CH3 導函數之應用 蔣博士 主講

Topics1：函數的圖形與極值得求法 (1)一階導數判斷法(增減性判斷法) 當 𝒇 ′ (𝒙)>𝟎,𝒙∈(𝒂,𝒃 ① 𝒚=𝒇(𝒙 𝒎 切 =𝒇′(𝒙)>𝟎 𝑎 𝑥 𝑏 𝑓(𝑥 當 𝒇 ′ (𝒙)>𝟎,𝒙∈(𝒂,𝒃 ⇒𝒚=𝒇(𝒙 在 𝒙∈[𝒂,𝒃 為遞增函數

Topics1：函數的★圖形與★極值得求法 (1)一階導數判斷法(增減性判斷法) ② 𝑥,𝑓(𝑥) 𝒎 切 =𝒇′(𝒙)<𝟎 𝑦=𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 當 𝑓 ′ 𝑥 <0,𝑥∈(𝑎,𝑏 ⇒𝑦=𝑓(𝑥 在 𝑥∈[𝑎,𝑏 為遞減函數

Topics1：函數的★圖形與★極值得求法 (2)二階導數判斷法(凹凸性判斷法) 𝒚=𝒇(𝒙 𝑎 𝑏 ⇑ ① 當 𝒇 ′′ (𝒙)>𝟎,𝒙∈(𝒂,𝒃) ⇒𝒚=𝒇(𝒙 在 𝒙∈[𝒂,𝒃 凹口向上

Topics1：函數的★圖形與★極值得求法 (2)二階導數判斷法(凹凸性判斷法) ② 𝒚=𝒇(𝒙 𝑎 𝑏 ⇓ 當 𝒇 ′′ 𝒙 <𝟎,𝒙∈(𝒂,𝒃) ⇒𝒚=𝒇(𝒙 在 𝒙∈[𝒂,𝒃 凹口向下

看圖說故事 𝑦=𝑓(𝑥 𝑦=𝑓(𝑥 ★ 𝑓′(𝑥 遞減，即斜率遞減，凹口向下 ★ 𝑓′(𝑥 遞增，即斜率遞增，凹口向上

總整理大會串 ⇑ ⇓ ⇑ ⇓ ① ② 𝑓 ′ >0 𝑓 ″ <0 𝑓 ′ >0 𝑓 ″ >0 ③ ④ 𝒚=𝒇(𝒙 ② ⇓ 𝒚=𝒇(𝒙 𝑓 ′ >0 𝑓 ″ <0 𝑓 ′ >0 𝑓 ″ >0 ⇑ 𝒚=𝒇(𝒙 ⇓ 𝒚=𝒇(𝒙 ③ ④ 𝑓 ′ <0 𝑓 ″ >0 𝑓 ′ <0 𝑓 ″ <0

Topics2：臨界點 (critical points) 之求法，求極值 (extrema) 𝒚=𝒇(𝒙 𝑓(𝑐 𝑐 ① 𝒇 ′ (𝒄)=𝟎 𝒇 ″ (𝒄)<𝟎 𝒇(𝒄) 為相對極大值 (relative maximum) 《注意》如何求 c ? 可令 𝒇 ′ (𝒙)=𝟎，得𝒙=𝒄

Topics2：臨界點 (critical points) 之求法，求極值 (extrema) 𝒚=𝒇(𝒙 𝑓(𝑐 𝑐 ② 𝒇 ′ (𝒄)=𝟎 𝒇 ″ (𝒄)>𝟎 𝒇(𝒄) 為極小值 (mini mum) 《注意》如何求 c ? 可令 𝒇 ′ (𝒙)=𝟎，得𝒙=𝒄

當 𝑓 ″ (𝑐)=0 𝑓 ‴ (𝑐)≠0 ⇒(𝑐,𝑓(𝑐) 為反曲點 𝐼.𝑃. Topics3：反曲點 (inflection points) 𝑐 𝑦=𝑓(𝑥 反曲點 𝑓">0 ⇑ ⇓ 當 𝑓 ″ (𝑐)=0 𝑓 ‴ (𝑐)≠0 ⇒(𝑐,𝑓(𝑐) 為反曲點 𝐼.𝑃.

