Ch3 - 靜電 § 3-1 電荷與電量 § 3-2 庫侖定律 § 3-3 電場與電力線 § 3-4 電位能、電位與電位差 § 3-5 電容

§ 3-1 電荷與電量 電荷的種類：產生電力的電荷有兩種，按富蘭克林之命名 電量單位： 正電：被絲絹摩擦後之玻璃棒所帶之電稱為正電。 負電：被毛皮摩擦後之塑膠棒所帶之電稱為負電。 電量單位： 庫侖：電路上 1 安培的穩定電流在 1 秒鐘內通過電路某一截面積上的總電量，以 C 表示。 （註：安培為物理的基本單位之一，將在磁學中定義。） 基本電荷：自然界中最小的電量單位。以 e 表示。 法拉第：1 莫耳之基本電荷所帶之電量。以 F 表示 F = 96500庫侖。

電荷守恆與電荷量子化： 摩擦起電： 電荷守恆定律：自然界任何一個孤立系統的總電荷量是維持不變的。 電荷量子化（不連續性）：1909年米立坎（Millikan）著名的「油滴實驗」證實出每一油滴所帶的電量皆為某一最大公約數 e 的整數倍，此最大公約數 e，稱為電荷的基本單位。 摩擦起電： 將非導體互相摩擦，物質中的電子獲得能量，由一物體轉移到另一物體上。游離能低的物體失去電子而帶正電，游離能較高的物體獲得電子而帶負電。

靜電感應： 由於帶電體的接近而使得一個導體內正、負電荷分離的現象稱為感應起電，1975年瑞典人威爾克發現。聚集於導体不同部分的正、負電荷稱為感應電荷。利用靜電感應原理，使物體帶電的現象稱為感應起電。

使兩導體帶等量異性電荷： (a) (b) (c) 使一個導體帶電： (a) (b) (c)

驗電器： 金箔驗電器的構造：

金箔驗電器的功用： 測知待側物是否帶電： 使驗電器不帶電，將待測物接近，若金箔張開則待測物帶電。 檢驗待側物帶電之電性： 使驗電器帶電已知電性，將待測物接近，若金箔角度變大則待測物帶同性電；若金箔張開角度變小則待測物帶異性電。 註：若金箔先垂閉後又張開，則待測物帶大量異性電。 檢驗待側物是否為導體： 使驗電器帶電，將待測物與驗電器接觸後分離，若金箔張角會改變的便是導體，否則為絕緣體。

(a) (b)

例題：有 A、B、C 三個塑膠小球，任意兩個間都是引力作用，若A帶正電，則 (A) B、C兩球都不帶電 (B) B、C兩球都帶負電 (C) B球帶負電，C球不帶電 (D) B球不帶電，C球帶負電 (E)B球帶負電，C球帶正電。 答：(C)(D) 例題：以絲絹摩擦玻璃棒時，下列那些敘述是正確的？ (A)絲絹上的質子移至玻璃棒上 (B)玻璃棒上的電子移至絲絹上 (C)玻璃棒上的質子移至絲絹上 (D)絲絹上的電子移至玻璃棒上 (E)兩者所帶電量與電性都相同。 答：(B)

例題：一帶正電的金屬球 A，移近原互相接觸的 B、C 兩球中的 B 球（各球均以絕緣座固定），如果先將B、C 兩球分開後再移開球 A，則 (A)若 B、C 為塑膠球，則 B 帶負電，C 帶正電 (B)若 B 為金屬球，C 為塑膠球，則 B 帶負電，C 帶正電 (C)若 B 為金屬球，C 為塑膠球，則 B、C 不帶電 (D)若 B、C 為金屬球，則 B 帶負電，C 帶正電 (E)若 B、C 為塑膠球，則 B、C 不帶電。 答：(C)(D)(E)

例題：金箔驗電器因帶電而兩箔片張開α角，今以一帶負電之物體逐漸接近金屬球，見金箔逐漸閉合然後張開，此時以手接觸驗電器頂之金屬球，先移去手指再移去帶負電物體，見金箔又行張開β角，則 (A)金箔帶正電 (B)金箔帶負電 (C) α>β (D) α<β (E)經手指流向地球的為負電荷。 答：(A)(D)(E)

