第二章 貨幣的時間價值 Dr. Mei-Hua Chen

重 點 摘 要 1 1 終值 2 現值 3 年金現值 4 報酬率 5 貸款攤銷

時間線(time line)代表現金流量的時點 CF0 CF1 CF3 CF2 1 2 3 i% 刻度上的數字代表的是那一期的期末，時間0表示今天； 時間1代表從今天開始計算一期，或第一期期末； 時間2是從今天開始計算二期，或第二期期末。

1 2 年 i% 100 第2年有現金流量$100的時間線

1 2 2 3 3 i% 100 100 100 3年期普通年金$100的時間線

1 2 3 i% -50 100 75 50 參差現金流量 t = 0 時，CFs =-$50 ，1到3年年底各為$100, $75, 及$50。

複利計算 1 2 3 10% 100 FV = ? 期初投入$100 的3年後終值，假設i = 10%?

複利計算 1 2 3 100 FV = ? 1年後 FV1 = PV + INT1 = PV + PV(i) = PV(1 + i) 1 2 3 10% 100 FV = ? 1年後 FV1 = PV + INT1 = PV + PV(i) = PV(1 + i) = $100(1.10) = $110.00.

複利計算 1 2 3 100 FV = ? 2年後 FV2 = PV(1 + i)2 = $100(1.10)2 = $121.00. 1 2 3 10% 100 FV = ? 2年後 FV2 = PV(1 + i)2 = $100(1.10)2 = $121.00.

複利計算 1 2 3 100 FV = ? 3年後 2年後 FV3 = PV(1 + i)3 = 100(1.10)3 = $133.10. 1 2 3 10% 100 FV = ? 3年後 2年後 FV3 = PV(1 + i)3 = 100(1.10)3 = $133.10.

複利計算 1 2 3 10% 100 FV = ? 一般式 FVn = PV(1 + i)n.

一般數字型計算機 利率表 四種方式求解終值 財務型計算機 電腦試算表(如 EXCEL)

財務型計算機求解 以財務計算機解下列方程式 FVn = PV(1 + i)n 方程式中有4個變數，若3個已知，則可求解出第4個。

財務型計算機求解 INPUTS 3 10 -100 0 N I/YR PV PMT FV 133.10 OUTPUT 相關設定 3 10 -100 0 N I/YR PV PMT FV 133.10 OUTPUT * 記得設定每年支付次數是1次 Set: P/YR = 1, END

3年後的$100，在利率為10%下的現值 1 2 3 10% PV = ? 100

3年後的$100，在利率為10%下的現值 3 1 æ ö ( ) PV = $100 ç ÷ = $100 PVIF è 1.10 ø i, n = $100 ( 0.7513 ) = $75.13.

財務型計算機求解 INPUTS 3 10 0 100 N I/YR PV PMT FV OUTPUT * 許多計算機的PV都會以負值呈現， 3 10 0 100 N I/YR PV PMT FV OUTPUT 75.13 * 許多計算機的PV都會以負值呈現， 此例中，計算機會產生 -75.13，即PV =75.13。

若銷售成長每年成長20%，何時銷售量會加倍？ 本題在於求解n: FVn = 1(1 + i)n 2 = 1(1.20)n 利用計算機求解

財務型計算機求解 FV 年 INPUTS 20 -1 0 2 N I/YR PV PMT FV 財務型計算機求解 OUTPUT 圖示 3.8 20 -1 0 2 N I/YR PV PMT FV 財務型計算機求解 OUTPUT 3.8 圖示 FV 2 3.8 1 年 1 2 3 4

