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第三章 流体静力学 流体静力学概述 3.1 作用于静止流体上的力 3.2 流体静压强及其特性 3.3 静止流体的平衡微分方程式 第三章 流体静力学 流体静力学概述 3.1 作用于静止流体上的力 3.2 流体静压强及其特性 3.3 静止流体的平衡微分方程式 3.4 重力作用下静止流体中压强分布规律 3.5 静压强的表示方法及其单位 3.6 流体的相对静止 3.7 静止流体对壁面作用力计算

流体静力学概述 所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有相对运动，达到了相对的平衡。 因此流体处于静止状态包括了两种形式： 流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。 所谓平衡（或者说静止），是指流体宏观质点之间没有相对运动，达到了相对的平衡。 因此流体处于静止状态包括了两种形式： 一种是流体对地球无相对运动，叫绝对静止，也称为重力场中的流体平衡。如盛装在固定不动容器中的液体。 另一种是流体整体对地球有相对运动，但流体对运动容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动，这种静止叫相对静止或叫流体的相对平衡。例如盛装在作等加速直线运动和作等角速度旋转运动的容器内的液体。

3.1 作用于静止流体上的力 一、质量力 1、定义：作用于流体的每一个流体质点上，其大小与流体所具有的质量成正比的力。在均质流体中，质量力与受作用流体的体积成正比，因此又叫体积力。 2、常见的质量力： 重力ΔW = Δmg、 直线运动惯性力ΔFI = Δm·a 离心惯性力ΔFR = Δm·rω2 。 3、质量力的大小用单位质量力来度量。所谓单位质量力就是作用于单位质量流体上的质量力。

4、表示方法：设均质流体的质量为m ，体积为V，所受质量力为F。 则 F = m ·am = m(fxi+fyj+fzk) 其中am = F/m = fxi+fyj+fzk为单位质量力，在数值上就等于加速度。 而fx、fy、fz 分别表示单位质量力在坐标轴上的分量，在数值上也分别等于加速度在x 、y、 z轴上的分量。 实例：重力场中的流体只受到地球引力的作用，取z轴铅垂向上，xoy为水平面，则单位质量力在x 、y、 z轴上的分量为 fx= 0 , fy= 0 , fz= -mg/m = -g 式中负号表示重力加速度g与坐标轴z方向相反。

二、表面力 1、定义：表面力是作用于被研究流体的外表面上，其大小与表面积成正比的力。 2、种类： 法向分力：沿表面内法线方向的压力，单位面积上的法向力称为流体的正应力。 切向分力：沿表面切向的摩擦力，单位面积上的切向力就是流体粘性引起的切应力。 3、作用机理： 周围流体分子或固体分子对分离体表面的分子作用力的宏观表现。

I、流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线方向。 3.2 流体静压强及其特性 一、压强：在静止或相对静止的流体中，单位面积上的内法向表面力称为压强。 二、流体静压强的两个特性： I、流体静压强垂直于其作用面，其方向指向该作用面的内法线方向。 （利用静止流体性质进行证明） II、静止流体中任意一点处流体静压强的大小与作用面的方位无关，即同一点各方向的流体静压强均相等。

证明：在静止流体中任取一包含 A点在内的微小四 面体ABCD ，各边长分别为 dx 、dy 、dz ，坐标如 三、特性二证明 证明：在静止流体中任取一包含 A点在内的微小四 面体ABCD ，各边长分别为 dx 、dy 、dz ，坐标如 图3-3选取。因为微小四面体处于平衡状态，所以 其上所受的力是平衡的。作用于微小四面体上的力 只有质量力和表面力两种。 首先分析质量力，设流体的密度为ρ，则微小四面 体流体所具有的质量为 dm= ρdxdydz/6，则质量力 在 x、y、z 轴上的分量为： Fx = dmfx = fx  ρ dxdydz /6 Fy = dmfy = fy  ρ dxdydz /6 Fz = dmfz = fz  ρ dxdydz /6

再考察微小四面体ABCD四个面上所受到的表面力， 设作用于ACD 、ABD 、ABC 和BCD 四个面上的压 强分别为 px ，py ，pz 。由于四面体很小，可以认为 在各个微小表面上的压强是均布的，则在各相应表面 上的表面力为 Px=dydzpx/2 Py=dxdzpy/2 Pz=dxdypz/2 Pn=dspn 式中ds为斜面BCD 的面积。 分别列出x轴、y轴、z轴方向上的力平衡方程式，得 Fx + Px- Pndscos(n,x)=0 Fy + Py- Pndscos(n,y)=0 Fz + Pz- Pndscos(n,z)=0