§ 3-2 庫侖定律 庫侖定律： 庫侖力與萬有引力的比較： r q1 q2 兩者均為保守力且均與距離的平方成反比。 庫侖力是電荷所產生，萬有引力是質量所造成。 庫侖力有吸引力及排斥力，萬有引力只有吸引力。

例題：三個完全相同的導電球 A、B 及 C，其中 A、B 兩球各帶相等電荷，且位置固定，但 C 球不帶電。若 A、B 兩球距離 d 遠大於球的半徑，其間的靜電斥力為 F 。今將 C 球先與 A 球接觸，移開後再與 B 球接觸，然後移到遠處。則最後 A、B 兩球間之作用力為__________。

例題：右圖中正三角形三頂點上各置點電荷 q，若於此三角形重心處放另一點電荷 Q 後，此四個點電荷恰可成靜止平衡狀態，則 Q 與 q 間之關係為何？

例題：二大小及質料形狀完全相同的帶電小圓球 A 及 B，當相距 r 時，測得其斥力為 12牛頓；如將 A，B 兩小球接觸後再分開至原來距離 r，則其斥力增為 16牛頓。試求 A，B 原來所帶電量之比。 答案：1：3 或 3：1

例題：右圖中，兩細線的長度相同，A、B為兩點電荷，其中 B 被固定，今將 A 的電量增為原來的 8 倍，而A的質量維持不變，則平衡時，A B 間的電力變為原來的若干倍？ 答案：2 倍

§ 3-3 電場與電力線 電場：電場為電力的媒介，即電荷在其周圍產生電場，電場再與電荷作用產生電力。 電場的定義：電場定義成單位正電荷所受到的電力。即單位正電荷於電場中某一點所受電力，定義為該點的電場強度，正電荷所受電力方向定為該點的電場方向。 電場的單位：牛頓∕庫侖。

點電荷所建立的電場： 單一點電荷： 距離點電荷 q 為 r 處，由 q 所建立的電場大小 q r 多個點電荷： 多個點電荷在空間中某一點所建立的電場為各個點電荷在該點所建立電場的向量和，如右圖。

電力線： 法拉第提出以帶有箭頭的曲線來描述電場的分佈。 電力線的性質： 靜電荷的電力線始於正電荷而終於負電荷。 電力線上各點的切線方向表示該點的電場方向。 電力線的密度表示該處電場的大小，即每單位面積上通過的電力線數正比於該處的電場強度。 點電荷所發出的電力線數與其電量成正比，電量為 q 的點電荷所發出的電力線數定為 4πkq 電力線互不相交，否則同一處將會有兩個電塲方向。 電力線不一定等於正電荷的運動軌跡。

例題：A、B、C 為一正三角形的三個頂點，如在 A 點放置點電荷 q，則在 C 點產生的電場強度為 100牛頓∕庫侖，如再於 B 點放置相同的電荷，則 C 點的電場強度變為若干？ P α 例題：在每邊長 1 埃之正方形四頂點上置有一質點及三個質子（如圖），則在正方形中心點之電場強度為若干？ [71.日大]

例題：邊長為 a 的正三角形三頂點各置固定的點電荷 +q，+q，-q，則在重心處之電場強度大小為何？ 例題：兩帶電小球 A 與 B，質量、電量分別為 ( q，mA )、( -q，mB )，以絕緣細線懸掛如圖，並置於水平向右的均勻電場中，則在平衡時的可能情形為 A B (A) (B) (C) (D) (E) 答案：A

例題：如右圖所示，兩個一樣大小、相同質量的小球，甲球帶正電荷 +Q，乙球帶負電荷 -Q，兩球以一均勻絕緣細桿相連接，桿與兩球總重量為 mg，乙球又以一絕緣細線懸掛，整個系統在一方向朝上之均勻電場 E 中成力平衡。下列敘述何者正確？ (A) 不論電場量值 E 為何，細線與鉛直線之夾角恆為零 (B) 細線之張力的量值恆為 mg (C) 當mg = 2QE 時，細桿與水平線之夾角可 為任意值 (D) 2QE不得大於 mg，否則系統不可能平衡 (E) QE不得小於 mg，否則系統不可能平衡。 [83.日大] α θ - Q + Q 甲 乙 答案：ABC

靜電平衡時導體上電荷之分布： 靜電荷只能分佈於導體表面，曲率半徑大處電荷密度小。 帶靜電的導體內部無電力線（即電場為零）。否則內部的自由電子將繼續運動。 帶靜電導體外部其電力線必垂直於導體表面。否則表面的自由電子將受到切線方向電力而沿著表面做運動。