普通年金與期初年金的差異 普通年金 1 2 3 i% PMT PMT PMT 期初年金 1 2 3 i% PMT PMT PMT

3年普通年金$100的終值，假設利率為10% 1 2 3 10% 100 100 100 110 121 FV  331

財務型計算機求解 INPUTS 3 10 0 -100 N I/YR PV PMT FV OUTPUT 331.00 * PV值輸入0

3年普通年金$100的現值，假設利率為10% 1 2 3 10% 100 100 100 90.91 82.64 75.13 248.68  PV

財務型計算機求解 INPUTS 3 10 100 0 N I/YR PV PMT FV OUTPUT -248.69 * FV值輸入0

求3年期初年金$100的現值 & 終值，假設利率為10% 1 2 3 10% 100 100 100

參差現金流量的現值 1 2 3 4 10% 100 300 300 -50 90.91 247.93 225.39 -34.15 530.08  PV

財務型計算機求解 依序輸入個別現金流量至現金流量記憶體 CF0 = 0 CF1 = 100 CF2 = 300 CF3 = 300 再輸入利率 I = 10,按NPV鍵，便可得到這個流量的現值 NPV = 530.09

3年內使$100 成長至 $125.97 的利率為何？ $100 (1 + i )3 = $125.97 3 -100 0 125.97 3 -100 0 125.97 INPUTS N I/YR PV PMT FV OUTPUT 8%

在維持利率不變下，增加複利次數，則終值會較大或較小？為什麼？ 變大！! 複利的期數愈多，最終複利金額愈大， 這是因為「利滾利」的次數愈多。

普通年金與期初年金的差異 FV3 = 100(1.10)3 = 133.10. FV6 = 100(1.05)6 = 134.01. 一年複利一次 1 2 3 10% 100 133.10 FV3 = 100(1.10)3 = 133.10. 半年複利一次 1 2 3 1 2 3 4 5 6 5% 100 134.01 FV6 = 100(1.05)6 = 134.01.

iNom = 名目或報價利率 3種不同的利率 iPer = 期間利率 EAR = EFF% = 有效年利率

名目或報價利率(iNom ) 是合約上所載利率，每年複利次數也是已知條件。 例如: 8%; 每季複利 8%, 每天複利 (多以365 天計)

期間利率 (iPer) 期間利率 = iPer = iNom/m 例如： 8% 每季複利  iPer = 8%/4 = 2%. m = 4 為每季複利, m =12 為每月複利, 而 m = 365 是每天複利 期間利率 (iPer) 期間利率 = iPer = iNom/m m 是每年複利次數. 例如： 8% 每季複利  iPer = 8%/4 = 2%. 8% 每天複利(365) iPer = 8%/365 = 0.021918%

有效年利率 (EAR = EFF%) 能夠和每年複利一次的利率產生相同未來值的年利率。 例題: EFF% 為 10%, 每半年複利一次 FV = (1 + iNom/m)m = (1.05)2 = 1.1025.  EFF% = 10.25 (1)在利率10.25%，每年複利； (2)利率為10%，半年複利下。都會有相同的FV。

當兩個方案間的現金流量或支付期間有差異 時，有效年利率經常用作投資的報酬率或貸 款成本之比較。 銀行所謂的「每天都會支付利息」，意即每 天複利。

如何計算EFF% ，假設名目利率，每半年複利一次

EAR = EFF% of 10% EARAnnual = 10%. EARQ = (1 + 0.10/4)4 – 1 = 10.38%. EARM = (1 + 0.10/12)12 – 1 = 10.47%. EARD(360) = (1 + 0.10/360)360 – 1 =10.52%.

有效年利率會等於名目利率嗎？ 當每年複利一次時，兩者是相等的。 若每年複利次數大於一次，有效年利率就會大 於名目利率。

何時使用哪一種利率 若 iNom 為每年利率，則 iPer = iNom/1 = iNom iNom iPer EAR = EFF% 由銀行、經紀商及其他財務中介機構所報價的年利率。 並非是直接用來計算或顯現在時間線上的利率。 比較支付頻率不同投資案的報酬率 有效年利率通常不會用來作計算現值或未來值，但是當現金流量或支付期間有差異，有效年利率經常用作投資的報酬率或貸款成本之比較。 每期貸款者所索取或借款者支付的利率。 通常畫在時間線上或用在計算上的利率即為期間利率 若 iNom 為每年利率，則 iPer = iNom/1 = iNom

FV = PV 1 + i m æ è ç ö ø FV of $100 於3年後的終值，假設利率10%，每半年複利一次、每季複利一次 mn Nom mn æ è ç ö ø FV = $100 1 + 0.10 2 3S 2x3 æ è ç ö ø = $100(1.05)6 = $134.01. FV3Q = $100(1.025)12 = $134.49.

