第四章 国外数学教育的主要理论 第一节 弗赖登塔尔的 数学教育理论

著名的数学教育权威----荷兰著名学者弗赖登塔尔认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”. P.Ernest:“数学是由人造就并惟一的存在于人的大脑,因此,学习数学的人的大脑造就或再造就数学就是必然的.在这个意义上,学习数学的人正是造就数学的人.” 弗赖登塔尔认为数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结,数学教育应该源于现实,用于现实,应该通过具体的问题来教抽象的数学内容,应该从学习者所经历所接触的客观实际中提出问题，然后升华归结为数学概念,运算法则或数学思想.主张数学与现实应密切结合,并能应用于实际.

1.数学是最容易创造的一种科学. 2.每个人都应按照自己的特点重新创造数学知识. 3.每个人都有不同的数学现实,因而可以达到不同的水平. 4.再创造的操作程序----数学化的过程 5.再创造应当贯穿于数学教育的全过程.

再创造在课堂教学中的实施 2. 再创造应以学生的数学现实为基础 3. 重视合情推理在再创造中的作用 1. 努力激发学生再创造的动机 2. 再创造应以学生的数学现实为基础 3. 重视合情推理在再创造中的作用 4. 引导学生在数学化过程中再创造 5. 实现从再创造到创造的飞跃

现实数学教育的数学化 1.确定一个具体问题中包含的数学成分; 2.建立这些数学成分与已知的数学模型之间的联系; 3.把这些数学成分形象化,符号化和公式化; 4.找出蕴涵在其中数学关系和规则; 5.考虑相同数学成分在其他数学知识领域的体现; 6.做出形式化的表述.

数学化是一种组织与构建的活动 1.用数学公式表示关系; 2.对有关规则作出证明; 3.尝试建立和使用不同的数学模型; 4.对做出的数学模型进行调整和加工; 5.综合不同数学模型的共性,形成新模型; 6.用已知数学公式和语言准确描述新概念和方法; 7.作一般化的处理和推广.

当问题转化为或多或少具有数学性质的问题时,运用数学工具处理问题,也就是现实世界的问题的数学加工与整理. -----垂直成分(数学活动) 特莱弗斯和哥弗里在数学化的过程中区分 水平的和垂直的成分 当问题转化为或多或少具有数学性质的问题时,运用数学工具处理问题,也就是现实世界的问题的数学加工与整理. -----垂直成分(数学活动) 1.将某个关系表示成公式; 2.证明一些规则; 3.调整与完善模型; 4.使用不同的模型; 5.将一些模型汇集并综合在一起; 6.形成新的数学概念; 7.推广并建立起一般化的理论.

将问题运用数学的方式陈述,通过图式化与形象化的手段发现规律与关系 1. 从一般的背景资料中辨认特殊的数学; 2. 图式化; 3. 以不同的方式将一个问题公式化或形式化; 4. 发现关系,发现规律; 5. 在不同的问题中识别其同构的本质; 6. 将现实世界的问题转化为数学问题; 7. 将现实世界的问题转化为已知的数学模型.

借助于数学化的两种成分,比较 四种不同类型的数学化途径 借助于数学化的两种成分,比较 四种不同类型的数学化途径 水平的数学化 垂直的数学化 现实的（realistic） + + 经验的（empiricist） + － 构造的 (structuralist) － + 机械的（mechanistic） － － 其中“＋”号表示对这方面给予更多的注意,而“－”号则表 示较少注意或根本未加注意.

几何学习思维水平----通过数学化 来进行数学教学 几何学习思维水平----通过数学化 来进行数学教学 学习过程是由各层次构成的,用低层次的方法组织活动就成为高层次的分析对象;低层次的运算内容又成为高层次的题材. 0---水平:直观----借助于直观形象; 1---水平:分析----识别观察; 2---水平:抽象----形成概念及其与性质的逻辑关系; 3---水平:演绎----抓住整个演绎体系,理解和构造发展整个体系的逻辑结构及其关系; 4---水平:严谨领会公理化体系的严谨性. 思维的直观性;思维的阶段性;促进和加强学生的反思活动.