例題2 𝑦=𝑓(𝑥)= 𝑥 3 −3𝑥+2 ⇒ 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 =3 𝑥 2 −3 𝑦 ″ = 𝑓 ″ (𝑥)=6𝑥 試繪𝑦= 𝑥 3 −3𝑥+2，並求極值，反曲點 。 𝑦=𝑓(𝑥)= 𝑥 3 −3𝑥+2 　　　⇒ 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 =3 𝑥 2 −3 𝑦 ″ = 𝑓 ″ (𝑥)=6𝑥 Ans： 令 𝑦 ′ = 𝑓 ′ 𝑥 =0 得 𝑥=−1 𝑜𝑟 1 (臨界點) 令 𝑦 ″ =𝑓“(𝑥)=0 得 𝑥=0 (反曲點?) 嘿！別走開，還有下一頁呢！

例題2 -- 試繪𝑦= 𝑥 3 −3𝑥+2，並求極值，反曲點 。 + 𝒇 ′ (𝒙)=𝟑(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟏) 𝒇 ″ (𝒙)=𝟔𝒙 𝒇(𝒙 -1 1 (max) (IP) (min) 答案在下一頁呢！

例題2 試繪𝑦= 𝑥 3 −3𝑥+2，並求極值，反曲點 。 𝒇(𝒙 -1 (max) (IP) (min)

例題2 而 𝟎,𝒇(𝟎))=(𝟎,𝟐 為反曲點 𝒇(−𝟏)=𝟒為極大值 𝒇 𝟏 =𝟎為極小值 試繪𝑦= 𝑥 3 −3𝑥+2，並求極值，反曲點 。 𝒇(𝒙 -1 (max) (IP) (min) −1,4 0,2 1,0 -1 1 𝑦=𝑓(𝑥 注意看喔！ 而 𝟎,𝒇(𝟎))=(𝟎,𝟐 為反曲點 𝒇(−𝟏)=𝟒為極大值 𝒇 𝟏 =𝟎為極小值

演練1 Ans：∵𝑦= 𝑥 3 3 − 𝑥 2 −3𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 𝑥 2 −2𝑥−3 =(𝑥−3)(𝑥+1 ⇒ 𝑦 ″ =2𝑥−2 繪圖：𝑦= 𝑥 3 3 − 𝑥 2 −3𝑥 並求極值，反曲點。 Ans：∵𝑦= 𝑥 3 3 − 𝑥 2 −3𝑥 　　　⇒ 𝑦 ′ = 𝑥 2 −2𝑥−3 =(𝑥−3)(𝑥+1 　　　⇒ 𝑦 ″ =2𝑥−2 令 𝑦 ′ = 𝑓 ′ (𝑥)=0 得 𝑥=3 𝑜𝑟 −1 令 𝑦 ″ =𝑓"(𝑥)=0 得 𝑥=1 (臨界點) (反曲點)

演練1 繪圖：𝑦= 𝑥 3 3 − 𝑥 2 −3𝑥 並求極值，反曲點。 -- 等等呢！答案在後面呀! 看 遞增 or 遞減 + 繪圖：𝑦= 𝑥 3 3 − 𝑥 2 −3𝑥 並求極值，反曲點。 看 遞增 or 遞減 看 凹口向上 or 向下 𝑓 ′ (𝑥)=(𝑥−3)(𝑥+1 𝑓 ″ 𝑥 =2𝑥−2 + -- -1 3 1 (max) (IP) (min) 𝑓(𝑥 等等呢！答案在後面呀!

演練1 (1,− 11 3 ) 為反曲點 𝑓(−1)= 5 3 為極大值 𝑓(3)=−9 為極小值 繪圖：𝑦= 𝑥 3 3 − 𝑥 2 −3𝑥 並求極值，反曲點。 (1,− 11 3 ) 為反曲點 𝑓(−1)= 5 3 為極大值 𝑓(3)=−9 為極小值 𝑦=𝑓(𝑥 ( −𝟏 , 𝟓 𝟑 ) ( 𝟏 , − 𝟏𝟏 𝟑 ) 𝟑 ,−𝟗 -1 1 3 其實一點都不難喔! 同學們!懂了嗎?