ρfx dxdydz/6 + (px –pn)dydz/2 = 0 以x轴为例，将质量力和表面力表达式代入x轴向里平 衡关系方程 得： ρfxdxdydz/6 + pxdydz/2 –pndscos(n,x)=0 式中dscos(n,x)=dydz/2，所以上式变成 ρfx dxdydz/6 + (px –pn)dydz/2 = 0 令dx、dy、dz趋近于零 则有： px = pn 同理可得： py = pn pz = pn 所以 px = py = pz = pn 总结：流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的 连续函数。即：p= p(x,y,z)，由此得静压强的全微分 为

3.3 静止流体的平衡微分方程式 一、平衡微分方程式 以图示微小平行六面体为研究对象，六面体质量为 dm=ρdxdydz 首先考察三个轴向上的质量力： Fx = fx dm = fx ρ dxdydz Fy = fy dm = fy ρ dxdydz Fz = fz dm = fz ρ dxdydz 其次分析三个轴向上的表面力： 假设A点的压强为p(x,y,z)，则根据静压强特性二， 有： pABD = pABC = pACD = p (x,y,z) 将函数p = p (x,y,z)进行泰勒级数展开，并只取一阶无 穷小量，从而得到其它对应三个面上的压强为：

由此得三个方向上的表面力分别为： X向 Y向 Z向 微小六面体在三个轴向上处于平衡状态，所以作用 在其上的质量力和表面力的合力应为0。即：

化简得： 两边同除六面体质量ρdxdydz ，则得单位质量 流体的力平衡方程为：

总结： （1）欧拉平衡微分方程式适用于任何种类的平衡流体。 （2）欧拉平衡微分方程说明了微元平衡流体的质量力和表面力无论在任何方向上都应该保持平衡，即：平衡流体在哪个方向上有质量分力，则流体静压强沿该方向必然发生变化；反之平衡流体在哪个方向上没有质量分力，则流体静压强在该方向上必然保持不变。假如可以忽略流体的质量力，则这种流体中的流体静压强必然处处相等。

二、力势函数 1、压强差公式（欧拉平衡微分方程式综合形式） 把欧拉平衡微分方程式中的三个方程分别乘以dx、 dy、dz ，然后相加得 上式右边为压强的全微分 ，因此 2、质量力的势函数 压强差公式中的dp积分后得到一点上的静压强p， 而平衡流体中任意一点的静压强由其坐标唯一确 定，因此压强差公式左端的积分也应该是一个唯一 确定的值。

取函数U(x,y,z)令： 则有： 所以压强差公式变化为： 3、重力场中平衡流体的质量力势函数 重力场中单位质量力为：fx= 0, fy= 0, fz= -g, 代入力 势函数公式有： 积分得：U = -gz + c

三、等压面及其特性 1、等压面：在静止流体中，由压强相等的点所组成的面。 2、等压面微分方程式 fxdx + fydy + fzdz = 0 3、等压面的性质： I、等压面也是等势面； II、等压面垂直于单位质量力； 证明：取等压面上任意微小线段dl = dxi + dyj + dzk，令R = fxi + fyj + fzk为等压面上任意一点的单位质量力，则有：

只有 cos(R,dl) = 0，上式成立，所以单位质量力R 与等压面垂直。 III、两种互不掺混液体的分界面也是等压面。

3.4 重力作用下静止流体中的压强分布规律 一、流体静力学基本方程 推导： 在重力场中，单位质量力分量为：fx= 0 , fy= 0 , fz= -g 代入压强差公式： 得： 即： 对于不可压缩流体，ρ = 常数。积分得： p + gz = c 形式一 由图3-5，从均质连续流体中取任意两点1、2，假设 其铅垂坐标分别为 z1和z2 ，静压强分别为p1 和 p2， 则上式又可写成：p1+gz1 = p2+gz2 = c

简单变换为： 形式二 或 形式三 上三式统称为流体静力学基本方程，又称水静力学 基本方程。 二、流体静力学基本方程的能量意义和几何意义 （1）位置水头（位置高度）：流体质点距某一水 平基准面的高度。（见图3-5中的z） （2）压强水头（压强高度）：由流体静力学基本方程中的p/( g)得到的液柱高度。（见图3-5中的hp） （3）静力水头：位置水头z和压强水头p/( g)之和。

（4）几何意义：在重力场中，对均质连续不可压缩静止流体，其静力水头为一确定值，换句话说静力水头的连线为一平行于某一基准面的水平线。 （5）压强势能：流体静力学基本方程中的p/项为单位质量流体的压强势能。 （6）能量意义：在重力场中，对均质连续不可压缩平衡流体，任意一点单位质量流体的总势能保持不变 。 三、自由液面不可压缩流体压强基本公式 （1）压强基本公式 p=p0+gh

