南榮技術學院 九十七學年度教學媒體製作觀摩 微積分定理圖形化在教學上之應用 機械系副教授 蔡錦山 中華民國98年4月22日

簡報大綱 動機 微積分定理圖形化之範例 結論

動機 圖形加文字比純文字教學時更容易理解、活潑及生動 學生可一直反覆練習、研究 可節省上課時間

值域 稱集合{f(x)|x A}為函數f的值域(range)，記為f(A) 。 f(A) y A x f B

合成函數(1/2) 設f、g為兩函數，且g的值域為f的定義域之部分集合，則定義(f。g)(x)=f(g(x))，x Dg， 稱f。g為f與g的合成函數(composition of f and g)，讀作 f circle g。

合成函數(2/2) y=g(x) z=f(y) z x g y f f。g

水平漸近線 若 ，則稱y=c1或y=c2為f(x)的水平漸近線(horizontal asymptote)。 y=c2 y=c1 f(x)

垂直漸近線(1/2) 若 ，以上有任何一個成立，則稱x=a為f(x)的垂直漸近線(vertical asymptote)。 x=a f(x)

垂直漸近線(2/2) f(x) f(x) x=a x=a

斜漸近線 若 ，則稱y=mx+b為f(x)的斜漸近線(m≠ 0) (slant asymptote)。 f(x) f(x) y=mx+b

極限、連續及微分之關係 不一定 不一定 極限存在 連續 可微分 一定 一定

顯函數求切線斜率 若已知一顯函數y=f(x)，其通過某一特定點切線(tangent line)L之斜率為m=f ’(a)。 y=f(x) L

隱函數求切線斜率 若已知一隱函數F(x, y)=0，其通過某一特定點切線L之斜率為 。 y L (a, b) x

微分均值定理(mean-value theorem)(1/3) 若函數f(x) (1) 在閉區間[a, b]上連續 (2) 在開區間(a, b)上可微分 至少存在一點 ，使得

微分均值定理(mean-value theorem)(2/3) 只有一個c值，使得f ’(c)=m。 y=f(x) m (a, f(a)) (b, f(b)) x c a b

微分均值定理(mean-value theorem)(3/3) 有二個c值(c1及c2) ，使得f ’(c)=m。 y=f(x) m (b, f(b)) (a, f(a)) x c2 a c1 b

洛爾定理(Rolle’s theorem)(1/2) 若函數f(x) (1) 在閉區間[a, b]上連續 (2) 在開區間(a, b)上可微分 (3) f(a)=f(b) 至少存在一點 ，使得

洛爾定理(Rolle’s theorem)(2/2) y=f(x) 有二個c值(c1及c2)，使得f ’(c)=m=0。 (b, f(b)) m=0 (a, f(a)) x c2 a c1 b

遞增及遞減(1/4) 若區間I為函數f的定義域， (1) 若 ，則稱f在I為遞增。 y=f(x) x1 x2 x

遞增及遞減(2/4) (2) 若 ，則稱f在I為遞減。 y=f(x) x1 x2 x

遞增及遞減(3/4) 若函數f在區間I為可微分， (1) 若 ，則稱f在I為遞增。 y=f(x) x1 x2 x

遞增及遞減(4/4) (2) 若 ，則稱f在I為遞減。 y=f(x) x1 x2 x

相對極值之一階導數判別法(1/2) 設c為平穩點或奇異點，且 (1) 若a<x<c，f ‘(x)>0且c<x<b，f ‘(x)<0，則f(x) 在x=c處具有相對極大值f (c)。 y=f(x) f (c) f’(x)<0 f’(x)>0 x a c b

相對極值之一階導數判別法(2/2) (2) 若a<x<c，f ‘(x)<0且c<x<b，f ‘(x)>0，則f(x) 在x=c處具有相對極小值f (c)。 y=f(x) f’(x)<0 f’(x)>0 f (c) x a c b

分部積分法(integration by parts) u dv du v + 微分 積分 -

定積分之幾何意義 y y=f(x) x x=a x=b

對稱函數定積分之計算—奇函數 y f(x) x x=-a x=a

對稱函數定積分之計算—偶函數 y f(x) x x=-a x=a

對稱函數定積分之計算—週期函數 y f(x) x a a+p b b+p

積分均值定理 y=f(x) y f(c) a c b x

求積分的近似值 左端點法則： y=f(x) y xi-1 xi x

積分的應用—求面積(1/5) y y=f(x) A x x=a x=b

積分的應用—求面積(2/5) y y=f(x) A y=g(x) x x=a x=b

積分的應用—求面積(3/5) y y=f(x) A y=g(x) x x=a x=b

積分的應用—求面積(4/5) y=f(x) y A . . x=a x=b x

積分的應用—求面積(5/5) x=f(y) y y=d A y=c x=g(y) x

結語 將定理圖形化，可提昇教學成效。 上課時除使用電腦及投影機外，仍需搭配板書。 學生須下載檔案，配合課本及筆記學習。 須注意學生學習狀況及程度。

簡報完畢 敬請指導