專題研究：導函數在經濟學上之應用 [1]基本名詞 (1) 總成本（total cost）包含固定成本與變動成本，簡稱 𝑻𝑪 𝒙 𝒐𝒓 𝑪(𝒙 　𝒙:生產量 (2) 總收入（total revenue）𝑹(𝒙)=𝒙⋅𝒑　 ( 𝒙:銷售量　𝒑:單價 ) (3) 總利潤（total Profit） 𝑷(𝒙)=𝑹(𝒙)−𝑪(𝒙)=𝒙⋅𝒑−𝑪(𝒙

專題研究：導函數在經濟學上之應用 [2]邊際效益（Marginal Effects） (1) 邊際成本（marginal cost）簡記 𝑴𝑪 𝒙 , 𝑴𝑪(𝒙)= 𝒍𝒊𝒎 𝜟𝒙→𝟎 𝑪(𝒙+𝜟𝒙)−𝑪(𝒙 𝜟𝒙 = 𝑪 ′ (𝒙 ) (2) 邊際收入（Margina revenue）簡記 𝑴𝑹 𝒙 , 𝑴𝑹(𝒙)= 𝒍𝒊𝒎 𝜟𝒙→𝟎 𝑹(𝒙+𝜟𝒙)−𝑹(𝒙 𝜟𝒙 = 𝑹 ′ (𝒙 ) (3) 邊際利潤（marginal profit）簡記 𝑴𝑷 𝒙 , 𝑴𝑷(𝒙)= 𝒍𝒊𝒎 𝜟𝒙→𝟎 𝑷(𝒙+𝜟𝒙)−𝑷(𝒙 𝜟𝒙 = 𝑷 ′ (𝒙)

師問: 如何求最低成本與最大利潤?

例題1 Ans: (a)邊際成本函數 𝑀𝐶(𝑥 𝑀𝐶(𝑥)= 𝐶 ′ (𝑥)=(200+4𝑥+0.1 𝑥 2 ) ′ =0+4+0.2𝑥 每週生產 𝑥 單位日用品的總成本為 𝐶(𝑥)=200+4𝑥+0.1 𝑥 2 (a)求當 𝑥=100 時之邊際成本 (b)若該日用品每單位以10元售出，求邊際利潤與邊際收入函數 例題1 Ans: (a)邊際成本函數 𝑀𝐶(𝑥 𝑀𝐶(𝑥)= 𝐶 ′ (𝑥)=(200+4𝑥+0.1 𝑥 2 ) ′ =0+4+0.2𝑥 當 𝑥=100 時，得 𝑀𝐶(100)=4+20=24 (元)

例題1 Ans: (b) ∵收入函數 𝑹(𝒙 𝑹(𝒙)=𝒙⋅𝒑=𝟏𝟎𝒙 每週生產 𝑥 單位日用品的總成本為 𝐶(𝑥)=200+4𝑥+0.1 𝑥 2 (a)求當 𝑥=100 時之邊際成本 (b)若該日用品每單位以10元售出，求邊際利潤與邊際收入函數 例題1 Ans: (b) ∵收入函數 𝑹(𝒙 𝑹(𝒙)=𝒙⋅𝒑=𝟏𝟎𝒙 ∴邊際收入函數為 𝑴𝑹(𝒙)= 𝑹 ′ (𝒙)=(𝟏𝟎𝒙 ) ′ =𝟏𝟎 ∵利潤函數 𝑷(𝒙 𝑷(𝒙)=𝑹(𝒙)−𝑪(𝒙)=𝟏𝟎𝒙−(𝟐𝟎𝟎+𝟒𝒙+𝟎.𝟏 𝒙 𝟐 =−𝟐𝟎𝟎+𝟔𝒙−𝟎.𝟏 𝒙 𝟐

例題1 ∴邊際利潤函數為 𝑴𝑷(𝒙)= 𝑷 ′ (𝒙 𝑴𝑷(𝒙)= 𝑷 ′ (𝒙 =𝟎+𝟔−𝟎.𝟐𝒙 =𝟔−𝟎.𝟐𝒙 每週生產 𝑥 單位日用品的總成本為 𝐶(𝑥)=200+4𝑥+0.1 𝑥 2 (a)求當 𝑥=100 時之邊際成本 (b)若該日用品每單位以10元售出，求邊際利潤與邊際收入函數 例題1 ∴邊際利潤函數為 𝑴𝑷(𝒙)= 𝑷 ′ (𝒙 𝑴𝑷(𝒙)= 𝑷 ′ (𝒙 　　　 =(−𝟐𝟎𝟎+𝟔𝒙−𝟎.𝟏 𝒙 𝟐 ) ′ 　　　 =𝟎+𝟔−𝟎.𝟐𝒙 =𝟔−𝟎.𝟐𝒙

