第一章 绪论 1.1 什么是数学建模 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 第一章 绪论 1.1 什么是数学建模 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模

模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征. 1.1 从现实对象到数学模型 我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.

你碰到过的几个数学模型 牛顿定律 F=ma 的发现 万有引力定律

数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述. 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学建模

1.2 数学建模的重要意义 “不想说了，太重要了，对一个世界，一个国家，一个民族，一个企业，一个单位，甚至是一个个人…….” .

1.3 数学建模示例 1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 1.3 数学建模示例 1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 模型假设 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.

模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. x B A D C O D´ C ´ B ´ A ´ 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置. 四只脚着地 椅脚与地面距离为零  距离是的函数. 四个距离(四只脚) 两个距离 正方形对称性 正方形ABCD 绕O点旋转 A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()

模型构成 数学问题 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. 地面为连续曲面 f() , g()是连续函数 椅子在任意位置至少三只脚着地 对任意, f(), g()至少一个为0 数学问题 已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.

模型求解 评注和思考 给出一种简单、粗造的证明方法 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换. 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0. 评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定 假设条件哪些是本质的,哪些是非本质的? 考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4)

1.3.2 商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. 河 小船(至多2人) 1.3.2 商人们怎样安全过河 河 小船(至多2人) 问题(智力游戏) 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. 乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?    3名商人    3名随从 问题分析 多步决策过程 决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.

模型构成 xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk) ~过程的状态 S ~ 允许状态集合 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} uk~第k次渡船上的商人数 uk, vk=0, 1, 2; k=1,2, vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk) ~过程的决策 D ~允许决策集合 D={(u , v) u+v=1, 2} 状态因决策而改变 sk+1=sk dk +(-1)k ~状态转移律

模型构成 求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0). 模型求解 S={(x , y) x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2} 穷举法~ 编程上机(试探回溯算法) x y 3 2 1 s1 图解法 d1 状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 d11 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. d1, d11给出安全渡河方案 sn+1

商人们怎样安全过河 智力游戏 多步决策过程(数学模型) 规格化方法 便于求解 (计算机编程等) 易于推广: 商人和随从人数增加或小船容量加大; 考虑4名商人各带一随从的情况. 恰当地设置状态和决策, 确定状态转移律及目标(目标函数). 多步决策模型:

1.3.3 如何预报人口的增长 世界人口增长概况 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 1.3.3 如何预报人口的增长 世界人口增长概况 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长

指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 x(t) ~时刻t的人口 与常用公式的一致 随着时间增加，人口按指数规律无限增长

指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合. 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代. 可用于短期人口增长预测. 不符合19世纪后多数地区人口增长规律. 不能预测较长期的人口增长过程. 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)

人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用, 且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数 假设 r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）

阻滞增长模型(Logistic模型) dx/dt x t x xm xm xm/2 xm/2 x0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢

阻滞增长模型(Logistic模型) 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm . 参数估计 根据统计数据利用线性最小二乘法作拟合 例：美国人口数据(百万) 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 2000 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 t x 数据(t,x) 数据(x,y) 用最小二乘法估计r,s r,xm

阻滞增长模型(Logistic模型) 用美国1860~1990年数据(去掉个别异常数据) r=0.2557, xm=392.1 模型检验 1790年为零点 模型检验 用模型计算2000年美国人口 =274.5 与实际数据(2000年为281.4)比较 误差不到3%

预报人口的增长 模型应用 预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 x(2010)=306.0 r=0.2490, xm=434.0 Logistic 模型的应用 种群数量模型 (鱼塘中的鱼群, 森林中的树木). 经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量). 预报人口的增长 指数增长模型 阻滞增长模型 修改假设 参数估计和模型检验是建模的重要步骤. 线性最小二乘法是参数估计的基本方法.

1.4 数学建模的一般步骤 模型准备 模型假设 模型构成 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用

1.5数学模型的分类 应用领域 人口、交通、经济、生态、… 数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计、… 表现特性 确定和随机 静态和动态 离散和连续 线性和非线性 建模目的 描述、优化、预报、决策、… 了解程度 白箱 灰箱 黑箱

数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 1.6 怎样学习数学建模 数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术 技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想像力 洞察力 判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型. 亲自动手，认真作几个实际题目.

参加全国大学生数学建模竞赛的意义和作用 1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织 2010年33省/市/区(含港澳)的1195校17200队

全国大学生数学建模竞赛 http://mcm.edu.cn 内容 赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题. 答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文. 形式 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛. 可使用任何“死”材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论. 假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性. 标准 宗旨 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争

竞赛培养创新精神和综合素质 三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短时间内获取与赛题有关知识的能力. 完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科技论文，培养同学的文字表达能力. 分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养同学的团队精神和组织协调能力. 在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识和自律精神.

多位中国科学院和中国工程院院士以及教育界的专家参加数学建模竞赛举办的活动，为竞赛题词,对这项活动给予热情关心和很高评价.

竞赛长期以来受到媒体关注与支持

学好数学建模的条件 手握一本教材《数学建模》 掌中一个笔记本电脑（安装有office，Matlab，Lingo，有道词典（为翻译做准备））； 怀有一颗刻苦学习的心； 乐观、积极、向上、求真、具有丰富的数学和计算机知识，并有较强的合作精神。

作业 查阅资料，学习编制商人过河算法程序（可利用C++，java，Matlab，Mathematica等语言） P11 习题 1 （思考题）甲乙两公司通过广告竞争销售商品的数量，广告费分别为x和y，设甲乙公司商品的销售量在两公司总量中占的份额，是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 和

又设公司的收入与销售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润，试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大？ （1）令 ，则f(t)+f(1-t)=1，画出f(t)的示意图。 （2）写出甲公司利润的表达式P(x)，对于一定的y，使P(x)最大的x的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。