（3）液面压强的产生方式：外力施加于流体表面产生压强。 一是通过固体对流体施加外力而产生压强； 二是通过气体使液体表面产生压强； （2）淹深：自由液面下的深度。 （3）液面压强的产生方式：外力施加于流体表面产生压强。 一是通过固体对流体施加外力而产生压强； 二是通过气体使液体表面产生压强； 三是通过不同质的液体使液面产生压强。 （4）帕斯卡原理：液面压强能够在流体内部等值传递的原理。 h' h h

3.5 静压强的表示方法及其测量 一、静压强的表示方法 1、大气压强(pa）：由地球表面上的大气层产生的压 强。 2、国际标准大气压强(patm） ：将地球平均纬度（北 纬45º）,海平面z = 0处，温度为15ºC时的压强平均 值。定义为国际标准大气压强。且patm= 101325Pa 。 3、流体静压强的表示方法 表压强：表压强是以大气压强为基准算起的压强，以pb表示。 绝对压强：以绝对真空为基准算起的压强叫绝对压强，以pj表示。

真空度：低于大气压强，负的表压强称为真空度，以pz 表示。 3、表压强、大气压强、绝对压强和真空度之间关系 绝对压强 = 大气压强 + 表压强 表压强 = 绝对压强  大气压强 真空度 = 大气压强  绝对压强 4、静压强的计量单位 应力单位：Pa、N/m2、bar 液柱高单位：mH2O、mmHg 标准大气压：1 atm = 760 mmHg =10.33 mH2O = 101325 Pa ≈ 1bar

二、压强的测量 1、测量仪表 金属弹性式压强计：液压传动中的压力表。大量程直接观测。 电测式压强计：压力传感器。远程动态测量。 液柱式压强计：用于低压实验场所。精度高 。 2、测压管 测量方法： A点的绝对压强 pj =pa+gh A点的表压强 pb=pj-pa=gh

如图3-8中，两种液体的交界面上的点1和点2 是等压 面，所以点1和点2的静压强相等，即 p1=p2 。设A点 的绝对压强为pj， 3、U型测压计 测压原理：等压面性质 测压公式： 如图3-8中，两种液体的交界面上的点1和点2 是等压 面，所以点1和点2的静压强相等，即 p1=p2 。设A点 的绝对压强为pj， 则有 p1=pj+1gh1 p2=pa+2gh2 p1 = p2，所以 pj+1gh1= pa+2gh2 A点的绝对压强： pj=pa+2gh2- 1gh1 A点的表压强： pb=pj-pa=2gh2- 1gh1 注意：工作液体的密度要大于被测液体的密度，并且这两种液体不能掺混。

4、U型差压计 测试原理：存在两个等压面1’—2和3’—3 在1’—2等压面上有：p1=p2=p3+1gh1 在3’—3等压面上有： pB=p3+ghB 而： pA=p1+ghA 即： pA=p3+1gh1+ghA=pB +1gh1+ghA -ghB 于是 pA-pB=1gh1+ghA-ghB =1gh1-g(hB-hA) =1gh1-gh1 =(1-)gh1

5、微压计 测试原理：连通容器中装满密度为2的液体，右边的测管可以绕枢轴转动从而形成较小的锐角，容器原始液面为O—O，当待测气体（p>pa)引入容器后，容器液面下降h ，而测管中液面上升h，形成平衡。根据等压面方程，有： pj=pa+2g(h+h) 表压强 pb = pj-pa = 2g(h+h) 而 h=Lsin 根据体积相等原则有： 变换为： 所以 pb = 2gL(sinα+(d/D)2)

acosdy+(asin-g)dz=0 3.6 流体的相对静止 一、容器做匀加速直线运动 例：如图3-12所示，设盛有液体的容器以等加速度 a，沿与水平面成  角的倾斜面做直线运动。试分 析平衡状态下流体的压强分布情况。 第一步：建立适当的坐标系； 第二步：根据容器运动情况，确定平衡流体的单位 质量力分量：fx= 0 , fy=acos , fz=asin-g 第三步：根据相应几何关系确定等压面方程 acosdy+(asin-g)dz=0 于是：

p=p0+aycos +z(asin-g) 第四步：根据压强差公式，建立流体的压强分布公 式。 由压强差公式：dp=(fxdx+fydy+fzdz) 得： dp=acosdy+(asin-g)dz 积分得 p=aycos +z(asin-g)+c 其中 c=p0 ，于是得出 p=p0+aycos +z(asin-g)

二、匀加速直线运动的两个特例 [特例1]容器向左沿水平面作匀加速直线运动 图示坐标系中： 单位质量力： fx= 0 , fy=a , fz=-g 等压面方程：tanβ=a/g 压强分布公式： dp=ady-gdz 积分得 p=ay +z(-g)+c 其中 c=p0 ，于是得出 p=p0+ay +z(-g) =p0+g(a/g)y -z = p0+g ytanβ -z = p0+gh 定义 h=ytan-z 为倾斜液面下的淹深

