* 第十三章 数值计算初步 第三节 曲线拟和的最小二乘法 第四节 数值积分 第一节 误差与方程求根 第二节 拉格朗日插值公式 * 第十三章 数值计算初步 第一节 误差与方程求根 第二节 拉格朗日插值公式 第三节 曲线拟和的最小二乘法 第四节 数值积分 第五节 常微分方程的数值解法
第一节 误差与方程求根 一、误差 二、方程求根
第一节 误差与方程求根 一、误差 1.绝对误差与相对误差
2.有效数字
3. 数值运算的误差估计 即
解
4. 数值运算应注意的若干原则
把运算写成规格化形式
二、方程求根 1. 方程求根的二分法
由于
(2.09375,2.125)
(*)
整理得 得 (**)
思考题
第二节 拉格朗日插值公式 一 、多项式的存在惟一性 二、插值多项式的构造 三、插值多项式的余项
第二节 拉格朗日插值公式
一 、多项式的存在惟一性
二、插值多项式的构造 (2)
(3)
,
三.插值多项式的余项 (4).
于是
思考题
第三节 曲线拟和的最小二乘法 一、直线拟和 二、将非多项式曲线拟合转化为线形拟合
第三节 曲线拟和的最小二乘法
一、直线拟和
(1) (2)
141 148 123 125 150 172 126 165 187
二、将非多项式曲线拟合转化为线性拟合 ⑵ 若拟合曲线的一般形式为 将其两边取对数得 (a,b 为待定系数).
思考题
第四节 数 值 积 分 一、求积公式的建立 二、求积公式的误差估计 三、复化求积公式 四、变步长的求积公式
第四节 数 值 积 分 一、求积公式的建立
(1)
二、求积公式的误差估计
三、复化求积公式
1. 复化梯形公式
2 . 复化辛普森公式
四 步长的求积公式
1.变步长梯形法则的递推公式
即
0.9460596 5 0.9460831 10 0.9459850 4 0.9460830 9 0.9456909 3 0.9460827 8 0.9445135 2 0.9460815 7 0.9397933 1 0.9460769 6 0.9207355 k
思考题
第五节 常微分方程的数值解法 一、欧拉方法 二、改进的欧拉方法 三、龙格—库塔方法 四、误差的分析
第五节 常微分方程的数值解法 应用解析方法求解常微分方程初值问题.
一、欧拉方法
(3)
二、改进的欧拉方法
(6)
三、龙格—库塔方法 (8)
例2 四阶龙格—库塔方法求解例1中的初值问题. 解 初值问题
, . 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 1.183229 1.341667 1.483281 1.612514 1.732142
四、误差的分析
k1=f(x0,y0), k2=f(x0+h0/2,y0+ h0 k1/2), k3=f(x0+h0/2, y0+ h0 k2/2), k4=f(x, y0+ h0k3), y1= y0+( k1+2k2+2k3+ k4) h0/6. 计算y1 k1=f(t1,g0), k2=f(t1+h1/2,g0+ h1 k1/2), k3=f(t1+h1/2, g0+ h1 k2/2), k4=f(t1 +h1, g0+ h1k3), y2= g0+( k1+2k2+2k3+ k4) h1/6. 计算y2
思考题 ⒈是否每个微分方程都能求其数值解. ⒉用欧拉方法能够求出初值问题的足够精确的解吗?