再创造 再创造:教师不必将各种规则定律灌输给学生,而是应该创造合适的条件,提供很多具体的例子,让学生在实践活动的过程中,自己再创造出各种运算法则,或是发现有关的各种规律.

怎样指导再创造? 2.为纵向垂直数学化提供手段和条件. 3.相互作用的教学系统 4.承认和鼓励学生自己的成果 5.将所学的各个部分结合起来 1.在学生的数学现实中选择学习情境,使其适合于横向水平的数学化. 2.为纵向垂直数学化提供手段和条件. 3.相互作用的教学系统 4.承认和鼓励学生自己的成果 5.将所学的各个部分结合起来

数学建模过程的流程图 不合乎实际情况 合乎实际情况 检验 实际情境 提出问题 数学模型 数学结果 可用结果

数学知识的重新建构 存在某种可能的方法,使得科学的传统数学的训练及学习科学能在数学教育中得到考虑. 芬兰图库大学欧内·列丁能教授----数学教育与学习科学. 存在某种可能的方法,使得科学的传统数学的训练及学习科学能在数学教育中得到考虑. 传统的数学教育,特别是在高水平的数学教学中,强调数学的学科知识,而没有认真的思考学习和教学的知识.然而,在初等水平的数学教育中,常常强调教学法的知识,而数学学科的知识较少得到认真的考虑.在当前主流的数学教育中数学和学习科学这两方面的训练,或多或少得到平衡,但它们是被分割地或是作为必要的信息平行地加以处理的. 学科的知识受到数学家的影响,教学方法的知识则来自于学习的科学,所选择的数学知识以数学的传统为基础,而教学方法则来自于一般教育,两者之间没有实质性的相互影响.

第九章 数学教育的基本理论 第二节 波利亚的 解题理论

波利亚的数学教育思想概述 波利亚数学教育思想的核心问题:数学教育的目的是什么？ 1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素养:首先和主要的目标应当是教会青年思考. 2.教什么样的思考?数学是什么?数学有什么特点?对数学及其意义的认识地教学观其者决定性的作用.

3. 波利亚强调应该教有目的的思考,教正规的演绎推理，也教非正规的似真的合情推理. （1）我们这里所说的思考不是空想,而是有目的的思考或有意义的思考或有成果的思考; （2）数学思考不是完全正规的,它不仅涉及到公理定义和严格证明,而且还包含许多别的方面,从观察到的情况的出结论,归纳推理,类比推理.在具体的情况里辨认数学概念或从具体情况进行抽象.数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重要的非正规的思想方法.

问题解决 波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学生解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索的一条有效途径.

如何培养学生的思维能力 2.教师应该让学生自己独立思考. 3.教师可以找一个适当的问题或建议帮助学生. 4.教师应当做研究工作. 1.思维应该在学生的头脑中产生出来,教师应当是“产婆”的作用,引导探究 ,鼓励启发.----苏格拉底问答法 2.教师应该让学生自己独立思考. 3.教师可以找一个适当的问题或建议帮助学生. 4.教师应当做研究工作. 合情推理----不断猜想,然后进行证实或否定的过程.

数学学习的原则 主动学习原则 最佳动机原则 阶段序进原则

对教师的要求 1. 要对所讲的课题有兴趣; 2. 要懂得所讲的课题; 3. 要懂得学习的途径—发现; 4. 要观察学生的脸色,弄清他们的期望和困难, 置身于他们之中; 5. 不仅要传授知识,而且要教给学生才智,思维的方式和工作习惯; 6. 要让他们学习猜测; 7. 要让他们学习证明; 8. 要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征; 9. 不要立即吐露你的全部秘密—让学生在你说出来之前先去猜,尽量让他们自己找出来; 10. 要建议,不要强迫别人去接受.

怎样解题----怎样解题表 解题过程分为以下四个阶段: 1. 弄清问题 2. 拟订计划 3. 实现计划 4. 回顾

1. 弄清问题 （1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? （2）画张图,并引入适当的符号. （3）把条件的各部分分开,并把它们写下来.

2.拟订计划 考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道一个可能用得上的定理? 考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 能否用不同的方法重新叙述它? 回到定义去. 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题. 是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?

