的方塊。忽略在滑動時可能產生的任何聲響。假如考慮將方塊視為系統，則此系統是 (a) 孤立的；或 (b) 非孤立的。假如考慮將表面視為系統，則此系統是 (a) 孤立的；或 (b) 非孤立的。假如考慮將方塊和表面視為系統，則此系統是 (a) 孤立的；或 (b) 非孤立的。 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.6 (b)，(d)，(e)。對方塊，從表面的摩擦力代表與環境的交互作用。對表面，從方塊的摩擦力代表與環境的交互作用。對方塊－方塊系統，摩擦力在系統內，與環境並無交互作用。 Ch06 能量和能量轉換

6.7 涉及動摩擦的情形

包含動能的例子 當問題中包含動摩擦時，我們必須採用修正後的功能－動能定理 SW other force – ƒk d = DK 當摩擦力是作用於系統上的唯一力時，系統的內能變化就和摩擦力做的功相等，Deint = ƒk d 摩擦力將系統的動能轉變成內能 若系統只有唯一的摩擦力作用，則系統內能的增加和它動能的減少是相同的 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.7 假設你正以65 mi/h的速率在高速公路上行駛。現在你因為交通阻塞而煞車停下來，則在你停止前車子曾有的動能到那裡去了？(a) 所有皆以內能存在道路裡；(b) 所有皆以內能存在輪胎裡；(c) 某些能量轉換成內能且某些轉以力學波形式被傳遞出去；(d) 全部以不同的機制從你的車上傳遞出去。 Ch06 能量和能量轉換

簡答題 6.7 (c)。煞車系統與道路皆變的更溫暖，所以他們的內能增加。此外，煞車聲表示能量以力學波的形式轉移出去。 Ch06 能量和能量轉換

例題6.6 一質量為6.00 kg的靜止方塊受一大小為 F = 12.0 N的水平力向右拉動 (圖6.17a)。物體和表面間動摩擦係數是0.150。 A.試求方塊移動3.00 m後的速率。 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.6(續) Ch06 能量和能量轉換

例題6.6(續) B.如圖6.17b所示，假設作用力 以一  角作用於方塊上。若想要在方塊往右移動3.00 m後達到最大可能的速率，則應力的角度  應該為何？ 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.6(續) Ch06 能量和能量轉換

例題6.7 如互動圖6.8所示，一質量1.6 kg的方塊被繫在彈力常數 1.0 × 103 N/m的水平彈簧上。彈簧被壓縮2.0 cm，然後由靜止被釋放。 A.假設表面是無摩擦的，請計算出當方塊通過平衡位置 x = 0 時的速率。 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.7(續) Ch06 能量和能量轉換

例題6.7(續) B.假設方塊在被釋放瞬間起受到一4.0 N定摩擦力阻礙其運動，請算出當方塊通過平衡位置時的速率。 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.7(續) Ch06 能量和能量轉換

6.8 功率

功率 單位時間的能量傳遞率即稱為功率 平均功率可表示成 上面的平均功率表示中，能量是透過做功W來傳遞的 Ch06 能量和能量轉換

瞬時功率 當平均功率的分母 Dt 若趨近於零時，所得到的即為瞬時功率 瞬時功率也可表示成 Ch06 能量和能量轉換

功率的一般表示法 功率可以任何形式的能量傳遞來表示 一般而言，功率可表示成 dE/dt 代表對於某一種傳輸結構，它在單位時間內將能量運送過系統邊界的大小 Ch06 能量和能量轉換

功率的單位 在SI單位系統中功率的單位是瓦特 在歐美慣用單位系統中，功率的單位是馬力 功率乘上時間也可以用來表示功或能量 1 瓦特 = 1 焦耳 / 秒 = 1 kg  m2 / s2 在歐美慣用單位系統中，功率的單位是馬力 1 馬力 = 550 英尺  磅/秒 = 746 瓦特 功率乘上時間也可以用來表示功或能量 1 kWh = (103 W)(3600 s) = 3.6 × 106 J Ch06 能量和能量轉換

例題6.8 1 000 kg的升降機最大負載為800 kg，有一固定的摩擦力4 000 N阻止它向上運動，如圖6.18所示。 A.升降機以定速3.00 m/s向上時，馬達輸出功率的最小值為何？ 解答 Ch06 能量和能量轉換

例題6.8(續) Ch06 能量和能量轉換

例題6.8(續) Ch06 能量和能量轉換

例題6.8(續) B.馬達提供升降機向上的加速度1.00 m/s2 時，馬達必須輸出多少功率給升降機？ 解答 Ch06 能量和能量轉換

6.9 延伸議題：車輛的馬力等級

車輛的馬力輸出 來自於路面作用於車輛的磨擦力大小，直接影響到引擎傳送至輪子上功率，使輪子轉動的快慢。 由牛頓第二運動定律，可得車輛的驅動力與加速度成正比。 所以，一輛車的馬力輸出與該車所能獲致的加速度有相當密切的關係。 Ch06 能量和能量轉換

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