數學本質概念－機率 林奕爵、陳雯津

壹、數學結構 一、機率的起源 －未完成的賭金分配 法國貴族梅雷（Mere）與賭友投擲骰子，各押32個金幣為賭注，並約定好如果誰先贏得3局，就可以把賭金全部拿走。在梅雷贏得2局，賭友僅贏得1局時，梅雷突然有事，不得不中斷賭局。致而產生未完成的賭金分配的問題。

一、機率的起源 賭友：我再贏2局或梅雷再贏1局，即可把賭金 拿走，所以，我有權拿走全部賭金的 1/3，而梅雷可拿走全部賭金的2/3。 梅雷：即使下一局賭友贏了，也只是處於平 手狀況，因而我有權拿走全部賭金的 1/2，而在下下一局雙方皆有一半贏的 機會，所以，我又可以再拿走剩下賭金 的1/2。所以賭友可以拿走全部賭金的 1/4，而我可拿走全部賭金的3/4。

一、機率的起源

二、機率的定義 （一）古典機率（或稱理論機率） 基本假設：對於一個隨機實驗的所有可 能出現結果，在沒有理由來預期或偏好 某一結果時，每一個結果的地位都相同， 皆應視為機會均等（equi-probable）。

（一）古典機率（或稱理論機率） 定義：若一試驗的可能結果為n個具有相等可能性的事件，而其中m個是有利於事件A的發生，則事件A發生的機率P（A）為 m （ 利於事件A發生的事件數目）P（A）＝ n （可能事件的數目）

（一）古典機率（或稱理論機率） 性質： 1、絕不可能發生的事件，其機率可表示成 P（） ＝ 0。 2.、一定發生的必然事件S，其機率可表示成P （S）＝ 1。 3、若A為S的一事件，則P（A）大於等於0， 小於等於1。 4、當事件S之中僅有一個能成為試驗的結果時， 則稱這些事件是互斥或矛盾的，同時這些 事件又形成事件S的一個完整體系。 5、餘事件的機率：若AS為一件事，則P （A′）＝1－P（A）。

（一）古典機率（或稱理論機率） 常用的演算規則： 1、加法：在一個試驗中，若A、B兩事件互斥，則至少有一個事件A或B發生的機率為P（A∪B）＝P（A）＋P（B）。 2、乘法：在一個試驗中，若A、B兩事件互相獨立，則事件A與B同時發生的機率為P（A∩B）＝P（A）．P（B）。

（一）古典機率（或稱理論機率） 3、除法：在一個試驗中，若P（B）＞0，則在B已發生的假設下，重估A 發生的機率為 P（A∩ B） P（A B）＝ P（B） －這叫做A對B的條件機率（Conditional probability）。 4、0或1之機率：絕不發生的不可能事件的機率為0，一定發生的必然事件的機率為1。

（一）古典機率（或稱理論機率） 舉例：投擲一顆公正的骰子，因為骰子有六面，所以有6種互斥事件，而出現奇數的機率如下： Ｓ＝｛1，2，3，4，5，6｝（Ｓ為樣本空間） 3 1 　 P（A）＝ 6 ＝ 2 註：樣本空間：是隨機試驗或隨機觀察行動後『所有』可能結果（outcome）之集合。

（二）經驗或次數機率 隨機結果的長期行為，著重於重複實驗作觀測的經驗，是以頻率說（Frequency theory）來解釋機率。此乃為了彌補古典機率不夠一般性的缺點，由於古典機率無法用來描述一個有無限可能性結果的實驗。

（二）經驗或次數機率 定義：一個實驗試驗n次之後，出現A事件的機率可表示成n（A），當n（A）愈大時，其出現的相對頻率便漸趨穩定，而實驗次數趨近於無限時，事件A所發生的極限值即被定義為該事件所發生的機率。 舉例：投擲一枚錢幣，樣本空間有正反兩面。假設我們投擲10000次，其正反兩面出現的機會將會比較接近1：1，所以我們可以說：我們投擲一枚錢幣，其出現正面和反面的機率皆為1/2（此即為大數法則的概念）。

（三）主觀或直覺機率 基本假設：每一個人對任何事件都持有信仰度。 定義：一個人對一個事件信仰度的表白。欲知 一個人對一個事件所持的機率最好是考察他的 行為，尤其是他在打賭行為中願冒的風險。 舉例：預測明天下雨的機率為85%；預測明天通過檢測的機率是60%等。