3. 实现计划 实现你的求解计划,检验每一步骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?

4. 回顾 能否检验这个论证?你能否用别的方法导出结果?能不能一下子看出它来? 能不能把这结果或方法用于其他问题?

数学问题解决的框架 问题识别 与定义 问题表征 策略选择 与应用 资源分配 监控与 评估

数学问题解决的过程 数学问题解决的过程必须经过下列四个步骤,即理解问题,明确任务;拟定求解计划;实现求解计划;检验和回顾. 问题情境 转换 寻求解决途径 检验与评价 求得答案

数学问题解决的策略 1.分析给出的数据信息和条件; 2.表征信息----从外部和大脑内部; 3.建立假设和计划过程; 4.应用公式算法定理,监控这类应用; 5.决定和检验假设,反思.

变更题目的常用方法----题目 分解与组合------穷举法,中途点 等价的题目 回到定义 等价变换 映射到别的领域 简化 特殊的题目 约化 等价的题目 回到定义 等价变换 映射到别的领域 简化 特殊的题目 约化 极端情形 一般化 更一般的题目--------强化 充分题 必要题 基本题 相关的题目 辅助题 类似题 部分题---弱化

问题解决与数学思维的培养 现代数学教学理论认为,数学教学是数学思维的教学, 学习数学的过程是在头脑中建构数学认知结构的过程. 通过数学的学习活动,逐步认识到数学知识形成和发展的思维过程,使学生学会运用思维方法,善于对问题进行分析,综合归纳类比抽象概括. 问题解决的过程不是学生被动地吸收知识,而是主动建构知识的过程,是在深层次的参与中,真正地学会数学的思维.

第九章 数学教育的基本理论 第三节 建构主义的 数学教育理论

建构主义的学习理论 知识建构不是任意的,它具有多向社会性和他人交互性,知识的建构过程应当有交流,磋商, 进行自我调整和修正. b 建构主义是行为主义发展到认知主义后的进一步发展,是在吸取了众多学习理论的基础上,总结了20 世纪60 年代以来的各种教育改革方案的经验基础上发展和形成的. 知识建构不是任意的,它具有多向社会性和他人交互性,知识的建构过程应当有交流,磋商, 进行自我调整和修正. 学习过程是多元化的, 对对象意义的建构是多维度的.

建构主义具有认知理论和方法论双重意义 教师必须知道学生正在想什么,他们对所呈现的材料有何反应; 要重视诊断学生的工具; 不要让学生天天做练习,而要训练学生建构技能;教师要提供建构数学对象和关系的材料、工具、模型和良好的学习环境. 建构主义是认知学习理论的新发展 知识不是通过感官或交流被动获得的,而是通过认识主体的反省抽象来主动建构的;有目的的活动和认知结构的发展存在着必然的联系.

建构主义下的数学学习特征 1.学习不是由教师把知识简单地传递给学生,而是由学生自己建构知识的过程.学生不是简单被动地接受信息,而是主动地建构知识的意义. 2.学习不是被动接受信息刺激,而是主动地建构意义,是根据自己的经验背景,对外部信息进行主动地选择,加工和处理,从而获得自己的意义,. 3.学习意义的获得是以原有的知识经验为基础,对新信息重新认识和编码,建构自己的理解.

4.学习者的建构是多元化的. 5.学习是一个积极主动的建构进程,学生不是被动地接受外在信息,而是根据先前认知结构主动地和有选择地知觉外在信息,进行加工和处理，从而获得自己的意义. 6.课本知识不是客观现实的准确表征,它只是一种解释，一种较为可靠的假设,学生对这些知识的学习是在理解基础上对这些假设作出检验和调整的过程,因此,知识可以视为个人经验的合理化，而不是说明世界的真理.

建构主义对指导数学学习的意义 学生的认知结构必须和外部的知识结构相一致,才能接受外面来的新知识,获得学习上的成功. 1.应该用建构主义的观点认识数学. 2.知识的学习是一个建构的过程,必须突出学习者的主体作用,教师借助于组织者、合作者、引导者的身份,使学生主动参与整个学习过程中去. 3.关注学生学习的个性化特征,使其在数学知识学习中获得合理的个人经验的内化. 4.有意义的学习发生于真实的学习任务之中.