[特例2]容器沿铅锤方向作匀加速直线运动 向下运动时： 图示坐标系中： 单位质量力： fx= 0 , fy=0 , fz=a-g 等压面方程：tanβ= 0 压强分布公式： dp=(a-g)dz 积分得 p=(a-g)z+c 其中 c=p0 ，于是得出 p=p0+ (a-g)z =p0+(g-a)(-z) = p0+ (g-a)h 此时 h=-z 为液面下的淹深

向上运动时： 图示坐标系中： 单位质量力： fx= 0 , fy=0 , fz=-a-g 等压面方程：tanβ= 0 压强分布公式： dp=(-a-g)dz 积分得 p=(-a-g)z+c 其中 c=p0 ，于是得出 p=p0+ (-a-g)z =p0+(g+a)(-z) = p0+ (g+a)h 此时 h=-z 为液面下的淹深

三、容器做等角速度旋转运动 例：如图3-13所示。盛有液体的容器绕铅垂轴旋 转，当运动为等角速度旋转时，液体质点之间没有 相对运动，处于平衡状态。 第一步：建立适当的坐标系； 第二步：根据容器运动情况，确定平衡流体的单位 质量力分量：fx= 2x , fy= 2y , fz=-g 第三步：根据相应几何关系确定等压面方程 2x dx+2ydy-gdz=0 积分得：

第四步：根据压强差公式，建立流体的压强分布公 式。 由压强差公式：dp=(fxdx+fydy+fzdz) 得： dp=(2x dx+2ydy-gdz) 积分得 p=g[ 2r2/(2g)-z]+c 其中 c 根据实际问题的边界条件确定。

四、等角速度旋转运动的两个特例 [特例1]如图3-14容器顶盖中心开口通大气。 分析：根据压强分布规律方程 p=g[ 2r2/(2g)-z]+c 代入边界条件：r=0, z=0时，p=0，得 c=0 所以有：p=g[ 2r2/(2g)-z] 当r=R时，边缘处压强为p=2R2/2- gz

[特例2]如图3-15容器顶盖边缘开口通大气。 分析：根据压强分布规律方程 p=g[ 2r2/(2g)-z]+c 代入边界条件：r=R, z=0时，p=0，得 c=-2R2/2 所以有：p= 2(r2-R2)/2 - gz 当r=0时，中心处压强为p=-2R2/2

3.7 静止流体对壁面作用力的计算 一、静止流体对平面壁的总压力 实例分析：设有一任意形状的平板，其面积为A， 置于静止液体之中，如图3-16所示。液体中任意点 的压强与淹深 h 成正比，且垂直指向平板。液体对 平板的总作用力，相当于对平行力系求合力。 （1）力的求解 在平板受压面上，任取一微小面积dA ，其上的压 强可看成均布，则 p=p0+gh = p0+gysin

因此微元面积 dA上受到流体的微小作用力为 dF=pdA= (p0+gysin)dA 积分上式得流体作用于平板 A上的总压力 （2）面积矩：定义 为平面A 绕通过o点的ox轴 的面积矩。而 ，yc是平板形心c 到ox轴的 距离。且ycsin=hc，所以总压力化为 F=p0A+gAycsin =p0A+ghcA （3）压力中心：总压力的作用点。 本例中，假设平板有一对称轴，且对称轴平行oy轴

压力中心可通过力矩求和的方法得到： 总压力F 对ox轴的力矩：F·yd 微小压力dF 对ox轴的力矩之和： 其中： 为面积A对ox轴的惯性矩。而Jx=Jc+yc2A。 Jc为面积A对通过形心平行ox轴的惯性矩。 由力矩相等得：

二、流体对曲面壁的总压力 实例分析：设曲面 ab的面积为A ，置于液体之 中，如图3-17所示。 （1）力的分解 在曲面 ab上任取一微小面积dA（淹深为 h），其 所受压力 dF=ghdA 将dF分解为水平分力dFy和垂直分力dFz，然后分 别在整个面积 A上求积分。 （2）水平分力：

其中： 为面积A在yoz坐标面上的投影 面积Ay对 ox轴的面积矩。 水平分力方向：通过Ay压力中心 （3）垂直分力： 垂直分力方向：通过压力体重心。 （4）压力体：是所研究的曲面与通过曲面周界的 垂直面和液体自由表面或其延伸面所围成的封闭空 间。即： （5）总压力： 夹角为 压力作用线：通过水平分力和垂直分力的交点。

三、压力体的确定

本章小结 几个基本概念：质量力、表面力、流体的平衡状态、压强、质量力的势函数、位置水头、静力水头、淹深、压力体。 重点：流体静压强特性、欧拉平衡微分方程式、等压面方程及其、流体静力学基本方程意义及其计算、压强关系换算、相对静止状态流体的压强计算、流体静压力的计算（压力体）。 作业：3-2；3-4；3-7；3-8；3-9