貳、認知結構－關於兒童的機率認知發展 一、Piaget & Inhelder理論 （一）第一階段：兒童無法區分事件之 必然性和可能性。 1、常以所觀察的多量作為預測判斷而完 全忽略了群體的比值。 2、不具有操作可逆性的特徵。 3、沒有隨機的概念。

貳、認知結構－關於兒童的機率認知發展 一、Piaget & Inhelder理論 （二）第二階段：已能認清事件之必然 性和可能性，但仍無法以有系統 的方式去產生一個有系列性的機 率概念。 （三）第三階段：開始發展組合分析才 能，並瞭解相對次數的極限機率 。

貳、認知結構－關於兒童的機率認知發展 二、Jones、Langrall、Thornton、Mogill & Tarr的「機率思考層次架構」 層次一：主觀的思考層次。 層次二：過渡的層次。學童思考是界於 主觀的和質樸的量化思考之間。 層次三：非正式量化的層次。 層次四：學生能以分數表示機率值，並 完全使用「最位移策略」去描 述結果。

貳、認知結構－關於兒童的機率認知發展 三、Fischbein的兒童機率直觀概念理論 （一）一種直觀是一種認知的信仰。 （二）「直觀」(intuition) 是一種每個人自然而發的、幾乎是本能的信念，不證自明。 （三）直觀可分為原始直觀和二階直觀。 原始直觀－教學尚未介入前所具有的觀念信仰；二階直觀－經過被建構我們所接受且能應用 的認知信仰。

參、綱要結構 國小階段機率教材發展表 各時期 版本項目 民國64年 課程標準 民國82年 課程標準 民國89年 九年一貫課程 各時期 版本項目 民國64年 課程標準 民國82年 課程標準 民國89年 九年一貫課程 民國92年九年一貫課程綱要 教材主題 統計與圖表 統計圖表 統計與機率 適用學年／級別 第六學年度 第三學習階段（國小六年級～國中一年級） （下延至九年 級） 教材綱要 ／能力指標 機率的初步概念。 從遊戲中了解機率的初步概念： （1）部份與全 體 （2）大數法則 D-3-3能運用生活經驗來瞭解機會。 無

參、綱要結構 第四階段能力指標 統計與機率 D-4-04 能在具體情境中認識機率的概念。 分年細目 9-d-09 能以具體情境介紹機率的概念。 9-d-10 能進行簡單的實驗以了解抽象的 不確定性、隨機性質等初步概念。

肆、迷思概念 一、賭徒錯覺問題。 二、量大機率就大的概念。 例題：有甲乙兩抽獎箱，甲袋內有1張白色籤和1張黑色籤；乙袋有50張白色籤和50張黑色籤，請問要抽哪一袋抽中白色籤機會比較大？ 迷思概念：有些孩子以為籤多重抽機會較多，卻忽略了總共簽數與白籤的比例關係。 策略：比值概念在機率概念理解上是相當重要。

肆、迷思概念 三、不可能、可能、必然事件的概念。 丟一公平骰子，丟出後點數大於7的機率有多少？ 那點數小於7之機率又是多少？

伍、教學策略 一、透過實際的「實驗」，讓學生動手 來操作；過程中教師以質問代替講 述，以釐清學生概念。 二、同學透過合作學習，協助檢驗自己 機率的基本信念。 三、藉由機率遊戲學習：猜拳、擲骰子 和抽球 。 四、透過引導學生繪出樹狀圖，列出可 能發生的情況 。

陸、範例 一、小丸子說長大結婚後總共要生兩個孩子，請問兩胎都是男孩子的機率為？ 1、二分之一 2、四分之一

陸、範例 二、小花的爸爸都會買每期的樂透採，但到目前從來沒有中獎過，今天他說我 在已經沒中獎那麼多次了，所以我之後買中獎機率會提高。 小朋友你判斷小花爸爸說的話 ： 1、對 2、不對 理由為 。

試教學校：鄧公國小 試教班級：六年5班 班級人數：32人 試教主題：機率的認識與應用 試教學校：鄧公國小 試教班級：六年5班 班級人數：32人

當天試教活動簡述 引起動機－名偵探柯南電影版《引爆摩天輪》，紅線與藍線的選擇問題。 活動一：投擲骰子 活動二：生男生女的機率 紅動三：機率例子的列舉