教师如何开展课堂教学 1.建构主义指导下的课堂教学基于以下基本假设： ② 教学是师生、生生之间的互动; ③ 学生自己决定建构是否合理. ① 教师必须建立学生理解的数学模式.教师应该建立反映每个学生建构状况的“卷宗”,以便判定每个学生建构能力的强弱; ② 教学是师生、生生之间的互动; ③ 学生自己决定建构是否合理.

2.数学教师需要做好以下事情: ① 加强学生的自我管理和激励他们为自己的学习负责; ② 发展学生的反省思维; ③ 建立学生建构数学的“卷宗”; ④ 观察与参与学生尝试、辨认与选择解题途径的活动; ⑤ 反思与回顾解题途径; ⑥ 明确活动、学习材料的目的.

3.教师必须自己需要学会“做数学”,从事数学探索 ① 理解学生的数学现实; ② 理解人类思考数学的现实; ③ 理解教室的现实情况.

以维果茨基的理论为基础的社会建构主义 1.知识的基础是语言知识、约定和规则,而语言则是一种社会的建构. 2.人类知识规则和约定对某一领域知识真理的确定和判定起关键作用. 3.个人的主观知识经发表转化为使他人有可能接受的客观知识,这一转化需要人际交往的社会过程. 4.发表的知识须经他人的审视和评判,才有可能重新形成并成为人们接受的客观知识,即主观知识只有经社会性接受方能成为客观知识. 5.无论是在主观知识的建构和创造过程中,还是参与对他人发表的知识进行评判并使之再形成的过程中,个人均能发挥自己的积极作用.

知识的社会建构 新知识的主观建构 经个体的创 通过主体间的审视再形成和接受 造过程 客观知识被个体内化与再建构 经发表形成客观知识 (增添,再建,再现) 经个体的创 造过程 通过主体间的审视再形成和接受 客观知识被个体内化与再建构 经发表形成客观知识 在学习过程中

社会协商意义下的社会建构主义 著名数学教育家欧内斯特(Paul Emest)认为,社会建构主义的中心论点是:只有当个人建构的、特有的主观意义和理论跟社会和物理世界“相适应”时,才有可能得到发展.发展的主要媒介是通过交互作用导致的意义的社会协商. 数学学习的过程看作一个“文化继承”的过程,数学学习不仅仅是个人“解释”的活动,而且也是一个对数学对象的客观意义进行“解释” 的过程.个人建构的数学知识如果能与物理世界相互协商,那么个人的数学知识响应得到发展.

施万克认知结构差异理论 德国数学教育家施万克教授针对数学学习中的认知结构问题, 提出了特征性和功能性认知结构的差异, 这两种不同的认知结构有着同样的效力. 如果个体使用特征性认知结构,我们称他们在进行特征性思维. 这是一种倾向于思考关系和比较判断的思维活动. 如果个体使用功能性认知结构,我们称他们在进行功能性思维.这是一种擅长对行动次序和作用方式进行思考的思维活动.

特征性思维者与功能性思维者 功能性思维者 ---通过分析其功能来建构或认清新的程序. 注重某个过程并且善于考虑作用方式,通过零感觉去检验动作序列, 关注整个活动的次序,设计一个有效的过程,因此他们把注意力集中在动态和过程性的行动实施上,对算法关注并研究,关注过程的耗费或费用,善于思考作用原理与信息流程,将眼光放在一个行动或过程的组织和作用上,为了从效果出发组织动作而使用材料,优先考虑某个行为序列执行的次序,在考虑基本指令的次序的情况下建构程序,以便组织活动的先后执行. ---通过分析其功能来建构或认清新的程序.

特征性思维者 优先思考特征与关系.根据对状态的判断-----当时的状态或所希望的结果状态,来设计一步步动作或动作次序.注重关系,导致他们通过对当时或希望的的状态作出判断,来完善某一状态,一旦出现所希望的状态就会人为结束整个过程.