連續分佈的靜電荷所建立的電場 半徑為 R，帶電量為 Q 之金屬球所建立之電場 証明：(1) 在金屬球外的電力線與相同電量的點電荷所建立 的電力線完全相同。因此所建立的電場也相同。 P

半徑為 R，均勻荷電量為 Q 之絕緣球所建立之電場 証明：(1)球外的電力線與相同電量的點電荷所建立電力線完全相同。因此所建立的電場也相同。 (2) r < R 時，外球殼的電荷在此處所產生的電場互相抵消，而內部的電荷在此處所建立的電場，與所有內部電荷集中在球心處所建立的電場相同。內部的電量

例題：右圖為一空心金屬球，內半徑 a，外半徑 b，電中性且與外界絕緣，若球心處有一點電荷 Q，則距球心 r 處之電場強為何？ 若將球殼接地，，則答案有何變化。

例題：一不帶電之中空金屬球殼外徑為 R，中心位於 O 點。今在球殼外距球心距離為 d 處放置一點電荷 - Q（Q >0），則金屬球上會產生感應電荷（如右圖所示）。所有感應電荷在球心O點處產生之電場量值及方向為： (A) KQ∕R2，方向向右 (B) KQ∕R2，方向向左 (C) KQ∕d 2，方向向右 (E) KQ∕d 2，方向向左 (E) 0 。 [82.日大] - Q d O R 答案：(C) 說明：O 點的電場為零，因此感應電荷在此處所產生的電場與 –Q 電荷在此處產生的電場互相抵消。

靜電屏蔽效應 導體具有隔絕外電場的作用 導體在電場中，由於靜電感應， 在導體表面產生感應電荷，使 導體內部任一點電場均為零， 即電場無法穿入導體內部。 導體接地，則置於殼內的電荷， 所生的電場無法穿透到導體的外部 在導體殼內置有電荷，則導體內表面會產生感應電荷以使導體內部電場為零。而導體外表面的感應電荷因接地而消失，故殼內的電場無法穿透導體。

例題：設有一接地之金屬球殼，殼內以絕緣線繫一正電荷 +Q 於球心。如將另一正電荷 +q 由遠處移近球殼（如圖），則下列那些現象會發生？ (A)球殼鄰近 +q 之一面會帶負電，球殼另一端則會帶正電 (B)電荷 +Q 會受到 +q 之排斥力 (C)球殼與 +q 之間會產生吸引力 (D)球殼內部之電場因 +q 之移近而改變 (E)將電荷+q 移近球殼時需以外力對 +q 作功。 [75.日大] +q +Q 答案：(C)

半徑為 R，均勻荷電量為 Q 之細圓環，在圜的中心軸上與環心相距 x 處的電場 θ P

例題：已知當一圓周的四分之一均勻帶有電荷 q 時，圓心的電場量值為 0 例題：已知當一圓周的四分之一均勻帶有電荷 q 時，圓心的電場量值為 0.50 N∕C 。若此圓周的一半均勻帶有電荷 2q，另一半均勻帶有電荷 -2q，則圓心的電場量值為若干 N∕C？ [91.指定科考]

面積電荷密度為σ之無限大帶電平板所建立的電場 ＋ A 電場為均勻電場，與平板距離無關，和電荷密度成正比。

面積電荷密度為σ之兩無限大帶等量異性電之平行電板所建立的電場： ＋ 平行電板外由兩電板產生的的電場大小相同，方向相反，互相抵消。兩電板間的電場，大小方向皆相同，相加後即得所求。

例題：如圖所示。設兩個水平平行金屬板中的電場為 E，兩板距離為 d，板長為 L。一個質量為 m、電荷為 q（q > 0）的粒子，以水平方向射入兩板之間，且剛進入電場區域時，與兩板等距離。如果不考慮重力，為了使粒子在運動中不至於撞到金屬板，其初速率至少需為__________。 [82.日大] L d

§ 3-4 電位能、電位與電位差 電位能：電力所能作的功 定義：以電荷相距無窮遠時的電位能定為零，因此將電荷系統中的電荷移至相距無窮遠時，電力所作的功（與移動的路徑無關）即為此電荷系統的電位能。 點電荷系統的電位能 兩個點電荷系統的電位能 若兩電荷為同性電，則靜電力為排斥力，其電位能為正值；若兩電荷為異性電，則靜電力為吸引力，其電位能為負值。