⇑ 例題2 等等喔！答案在下一頁！ Ans: 𝐶(𝑥)=100+ 10 𝑥 + 𝑥 2 200 某間公司決定生產成本為 X 單位的商品，商品單位以𝐶(𝑥)=100+ 10 𝑥 + 𝑥 2 200 計算，此公司應生產多少單位的商品，以達到最少成本之效益？ 例題2 Ans: 𝐶(𝑥)=100+ 10 𝑥 + 𝑥 2 200 ⇒ 𝐶 ′ (𝑥)=0− 10 𝑥 2 + 𝑥 100 𝐶 ″ (𝑥)= 20 𝑥 3 + 1 100 >0 令 𝐶 ′ 𝑥 =− 10 𝑥 2 + 𝑥 100 =0 得𝑥=10 ⇑ 𝑦=𝑐(𝑥 10 min 等等喔！答案在下一頁！

⇑ 例題2 ∴當生產量為單位， 𝑥=10具最低成本為 𝐶(10)=100+ 10 10 + 10 2 200 =101.5 某間公司決定生產成本為X單位的商品，商品單位以𝐶(𝑥)=100+ 10 𝑥 + 𝑥 2 200 計算，此公司應生產多少單位的商品，以達到最少成本之效益？ 例題2 ⇑ 𝑦=𝑐(𝑥 10 min ∴當生產量為單位， 𝑥=10具最低成本為　 𝐶(10)=100+ 10 10 + 10 2 200 =101.5

練習1 Ans: 若 𝐶(𝑥)=200−4𝑥+0.1 𝑥 2 且以單價 𝑝=10 元售出 𝑥 單位， 求最低成本與最大利潤? 若 𝐶(𝑥)=200−4𝑥+0.1 𝑥 2 且以單價 𝑝=10 元售出 𝑥 單位， 求最低成本與最大利潤? Ans: ∵𝐶(𝑥)=200−4𝑥+0.1 𝑥 2 ⇒𝐶′(𝑥)=−4𝑥+0.2𝑥 𝐶′′(𝑥)=0.2>0 𝐶′(𝑥)=0 , 𝑥=20 由二階導數判斷法知 令 得 𝑥=20 當 時具最低成本 𝐶(20)=200−4×20+0.1× 20 2 =160(元)

練習1 若 𝐶(𝑥)=200−4𝑥+0.1 𝑥 2 且以單價 𝑝=10 元售出 𝑥 單位， 求最低成本與最大利潤? 若 𝐶(𝑥)=200−4𝑥+0.1 𝑥 2 且以單價 𝑝=10 元售出 𝑥 單位， 求最低成本與最大利潤? 利潤函數 𝑃(𝑥)=𝑅(𝑥)−𝐶(𝑥 =𝑥𝑝−(200−4𝑥+0.1 𝑥 2 =10𝑥−(200−4𝑥+0.1 𝑥 2 =−200+14𝑥−0.1 𝑥 2 ∴最大利潤:𝑃(70)=290 (二階導數判斷法) 70 𝑦=𝑃(𝑥 290 ∵ 𝑃 ′ (𝑥)=14−0.2𝑥 𝑃 ″ 𝑥 =−0.2<0 令𝑃′(𝑥)=0，得 𝑥=70

快攻練習(3) 〔1〕 試繪 𝑦= 𝑥 4 −4 𝑥 3 +10 之圖形，並標示臨界點及反曲點的位置。

快攻練習(3) 〔2〕 已知 𝑓(𝑥)= 𝑥 𝑥 2 +1 f 是奇函數嗎? f 在那一區間為遞增而凹向下? f 在極值為何? 已知 𝑓(𝑥)= 𝑥 𝑥 2 +1 f 是奇函數嗎? f 在那一區間為遞增而凹向下? f 在極值為何? f 之反曲點為何? 5. 試繪 f 之函數圖形

快攻練習(3) 〔3〕 試繪 𝑦= 𝑒 − 𝑥 2 之圖形，並標示極點及反曲點 〔4〕 試繪 𝑦= 𝑒 − 𝑥 2 之圖形，並標示極點及反曲點 〔4〕 試繪 𝑦= ln𝑥 𝑥 之函數圖形，並求𝑦之極值為何?

快攻練習(3) 〔5〕 試求半徑為 𝑎 之圓內的最大矩形面積為何?

快攻練習(3) 〔6〕 求點 到 𝑦= 𝑥 2 之最短距離為何? 〔7〕 (1)什麼是成本函數?何謂最低成本? (2)什麼是利潤函數?何謂最大利潤? 請以函數圖示說明並描述微分方法，求得 最低成本及最大利潤 ***Good luck!!***

Bye Bye ~ See you next time! 同學們！這是非常實用的喔！ 都懂了嗎？練習看看！加油。 Bye Bye ~ See you next time!