下列現金流量於第3年的終值，在利率為10%下，採取每半年複利一次。 6個月為一期 1 2 3 4 5 5% 100 100 100

雖然是每年支付，但是每半年就複利一次。 所以無法使用名目年利率來計算。

第一種方法： 複利每一期CF 1 100 2 3 5% 4 5 6 100.00 110.25 121.55 331.80 FVA3 = 100(1.05)4 + 100(1.05)2 + 100 = 331.80.

第二種方法：當作年金來計算 EAR = (1 + ) – 1 = 10.25%. 0.10 2 a. 計算報價利率的EAR : NOM% = 10 ； P/YR = 2 ； EFF% = 10.25.

第二種方法：當作年金來計算 現金流量為年金形式，計算當EFF% = 10.25% 的名目年利率kNom (annual) 利用計算機算出EAR EFF% = 10.25 ； P/YR = 1 ； NOM% = 10.25

第二種方法：當作年金來計算 c. 3 10.25 0 -100 INPUTS N I/YR PV PMT FV OUTPUT 331.80

此現金流量的現值為何? 1 2 3 5% 100 100 100 90.70 82.27 74.62 247.59

貸款的攤銷 建立3年期的攤銷表，貸款金額為$1,000 ，貸 款年利率為10% 每期支付額相同。

第一步：找出每期支付額 3 10 -1000 0 INPUTS OUTPUT 1 2 3 10% -1,000 PMT PMT PMT N 1 2 3 10% -1,000 PMT PMT PMT 3 10 -1000 0 INPUTS N I/YR PV PMT FV OUTPUT 402.11

第二步：找出第一年的利息支付 INTt = 第t期期初餘額x(i) INT1 = $1,000(0.10) = $100.

第三步：找出第一年的本金攤還 本金償還額 = PMT – INT = $402.11 – $100 = $302.11.

第四步：找出第一年的期末餘額 期末餘額= 期初餘額 – 本期本金償還額 = $1,000 – $302.11 = $697.89. 重複這些步驟直到完成貸款攤銷表

貸款攤銷表 1 $1,000 $402 $100 $302 $698 期出 本金 期末 年 金額 支付額 利息 攤還 金額 期出 本金 期末 年 金額 支付額 利息 攤還 金額 1 $1,000 $402 $100 $302 $698 2 698 402 70 332 366 3 366 402 37 366 0 TOT 1,206.34 206.34 1,000 利息支付遞減

$ 402.11 利息 302.11 本金攤還 1 2 3 利息支付遞減是因為貸款餘額減少。

分期付款計算支付金額的問題，包括：汽車貸款、房屋抵押貸款、助學貸款，以及除短期貸款外的大部分企業貸款、長期債券等。 財務型計算機中已有攤銷表的程式，只要將所有資料輸入，再按一個鍵便完成。若使用試算表如Excel，貸款攤銷表更是易於建立與使用。

假設你在銀行裡存入$100，利率10%，以每天複利一次計算。你將這筆錢存在銀行九個月（273天）後，你的帳戶裡將有多少錢？

iPer = 10.0% / 365 = 0.027397% (每一天). 1 2 273 0.027397% ... -100 FV = ? 273 FV = $100 ( 1.00027397 ) 273 = $100 ( 1.07765 ) = $107.77

iPer = iNom/m = 10.0/365 = 0.027397% (每一天) INPUTS 273 -100 0 OUTPUT = 10.0/365 = 0.027397% (每一天) INPUTS 273 -100 0 N I/YR PV PMT FV OUTPUT 107.77

假設存入銀行的時間是21個月，意即 1.75 年 或是 273 + 365 = 638 天 到期後，帳戶將有多少餘額？ 答案: N = 638，FV = $119.10.

Thank You !