多個點電荷系統的電位能 力學能守恆定律： 物體移動過程中，只有電力作功不為零，則系統的力學能 E = Ek（動能）+ U（位能） 為守恆量。 電力作正功，系統電位能減少，動能增加；反之，電力作負功，則系統電位能增加，動能減少。

例題：有兩帶電體 A、B，帶電量均為 +2 庫侖；B 固定於空間不動，A 於距 B 4公尺處，被 B 排斥由靜止開始外移。當兩者相距 100公尺時，A 的動能為何？

例題：邊長 d 之正三角形三頂點各有一帶電質點，電量皆為 q，質量皆為 m，若 (l) 三者皆由靜止釋放，求最大速率為若干？ (2)若固定其中之一個，求另 兩者的末速為何？ (3)若固定其中之兩個，求第三者最大速率為何？

電位 定義：空間中某一點的電位，定義成單位正電荷由該點移至無窮遠處時電力對其所作的功。即以無窮遠為電位的零點。此可看成是單位正電荷於該點時所具有的電位能。 單位：伏特（V）= 焦耳（J）∕庫侖（C）

點電荷所建立的電位： 單一點電荷所建立的電位 距離點電荷 q 為 r 處的電位 q r 多個點電荷所建立的電位 電位為純量，將每個點電荷在同一點所產生的電位相加即得該點的電位，因此

電位差（又稱電壓） 若電場中某兩點 A 、B 的電位各為 VA與 VB，則其電位差 VA－ VB = 單位正電荷，由 A 點移至 B 點時電力對其所作的功。 電量為 q 的點電荷，經的電位差 ΔV 時，電力對其所作的功為 W = q VA－ VB = 所減少的電位能。 正電荷自然流向：由高電位移向低電位，其電位能減少，而動能增加 負電荷自然流向：由低電位移向高電位，其電位能減少，而動能增加。

例題：α粒子的帶電量為質子的 2倍，質量為質子的4倍，當α粒子和質子皆由靜止開始經過相同電位差的加速，則α粒子的速度將為質子速度的若干倍？

2a o a s P +q -q 例題：如圖所示，甲電荷＋q 與乙電荷－q，兩者相距 4 a，若取兩電荷連線上之 s 點處的電位為零，則圖中距 O 點 2a 之 P 點處的電位為何？ [92.指定科考]

例題：正方形 ABCD 之每邊長為 L，在頂點 A、B 上各置一正電荷 +Q，而在頂點 C、D 上各置一負電荷 - Q。 (2) 0（因中心點的電位為零）

Q O P a 例題：如右圖，在邊長為 a 的正方形的頂點上有四個電量均為 Q 的點電荷，若將電量為 q 的點電荷從正方形的中心 O 點移到正方形某一邊的中點 P，試求電力對其所作的功。

連續分佈的電荷所建立的電位： 帶電量為 Q，半徑為 R 的金屬球所建立的電位 電荷在金屬球內不受電力作用，因此內部任何一點的電位與球表面的電位相同。球外面的電場雨點電荷的電場完全相同，因此電位也相同。

例題：有一空心導體球，內半徑為 a，外半徑為 2a，在球心處有一點電荷 +Q，求距球心 (1) a∕2 (2) a (3) 3a∕2 (4) 2a (5) 3a 各處之電位。 +Q

例題：兩同心金屬球殼，半徑分別為 R1 與 R2，均勻帶有電量 Q1 及 Q2，則內外球的電位差為何？

例題：二金屬圓球，小球半徑 r 帶電 - q，大球半徑 2r 帶電 Q，設二球相距甚遠而以一長導線連接之。若導線上之電荷可略去，則於電荷分佈穩定時小球上之電荷變為何？ [70.日大]

例題：有彼此相距甚遠的甲、乙兩帶電金屬球，甲、乙兩球的半徑各為 a 及 b。假設在無窮遠處電位為零，甲、乙兩球的電位分別為 Va 及 Vb。今以一細長導 線接觸兩球，使兩球成為等電位後，再將此導線移開，則此兩球之電位為何？ [89.日大]

例題：相同大小的兩水銀球帶同種電荷，電位分別為V1及V2，現若將二球合併成球，則其電位為何？

例題：如右圖所示，在真空中半徑為 R 的導體球殼接地，在球外與球心 O 相距為 r處（r > R）有一固定的點電荷 Q。試求達靜電平衡後，導體球殼上的感應電荷 q。 解：導體球殼內無電場，因此內部為等電位。中心點 O 的電位與球殼表面的電位相等，皆為零電位。即感應電荷 q 在 O 點產生的電位抵銷點電荷 Q 在 O 點 產生的電位，

半徑為 R，均勻荷電量為 Q 之細圓環，在圜的中心軸上與環心相距 x 處的電位： V P

例題：一固定之均勻帶電圓環，半徑為 R，帶電量為 +Q。另有一點電荷質量為 m，帶電量為 -q，被侷限在圓環的中心垂直軸上運動。若點電荷在離圓環中心 R 處被釋放，則點電荷在到達環心時之速率為________。 [86.日大] R P 3R O

電場與電位的關係 電力線與等位線（面）垂直。 電場方向由高電位指向低電位。 均勻電場中，不同兩點 A、B 間的電位差等於兩點間的位移與電場的內積，即 當某一點電位為零時，該點電場不一定為零，反之亦然。

例題： 一均勻的電場，電場大小為 200牛頓∕庫侖，電場的方向為負 y 軸的方向。如座標原點的電位為零，則在（30公分，40公分）處的電位為幾伏特？ (A) 60 (B) - 60 (C) 100 (D) 80 (E) - 80。 A B x y -4V -2V 0V P 例題：如右圖所示的等位面，則 P 點電場的方向為 答案：向左

例題：如右圖所示，在光滑的水平桌面上，有一水平向右的均勻電場 E。一半徑為 R 的光滑絕緣圓環固定在桌面上，在圓環內側有一質量為 m、帶電量為 q（q > 0）的小球，從位置 A 以初速度 v0 出發，貼著圓環內側作圓周運動。為使小球能經過 B 點繼續貼著圓環內側運動，求 v 的最小值。 O m q A B R

§ 3-5 電容 電容的意義：電荷或電能的容器。 電容的構造：兩金屬板與電池連接時，兩板聚集等量的異性電荷，若兩板與電池切斷連接，則兩板上的電荷因彼此吸引，而儲存在兩電板上。 常見的電容器

電容的定義： 電容單位：法拉 F = 庫侖 C∕伏特V 在電路上的符號： 電容器電容的大小與其幾何形狀有關，而與所施加的電壓無關。可藉由改變電容器的幾何形狀來改變電容器的電容值。 電容單位：法拉 F = 庫侖 C∕伏特V 在電路上的符號：

註：其中ε為電容率，其值和兩板間的絕緣材料有關，在真空中為ε0 = 8.85×10-12 F/m。 電容器的種類： 兩平行金屬板之電容器 註：其中ε為電容率，其值和兩板間的絕緣材料有關，在真空中為ε0 = 8.85×10-12 F/m。

球形電容器 R Q 可變電容器

電容器所儲存的電位能 －Q ＋Q △q

例題：可使大平行金屬板電容器的電容增加的方法是 (A)增加金屬板的面積 (B)減少金屬板間的距離 (C)增加兩板上所帶的電量 (D)在真空的板間填入絕緣介質材料 (E)增加金屬板間的電位差。 答案：(A)(B)(D) 例題：地球的半徑為 6.4×106 米，若將地球視為導體，則地球的電容為 (A)230μF (B) 320μF (C) 460μF (D) 580μF (E) 710μF。 答案：(E)

例題：一平行金屬板電容器，兩板間距為 d，電容為 C，以電動勢為ε的電池充電後拆開電池，若以絕緣柄器材將兩板間距拉開為 2d，則下列何者不變？ (A)電容 C (B)電量 Q (C)電位差 V (D)儲存電能 U (E)電場 E。 答案：(B)(E) Q 不變，C 變為原來 1∕2。V 變為原來 2 倍。

例題：一平行金屬板電容器，兩板間距為 d，電容 C，以電動勢為ε的電池接在兩板上，若以絕緣柄器材將兩板間距拉開為 2d，則下列何者不變？ (A)電容 C (B)電量 Q (C)電位差 V (D)儲存電能 U (E)電場E。 答案：(C) V 不變，C 變為原來 1∕2，Q 變為原來 1∕2。

THE END